导数的定义和几何意义2014一

1、导数的定义和集合意义（导数辅导一）一、定义的理解1叫函数在处的导数，记作 。注：函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，）的割线斜率。导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率。2. 函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率。注：用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线

2、”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。3. （1） 几种常见的函数导数：、 （c为常数）； 、 （）； 、= ；、 = ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 .（2） 求导数的四则运算法则：； 4. 复合函数的求导法则： 或 二、典例选讲：（1）定义的应用1、若，则等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：，即=2=-1。2、设函数在任何处可求导且 ( )A0BC1D 23、设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.

3、它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)8，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ） A2B8C10D16练习：若，则= ，= ，= ， = 。（2）导数的几何意义1）关于倾斜角1、曲线在点处切线的倾斜角为（）A1BCD2、点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、 B、 C、 D、3、设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）ABCD练习：曲线y=-tanx在点（处的切线的倾斜角为 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD已知点

4、P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A、0,) B、 C、 D、2）关于切线（方程或方程组的思想）1、已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标是（）A BC D已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A2B3 C D12、曲线与直线相切，则实数_已知直线与抛物线相切，则已知直线y =x1与曲线相切，则的值为( ) A.1 B. 2 C.1 D.2若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则 的值 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可方法：例1曲线在点处的切线

5、方程为（） 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决方法：例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（） 解：设为切点，则切点的斜率为由此得到切点故切线方程为，即，故选评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例3 求过曲线上的点的切线方程解：设想为切点，则切线的斜率为切线方程为又知切线过点，把它代入上述方程，得解得，或故所求切线方程为，或，即，或评

6、注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4求过点且与曲线相切的直线方程解：设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又已知切线过点，把它代入上述方程，得解得，即评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性变式已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程解：曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点的坐标满足因，故切线的方程为点在切线上，则有化简得，解得所以，切点为，切线方程为评注：

7、此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点2004年江苏第二次模拟试卷（常州卷）卷11：过点P作曲线y=x3的两条切线L1与L2,设L1，L2的夹角为，则tan= ( )解：由y=x3得y/=3x2设Q（x0,x03）为切点，则在Q点处的切线的方程为L：yx=3x02(xx)PL，1x=3x02(1x) （1x）（2x+1）=0 x=1或x= k= yx=1=3 k= y=tan=（2004年江苏省第一次模拟试卷）第16题：若直线y=x是曲线的切线，求a的值解：设切点P（则 由得3、曲线在点处的切线方程为_已知（1）

8、求在点处的切线方程；（2）求过点的切线方程求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y=3x26x+1,但O点未必是切点。设切点A（x0,y0）y=3x26x+1, 切线斜率为3x026x0+1,又切线过原点，=3x026x0+1即：y0=3x036x02+x0 又切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上y0=x033x02+x0 由得：x0 =0或x0 =，切线方程为：y=x或5x+4y=0曲线上过点的切线方程是 已知函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是( )A. B. C. D. （3）面积1、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）2、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）ABCD练习：若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 A、64 B、32 C、16 D、8 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） （07高考海南理10）（4）对导数符号的理解：1、若函数满足，则的值 2