学科竞赛数列及其通项

1、第9讲 数列及其通项A类例题例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，），则它的通项公式是= (2000年江西、天津卷)链接形如的递归式,其通项公式求法为：形如的递归式,其通项公式求法为：例2 . 已知an = ( nN* )，则在数列an 的前20项中，最大项和最小项分别是()A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 .情景再现1已知数列an a12，an+1 (n2)，求数列an通项an.2已知数列a1、a2、a3满足(1) a1=;(2) a1+a2+an=n2an (n1)，确定an的值 (第7届加拿大中学生数学竞赛试题) B类例题例3数列an

2、中，al=2,an > 0 , =1，求其通项公式.例4. 已知数列an满足且(n=1,2,3)求a2004 .(第四届中国西部数学奥林匹古克)例5.已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.例6. 递增数列2，3，5，6，7，10，11，由所有既不是平方数又不是立方数的正整数组成，求这数列的第500项(美国第8届数学邀请赛)情景再现3已知对任意nN有an>0且,求证an=n(1989年全国高中数学联赛)4删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第2003项是A.2046 B.2047 C.2048 D.2049(2003年全

3、国高中数学联赛)C类例题例7数列an满足且a100=10098,求数列an的通项公式. (2005年上海市高中数学联赛)例8 用下列方法给定数列an, a0 =, ak=( k=1,2,3)证明：.情景再现5证明：由条件a1、 a2Z,Z, 所确定的非负数列由全体整数组成,其中是其个数.(奥地利及保加利亚中学生数学竞赛试题)6正整数x1、x2、x7满足x6=144, xn+3=xn+2( xn+1+ xn),n=1,2,3,求x7.(1997年波兰中学生数学竞赛试题)习题9B类习题4.已知数列中，求通项公式.5.已知数列an, a11，Sn+14an+2, 求数列an通项an.C类习题6已知数

4、列an a11，an+1an+ + (n2)，求数列an通项an.7若数列an中, an>0, a1=5, n2时， an+ an1=+6.求数列an的通项公式.(2004年全国高中数学联赛河南省预赛)第10讲 等差数列与等比数列A类例题例1给定公比为q(q¹1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, bn=a3n2+a3n1+a3n,，则数列bn( )A.是等差数列B.是公比为q的等比数列C.是公比为q3的等比数列D.既非等差数列也非等比数列(1999年全国高中数学联赛)例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，

5、则这样的数列共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个(1997年全国高中数学联赛)情景再现1(2005年全国高考题)在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列kn的通项2三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)(第2届美国中学生数学竞赛试题)B类例题例3 (2004年浙江理科卷) OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),（）求及;（）证明 ()若记证明是等比数列例4设数列a

6、n的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列(2005年江苏卷)例5(湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J1，J2表示数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，若此种装置满足以下三个性质：J1，J2分别输入1，则输出结果1；若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：（）若J1输入1，J2输入自然数n，则输出结果为多少？（）若J2输入1，J1

7、输入自然数m，则输出结果为多少？（）若J1输入自然2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少？例6设正数列a0,a1,a2,L,an,L满足(n2)且a0=a1=1求an的通项公式(1993年全国高中数学联赛)情景再现3已知数列的首项（a是常数），（）（）是否可能是等差数列若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件4已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值 (t0),f(1)=0(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1 , g(x)为多项式，nN*),

8、试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、SnC类例题例7实数x为有理数的充分必要条件是：数列x，x+1，x+2，x+3，中必有3个不同的项，它们组成等比数列(加拿大1993年高中竞赛题)例8设S=1，2，3，n，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)(1991年全国高中数学联赛二试)情景再现5设数列的首项=1，前n项和满足关

9、系式(t>0,nN,n2)（1） 求证数列是等比数列；（2） 设数列的公比为，作数列，使，(nN,n2)求bn6已知数列an是由正数组成的等差数列，m ,n，k为自然数，求证： (1)若m+k=2n，则+=; (2) +(n1)习题10A类习题1(2004年重庆卷)若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是A4005 B4006 C4007 D40082已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_3等比数列的首项,公比,用表示它的前n项之积则最大的是( )ABC D(1996年全国高中数学联赛)4给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p

10、,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )(2000年全国高中数学联赛)A无实根B有两个相等实根 C有两个同号相异实根D 有两个异号实根5已知数列是首项，且公比的等比数列，设数列的通项，数列的前n项和分别为,，如果>k，对一切自然数n都成立，求实数R的取值范围6(2000年高考新课程卷)（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数（II）设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列B类习题9(2006年全国高考上海春季卷)已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）（1）若，求；（2）试写出

11、关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10(第8届希望杯第二试)在ABC中，三边长为a，b=2，c=3作ABC的内切圆O1，再作与边AB、AC和O1都相切的O2，又作与AB、AC与O2都相切的O3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和C类习题11 (第2届美国数学邀请赛试题)如果an是等差数列，公差是1，a1+ a2+ a3+ a98=137，求a2 +a4 +a6 +a98之值12(2003年全国高考江苏卷)设如图，已知直线及曲线C

12、：,C上的点Q1的横坐标为（）从C上的点Qn（n1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列OcylxQ1Q2Q3a1a2a3r2r1（）试求的关系，并求的通项公式；（）当时，证明；（）当a=1时，证明第11讲 数列的求和本节主要内容有Sn与an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等1.重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(

13、1+2+n)2=n2(n+1)22.数列an前n项和Sn与通项an的关系式：an=3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项：5.错项相消法6.并项求和法A类例题例1 已知数列an的通项公式满足：n为奇数时，an=6n5 ，n为偶数时，an=4 n，求sn.例2(2004年湖南卷类)已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列（I）证明 12S3，S6，S12

14、S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n21(2000年全国高考题)设为等比数例，已知，（）求数列的首项和公式；（）求数列的通项公式2(2000年全国高中数学联赛)设Sn=1+2+3+n,nÎN，求f(n)=的最大值.B类例题例3(2004年重庆卷)设（1）令求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列an的前项和Sn=2an1(n=1,2,3,L)，数列bn满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3L).求数列bn的前n项和.例5(2004年全国理工卷)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(

15、1)n,n1.(1)写出求数列an的前3项a1,a2,a3；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对任意的整数m>4，有.例6设 an 为等差数列， bn为等比数列，且, ,又, 试求 an 的首项与公差 (2001年全国高中数学联赛)情景再现3设二次函数的所有整数值的个数为g(n).（1）求g(n)的表达式.（2）设（3）设的最小值.4设函数的图象上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，若，且点P的横坐标为(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(2)若，nN*，求Sn；(3)记Tn为数列的前n项和，若对一切nN*都成立，试求a的取值范围C类例题例7给定正整数n和正数M

16、，对于满足条件 M的所有等差数列a1，a2，an，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值 (1999年全国高中数学联赛试题)例8n 2(n4)个正数排成几行几列：a11a12a13a14a1n，a21a22a23a24a2n，a31a32a33a34a3n，an1an2an3an4an n，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知“a24=1，a42, a43,求a11 +a22 +a33 + ann. (1990年全国高中数学联赛试题)情景再现5各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项6己知数列an满足：

17、a1=1,an+1=an+(1)求证:14 a100 18;(2)求a100的整数部分a100.习题11A类习题1.若等差数列an，bn的前n项和分别为An，Bn，且，则等于ABCD2.各项均为实数的等比数列an前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于 A.150 B.200 C.150或200 D.400或50(1998年全国高中数学联赛试题)3.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是 A.5 B. 6 C.7 D.8(1999年全国高中数学联赛试题)4.(2004年江苏卷)设无穷等差数列an的前n项和为Sn()若首项，公差，求满足的正整数k；()求

18、所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立5函数是定义在0，1上的增函数，满足且，在每个区间（1，2）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分（I）求及，的值，并归纳出的表达式（II）设直线，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值. (2004年北京理工卷)6.(2005年湖北卷)设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前n项和Tn.B类习题7(2005年全国卷)设正项等比数列的首项，前n项和为，且（）求的通项；（）求的前n项和8.设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn(2t

19、+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1. 9.已知：f(x)（x<2），f(x)的反函数为g(x),点An(an,)在曲线yg(x)上(nN+)，且a11.（I）求yg(x)的表达式；（II）证明数列为等差数列；（）求数列an的通项公式；（）设bn,记Snb1b2bn，求Sn.10.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是

20、_.(1999年全国高中数学联赛试题)C类习题11已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立 (2001年上海卷)12数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，按下列加括号的方式把该数列分成群(a1)、( a2，a3)、( a4，a5，a6，a7)、( a8，a9，a10，a15)使第一群中是a1含an中的一项，第二群是a2、a3，含an中的两项，第三群中是a4、a5、a6、a7，含an中的四项如此继续下去，第n群中含an中的2n1项，且任两群无公共项，任一项都在某群内，用a1、d、n表示第n群各元素的和. (第2届希望杯第一试)第12讲 数列

21、的递推本节主要内容两个基本递推：an1and，anqan；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推1基本概念：递归式：一个数列中的第项与它前面若干项，（）的关系式称为递归式递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列2常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等3思想策略：构造新数列的思想4常见类型： 类型：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列形如的递归式,其通项公式求法为：形如的递归式,其通项公式求法为：形如的递推式,两边同除以得,令则句可转化为来处理.类型：（二阶递归）解题方法：利用特征方程，求其根、，构造，代入初

22、始值求得若p+q=1时，有可知是等比数列，先求得，再求出.若p+ql，则存在，满足整理得从而+=p，=q，可解出、，这样可先求出的通项表达式，再求出.注意、实质是二次方程的两个根，将方程叫做递归式的特征方程在数列中，给出a1, a2，且，它的特征方程的两根为与如果，则；如果=则，其中A与B是常数，可由初始值a1,a2 求出类型. 如果递归数列an满足an+1,其中c0,adbc0,以及初始值a0f(a1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点p、q，则为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p，则是等差数列·5.求递归数列通项的常用方法

23、有：换元法、特征根法、数学归纳法等A类例题例1一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是( )(2005年辽宁卷)11yxO11yxO11yxO11yxO（A）（）（）（）例2已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式 (2004年全国高考题)情景再现1已知数列an满足a11，an2an1n2(n2)，求通项an.(2004年四川省高中数学联赛)2设（为常数），若，且只有唯一实数根（1）求的解析式（2）令求数列的通项公式.B类例题例3(1)一次竞赛在n(n1)轮

24、中共发了m枚奖章第一轮发了1枚及余下的m 1枚的，第2轮发了2枚及余下的，直至第n轮正好发了n枚而没有余下奖章这个竞赛共包括几轮?一共发了多少枚奖章?(第9届国际数学奥林匹克)(2)把一个圆分成n个不同的扇形(n2)，依次记为S1，S2，, Sn，每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中任一种涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法?例4数列an定义如下：a1=1，an+1 =(1+4 an +)，求它的通项公式说明这是1981年IMO的预选题，解题的关键是换元、转化例5设xn、yn为如下定义的两个数列：x0=1，x1=1,xn+1=xn+2 xn1，y0=1，y1=7,yn+1=2yn+

25、3yn1，(n=1,2,3)，于是这两个数列的前n项为xn：1,1,3,5,11,21, yn：1,7,17,55,161,487,.证明：除了“1”这项外,不存在那样的项,它同时出现在两个数列之中. (第二届美国中学生数学竞赛试题)说明 在求得特征方程的根以后，要依据根的重数正确写出数列通项的一般表达式，再根据初始值求得待定系数的值链接菲波纳契数列(Fibonacci)数列的由来: Fibonacci数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生

26、产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？对于n=1，2，令Fn表示第n个月开始时兔子的总对数，Bn、An分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则Fn= An+Bn根据题设，有月份n123456An112358Bn111235Fn11235813显然，F1=1，F2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式：若我们规定F0=1，则上式可变为这就是Fibonacci数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，这

27、串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和.它的通项是Fn=()n+1()n+1，由法国数学家比内（Binet）求出的.证：菲波纳契数列是一个2阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是x2x1=0，特征根是通解是Fn=C1()n+C2()n代入初值来确定C1、C2，得方程组解这个方程组得 C1=, C2=原递推关系的解是Fn=()n+1()n+1例6数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数. (2005年高中数学联赛)情景再现4已知a1=1，a2=3，an+2=（n+3）an+1（n+2）an，若当mn，am的值都能被9整除，求n的最小值(湖南省2002年

28、高中数学竞赛)C类例题例7数列an按如下法则定义：a1=1，证明：对n1，均为正整数·(1991年全苏数学冬令营)例8. 设a1=1，a2=3，对一切正整数n有an+2=(n+3)an+1(n+2)an,求所有被11整除的如的值情景再现53个数列an、 bn、 cn存在下列关系：a1=1, b1=,bn=an+1an, cn=bn+1bn=(n=1,2,3)这里的p为正常数.(1)求an；(2)证明：若cn0,则cn+10；(3)若数列bn的最小项为b4,求p取值范围.6数列an、 bn满足0a1b1, (n=1,2,3)证明下列命题：(1) a2b2b1；(2) 对任何正整数n有b

29、n an+1；(3) 对任何整数n2,有bnb1.习题12B类习题7.已知求数列an的通项公式.8.已知求数列an的通项公式.9.有一条n级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问欲登上去，共有几种走法？10.(1)是否存在正整数的无穷数列an,使得对任意正憨整数n都有a2n+12 an an+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列an,使得对任意正憨整数n都有a2n+12 an an+2.(首届中国东南地区数学奥林匹克试题)C类习题11设数列满足条件：，且)求证：对于任何正整数n，都有 (湖南省2004年高中数学竞赛)12求所有aR,使得由an+1=2n3an(nN)所确定的数列a0, a1, a

30、2,是递增数列.(1980年英国中学生数学竞赛试题)第13讲 数学归纳法 本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明一.数学归纳法的基本形式 第一数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若 1°P(1)成立(奠基)； 2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)， 则P(n)对一切正整数n都成立如果P(n)定义在集合N 0,1,2,r1，则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”； 跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命

31、题，若 1°P(1)，P(2)，P(l)成立； 2°假设P(k)成立，可以推出P(k+l)成立，则P(n)对一切正整数n都成立第二数学归纳法：设P(n)是关于正整数一的命题，若 l°P(1)成立； 2°假设nk(k为任意正整数)时P(n)(1nk)成立，可以推出P(k+1)成立， 则P(n)对一切自然数n都成立 以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺一不可在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提二.数学归纳法证明技巧1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较困难，或者P(1)

32、，P(2)，P(p1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至P(r)(这时P(1)，P(2)，P(r1)应另行证明) 2.加大“跨度”：对于定义在M=n0，n0+r，n0+2r，n0+mr，( n0，r，mN*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证P(n0)，第二步假设P(k)(kM)成立，推出P(k+r)成立 3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓

33、住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用A类例题例1n个半圆的圆心在同一直线上，这n个半圆每两个都相交，且都在l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解设这些半圆最多互相分成f(n)=段圆弧，则f(1)=1，f(2)=4=22, f(3)=9=33,猜想：f(n)=n2, 用数学归纳法证明如下：1°当n=1时，猜想显然成立2°假设n=k时，猜想正确，即f(k)=k2,则当n=k+1时，我们作出第k+l圆，它与前k个半圆均相交,最多新增k个交点,第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧，

34、同时前k个半圆又各多分出l段弧,故有f(k+1)= f(k)+k+k+1=k2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时，猜想也正确所以对一切正整数n，f(n)=n2.例2已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.(2005年全国高考江西卷)情景再现1求证对任何正整数n,方程x2+y2=zn都有整数解.2. 已知 an 是由非负整数组成的数列，满足a1=0,a2=3,an+1· an =(an +2)(an2 +2) (1)求a3； (2)证明an=an2+2,n=3，4，5，；(3)求 an 的通项公式及其前n项和SnB类例题例3.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n7

35、，nN)分的邮资例4求证:1+<3 (nÎN*) (04年复旦大学优秀生选拔考试)例5证明：存在正整数的无穷数列an：a1 a2 a3,使得对所有自然数n，都是完全平方数例6.若x是正实数,证明nx+其中t表示不超过t的最大整数.(第10届美国数学奥林匹克试题)情景再现3(2005年重庆卷压轴题)数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828.4(2005年湖北理科卷压轴题)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当

36、时，对任意b>0，都有C类例题例7已知xiR(i=1,2,，n),满足求证：.(1989年全国高中数学联赛试题第二试)例8 设x1,x2,xn是非负实数,记a=minx1,x2,xn，试证：(令xn+1=x1), 且等号成立当且仅当x1=x2=xn. (1992年中国数学奥林匹克试题)情景再现5将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数，3算作第二个质数，依次类推求证：第n个质数Pn6将凸2n+1(n2)边形的顶点染色，使得任意两个相邻顶点染不同的颜色证明；对上述的任意一种染色方法，此2n+1边形都可用不相交的对角线分为若干个三角形，使得三角形中每条对角线的端点不同色习题13A类习题1设数

37、列满足：，（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（II）当时，证明对所的，有（i）（ii）（2002年全国高考题）2已知函数设数列满足，数列满足，()用数学归纳法证明；()证明(2005年全国高考辽宁卷)3设数列满足（1）证明对一切正整数n 成立；（2）令,判断的大小，并说明理由(2004年全国高考重庆卷)4把自然数1，2，3，2006依照某种顺序排成一列，若列中的第一个数为k，则将此列左侧的前k个数反序而重排,证明：可经过上述的若干次操作后把1调到列的第一位5.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n

38、年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.6.求证：对任何正整数n，数An=5n+2×3n1+l都能被8整除.B类习题7无穷数列xn中（n1），对每个奇数n，xn, xn+1,xn+2成等比数列，而对每个偶数n, xn, xn+1, xn+2成

39、等差数列.已知x1= a , x2= b .(1) 求数列的通项公式 . 实数a , b满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列?(2) 求,的调和平均值, 即的值 . (2004年福建省高中数学联赛)8.设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有9.设0<a<1，定义求证：对任何有an>110.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每一场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是对任何其他选B,或者A胜B，或者存在选手C，C胜B,A胜C，如果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证：这名选手胜所有其他选手.C类习题11.设1<x1&

40、lt;2, 对于n=1,2,3,定义xn+1=1+xnx, 求证:对于n3,有| xn|<. (1985年加拿大数学奥林匹克试题)第14讲 周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念在中学数学中，我们仅仅讨论定义域

41、是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期1若f (xT)=f ( x)，则2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)证明：f(x2 T)= f(xTT)= f(xT)= f ( x)，由周期函数的性质可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)2若f (xT)=±，则2T

42、是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)仅以f (xT)=证明如下：f(x2 T)= f(xTT)= = f ( x)由周期函数的性质可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)3在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期A类例题例1（2001年上海春季卷） 若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ）A B C D例2 定义在R上的奇函数且f ( x2)=f ( x2)，且f (1)= 2则f ( 2)f (7)= 链接若f (xT)=±f ( xT)，f (xT)=f

43、( xT)，2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)证明：f(x2 T)= f(xTT)=f(xTT)= f ( x)f (xT)=f ( xT)，4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)证明：f(x2T)= f(xTT)= f(xT)T= f ( x)所以由(一)可得f(x4T)= f ( x)情景再现1已知函数f(x)对任意实数x，都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，求证:2|ab|是f(x)的一个周期(ab)2 已知数列满足x1=1，x2=6，(n2)，求x2006及S2006B类例题例3定义在R上的奇数满足 f (1x)=f (1x)，当时

44、， f ( x)=2x4，则时f ( x)=)链接：若f (Tx)=±f (T x)，(1) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)若f ( x)是奇函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x) (2) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)若f ( x)是奇函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)例4设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20，都有f(x1x2

45、)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n)，求（2001年全国高考题）例5(1997年全国高中数学联赛)已知数列满足(n2)，x1a， x2b， 记Snx1x2Lxn，则下列结论正确的是 ( )A x100=-a，S100=2b-aBx100=-b，S100=2b-a Cx100=-b，S100=b-aDx100=-a，S100=b-a例6设数列 a1，a2，a3，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n都有an·an1 ·an21，an·an1 

46、3;an2an3=anan1 an2an3，求a1a2 a3a100情景再现3设f(x)是定义在区间(，)上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1，2k1，已知当xI0时f(x)=x2()求f(x)在Ik上的解析表达式;()对自然数k，求集合Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根4(2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点(1)求向量的坐标；(2)当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，求以曲线为图象的函数在的解析式；对任意偶数，用表示向量的坐标C类例题例7 (2005年广东卷19)设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论链接若f (ax)=±f (a x