2015年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(文)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i 为虚数单位，i607()AiBiC1D12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为()A134 石B169 石C338 石D1 365 石3命题“x0(0，)，ln x0 x01”的否定是()Ax(0，)，ln

2、 xx1Bx/(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0 x01Dx0/(0，)，ln x0 x014已知变量 x 和 y 满足关系 y0.1x1，变量 y 与 z 正相关下列结论中正确的是()Ax 与 y 正相关，x 与 z 负相关Bx 与 y 正相关，x 与 z 正相关Cx 与 y 负相关，x 与 z 负相关Dx 与 y 负相关，x 与 z 正相关5l1，l2表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分

3、条件，也不是 q 的必要条件6函数 f(x) 4|x|lgx25x6x3的定义域为()A(2，3)B(2，4C(2，3)(3，4D(1，3)(3，67.设 xR，定义符号函数 sgn x1，x0，0，x0，1，x0，则()A|x|x|sgn x|B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn xD|x|xsgn x8在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy12”的概率，p2为事件“xy12”的概率，则()Ap1p212Bp212p1C.12p2p1Dp112p29 将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b(ab)同时增加 m(m0)个单位长度，得到离心率为 e2的

4、双曲线 C2，则()A对任意的 a，b，e1e2B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2C对任意的 a，b，e1e2D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e210已知集合 A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合 AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则 AB 中元素的个数为()A77B49C45D30第卷二、填空题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上)12若变量 x，y 满足约束条件xy4，xy2，3xy0，则 3xy 的最大值是_13函数 f(x)2sin xsinx2

5、 x2的零点个数为_14某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的 a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为_15如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.16.如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，

6、且|AB|2.(1)圆 C 的标准方程为_；(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_17a 为实数，函数 f(x)|x2ax|在区间0，1上的最大值记为 g(a)当 a_时，g(a)的值最小三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 12 分)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0 时，f(x)0，g(x)1；(2)设 a0，b1，证明：当 x0 时，ag(x)(1a)0，得4x4，x2 且 x3，故函数定义域为(2，3)(3，4，故选 C.7.解析：选 D当 x0 时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(

7、x)(1)x，排除 A，B，C，故选 D.8解析：选 D如图，满足条件的 x，y 构成的点(x，y)在正方形 OBCA 内，其面积为1.事件“xy12”对应的图形为阴影ODE，其面积为12121218，故 p11812；事件“xy12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故 p212，则 p112p2，故选 D.9解析：选 B由题意 e1a2b2a21ba2；双曲线 C2的实半轴长为 am，虚半轴长为 bm，离心率 e2（am）2（bm）2（am）21bmam2.因为bmambam（ab）a（am），且 a0，b0，m0，ab，所以当 ab 时，m（ab）a（am）0，即bmamba

8、.又bmam0，ba0，所以由不等式的性质依次可得bmam2ba2，1bmam21ba2，所以1bmam21ba2，即 e2e1；同理，当 ab 时，m（ab）a（am）0，可推得 e2e1.综上，当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2.10解析：选 CA(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x1，y0；或 x0，y1；或 x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1，0，1，2；y2，1，0，1，2，AB 表示点集由 x11，0，1，x22，1，0，1，2，得 x1x23，2，1，0，1，2，3，共 7 种取值可能同理，由 y11，0，1，y22，1

9、，0，1，2，得 y1y23，2，1，0，1，2，3，共 7 种取值可能当 x1x23 或 3 时，y1y2可以为2，1，0，1，2 中的一个值，分别构成 5 个不同的点，当 x1x22，1，0，1，2 时，y1y2可以为3，2，1，0，1，2，3 中的一个值，分别构成 7 个不同的点，故 AB 共有 255745(个)元素第卷二、填空题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上)1112解析：画出可行域，如图阴影部分所示，设 z3xy，则 y3xz.平移直线 y3x 知当直线 y3xz 过点 A 时，z 取得最大值由xy4，xy2，可得 A(3，1)故 zmax

10、33110.答案：1013解析：f(x)2sin xsinx2 x22sin xcos xx2sin 2xx2，由 f(x)0，得 sin 2xx2.设 y1sin 2x， y2x2， 在同一平面直角坐标系中画出二者的图象， 如图所示 由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点答案：214解析：(1)由 0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得 a3.(2)区间0.3，0.5)内的频率为 0.11.50.12.50.4，故0.5，0.9)内的频率为 10.40.6.因此，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为 0.610 0006

11、000.答案：(1)3(2)6 00015解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2331006(m)答案：100 616.解析：(1)取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CDAB.由题意|AD|CD|1，故|AC| |CD|2|AD|2 2，即圆 C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，所以圆心 C 的坐标为(1， 2)，故圆 C 的标准方程为(x1)2(y 2)22.(2)令(x1)

12、2(y 2)22 中的 x0，解得 y 21，故 B(0， 21)直线 BC 的斜率为21 2011，故切线的斜率为 1，切线方程为 yx 21.令 y0，解得 x 21，故所求截距为 21.答案：(1)(x1)2(y 2)22(2) 2117解析：(1)当 a0 时，f(x)x2，函数 f(x)在区间0，1上单调递增，故 g(a)f(1)1.(2)当 a0 时，函数 f(x)的图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间0，1上单调递增，故 g(a)f(1)1a.(3)当 0a1 时，函数 f(x)的图象如图(2)所示，fa2 a24，f(1)1a，fa2 f(1)a24(1a)（a2）284.

13、当 0a2 22 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)f(1)1a；当 2 22a1 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)fa2 a24.(4)当 1a2 时，函数 f(x)的图象如图(3)所示，因为函数 f(x)在区间0，a2 上单调递增，在区间a2，1上单调递减，故 g(a)fa2 a24.(5)当 a2 时，函数 f(x)的图象如图(4)所示，因为函数 f(x)在区间0，1上单调递增，故 g(a)f(1)a1.综上，g(a)1a，a2 22，a24，2 22a2，a1，a2，当 a2 22 时，g(a)g(2 22)32 2；当

14、 2 22a2 时，g(a)g(2 22)32 2；当 a2 时，g(a)g(2)132 2.综上，当 a2 22 时，g(a)min32 2.答案：2 22三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18解：(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6，数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050且函数解析式为 f(x)5sin2x6 .(2)由(1)知 f(x)5sin2x6 ，因此 g(x)5sin2x6 65sin2x6 .因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ，令 2x6k，kZ，解得 xk212，kZ，即 yg(x)图象的对称中心为

15、k212，0，kZ，其中离原点 O 最近的对称中心为12，0.19解：(1)由题意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an19（2n79） ，bn929n1.(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn1325227239242n12n1，12Tn123225237242n32n12n12n.可得12Tn21212212n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.20解：(1)因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC.由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD.而 PDC

16、DD，所以 BC平面 PCD.因为 DE平面 PCD，所以 BCDE.又因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.由 BC平面 PCD，DE平面 PBC，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD 是阳马 PABCD 的高，所以 V113S长方形ABCDPD13BCCDPD.由(1)知，DE 是鳖臑 DBCE 的高，BCCE，所以 V213SBCEDE16BCCEDE.在 RtPDC 中，因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以

17、 DECE22CD，于是V1V213BCCDPD16BCCEDE2CDPDCEDE4.21解：(1)由 f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)g(x)ex，得f(x)g(x)ex.联立解得f(x)12(exex)，g(x)12(exex)当 x0 时，ex1，0ex0.又由基本不等式，有 g(x)12(exex)exex1，即 g(x)1.(2)证明：由(1)得 f(x)12ex1ex12exexe2x12(exex)g(x)，g(x)12ex1ex12exexe2x12(exex)f(x)，当 x0 时，f（x）xag(x)(1a)等价于f(x)axg(x)(1a)x，f（x）x0，故 h(x

18、)在0，)上为增函数，从而 h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故成立b若 c1，由，得 h(x)0，故 h(x)在0，)上为减函数，从而 h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故成立综上，知 ag(x)(1a)f（x）xbg(x)(1b)22解：(1)因为|OM|MN|NO|314，当 M，N 在 x 轴上时，等号成立；同理，|OM|MN|NO|312，当 D，O 重合，即 MNx 轴时，等号成立，所以椭圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2，其方程为x216y241.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有 SOPQ12448.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykxmk12 ，由ykxm，x24y216，消去 y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即 m216k24.(*1)又由ykxm，x2y0，可得 P2m12k，m12k ；同理可得 Q2m12k，m12k .由原点 O 到直线 PQ 的距离为