定积分及应用61887

1、第六章定积分及其应用习题6-11、利用定积分的定义计算下列定积分：(1) ；解：令,因此,取为的等分,此时有,取,于是,.(2) .解：令,因此,取为的等分,此时有, ,取,于是,.2、利用定积分的几何意义,说明下列等式：(1)；解：因,及围成的三角形的面积为, 因此由定积分的几何意义知.(2)；解：因圆形的面积为,那么,及围成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为,因此由定积分的几何意义知.(3)；解：因为奇函数,那么由,围成的面积为,而由,围成的面积为,由定积分的几何意义知,两个面积大小相等,符号相反,因此.(4).解：因为偶函数,那么由,围成的面积为,而由,围成的面积为,由定积分的几何意

2、义知,两个面积大小相等,符号相同,因此.3、讨论狄利克雷函数在区间上的可积性.解：取为的等分,此时有, ,取为中的某个有理数,为中的某个无理数,于是,由于,于是在上的不可积.4、用定积分表示下列极限：(1)； 解：.其中：,取为的等分,此时有, ,取,于是,.(2)； 解：.其中：,取为的等分,此时有, ,取,于是,.习题6-21、估计下列积分的值：(1) ；解：,那么,.(2) ；解：, ,那么,.(3) ；解：,那么,.(4) .解：,那么,.2、比较下列各题中的两个积分的大小：(1) ,；解：由于,所以.(2) ,；解：由于,所以.(3) ,；解：由于,所以.(4) ,；解：由于,所以.

3、(5) ,.解：由于,所以.3、设及在上连续,证明：(1)若在上,且,则；证明：因在上连续,且,则,这样,那么.(2)若在上,且,则在上；证明：由(1)显然.(3)若在上,且,则若在上.证明：由条件知在上,且,由(2)知在上,即.习题6-31、计算下列各导数：(1) ；解：.(2) ；解：.(3) .解：.2、计算下列各积分：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ,其中解：.3、求下列极限：(1)；(2)；.4、设,求,.解：显然,于是,.5、求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两端对求导,得,所以.6、求

4、函数的极值.解：令,得,由于当时,当时,所以函数有极小值.7、设在上连续,在内可导,且,证明函数在内的二阶导数.题目有误：例如,设,有,.习题6-41、计算下列定积分：(1).(2).(3).(4).(5) .(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).2、利用奇偶性计算下列定积分：(1).(2).3、证明下列各题：(1),；证明：.(2)；证明：.(3).证明：因,所以.证明：.证明：.习题6-51、计算下列定积分：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7),.(8).(9).(10).(11),.2、利用递推公式计算：(1)；解：由于,于是

5、.(2).解：.习题6-61、判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛计算广义积分的值：(1)；解：由于,故积分收敛,且.(2)；解：由于,故积分发散.(3)；解：,积分收敛.(4)；解：由于,有,于是,积分收敛.(5)；解：,积分收敛.(6)；解：,积分收敛.(7)；解：由,知发散,故积分发散.(8)；解：,积分收敛.2、当为何值时,广义积分收敛？当为何值时,这广义积分发散？当为何值时,这广义积分取得最小值？解：(1)当时,积分发散；(2)当时,积分发散；(3)当时,积分收敛,作,令得,当时, 当时,可见当时,取得最大值, 于是当时,积分取得最小值.3、用函数表示下列积分,并计算积分值已知(1)

6、,(为自然数)；(2)；(3).习题6-71、求由下列曲线所围图形的面积：(1),；解：由,得或,.(2),；解：.(3),；解：由,得或,.(4),(两部分都要计算)；解：由,得或,.(6)与,；解：.(7),；解：.(8),().解：.2、求由下列各题中的曲线所围图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：(1),绕轴、轴；解：,.(2),绕轴；解：,.(3)绕轴；解：,.(4)绕().解：, ,.3、用平面截面积已知的立体体积公式计算下列各题中立体的体积：(1)以半径为的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体解:,.(2)半径为的球体中高为的球缺解:,.(3)底面为椭圆的椭圆柱体被通过

7、轴且与底面夹角()的平面所截的劈形立体解:,.习题6-81、已知边际成本为,固定成本为,求总成本函数. 解：因,所以.2、已知边际收益,求收益函数. 解：.3、已知边际成本为,求当产量由增加到时,应追加的成本数. 解：应追加的成本数为.4、已知边际成本为,边际收益为,求最大利润(设固定成本为0). 解：,于是,令,得,而,所以最大利润为.5、某地区居民购买冰箱的消费支出的变化率是居民总收入的函数,当居民收入由亿元增加至亿元时,购买冰箱的消费支出增加多少？解：消费支出增加数为(亿元).6、某公司按利率(连续复利)贷款万元购买某设备,该设备使用年后报废,公司每年可收入万元.(1)为何值时,公司不会亏本？(2)当万元时,求内部利润(应满足的方程)；(3) 当万元时,求收益的资本价值.解：已知利率,年,(1)公司保本的条件是：年总收入的现值万元,即,