平面向量的数量积教案

1、 平面向量的数量积教学目标： (i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标: (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程：一、追溯1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作×，即× = |cosq，并规定与任何向量的数量

2、积为0 2平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积. 3两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1°× = × =|cosq； 2° Û × = 03°当与同向时，× = |；当与反向时，× = -|,特别地× = |2 4°cosq = ； 5°|×| |4.平面向量数量积的运算律 交换律： × = × 数乘结合律：()× =(×) = ×() 分

3、配律：( + )× = × + ×5.平面向量数量积的坐标表示已知两个向量，,则.设，则.平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么.向量垂直的判定 两个非零向量，则 .两向量夹角的余弦 cosq = （）.二、典型例题 1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题:; ; ; 其中正确命题序号是 、 . 点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律. 例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.解(1)当 时, =或=. (2)当时, =. (3)当的夹角为时, =. 变式训练:已知,求解

4、:= 点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解:依题意 故选C学生训练: 已知,求向量与向量的夹角. 已知,夹角为,则 .解: ,故夹角为. 依题意得.变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.法一 解:将两边平方得 , 则, 故的夹角.为.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.解: ,且的夹角为 ; 变式训练 :(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则

5、的取值范围 ( )A. B. C. D. (2006年福建) 已知的夹角为, ,则 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: , 故选C, ,解得,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.4.平面向量数量积的综合应用例题5 (2006年全国卷)已知向量.(1) 若 ; (2)求的最大值 .解:(1)若,则,. (2) = ,的最大值为.例题6已知向量,且满足,(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此时当最小值为. ,量与向量的夹角 小结1. 掌握平面向量