导数与导数的应用

1、个性化教学辅导教案学科： 数学 任课教师： 刘兴峰 授课日期： 年 月 日(星期 )姓名张博湉年级高二性别女授课时间段总课时 第 课教学课题教学目标知识点：方法：难点重点课堂教学过程课前检查作业完成情况：优 良 中 差 过程第一教学环节：检查作业第二教学环节：知识点、考点的讲述第三教学环节：课堂练习第四教学环节：布置作业 课堂检测测试题(累计不超过20分钟)_道；成绩_；教学需:加快;保持;放慢;增加内容课后巩固作业_题; 巩固复习_ ; 预习布置_签字教学组长签字： 教研主任签字: 总监签字：学生签字： 学习管理师签字：课后备注学生的课堂表现：很积极 比较积极 一般 不积极需要配合学管：家长

2、： 知识点概述：1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_2、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数， 记作 ，导函数也简称为导数。3、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。4、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。特别提

3、醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。如（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_3、 已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_4、 曲线在点处的切线方程是_5、 已知函数，又导函数的图象与轴交于。求的值；求过点的曲线的切线方程5、导数的运算法则：6、

4、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。如（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是_；（2） 设函数在上单调函数，则实数的取值范围_；（3）已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，则的取值范围是_；（4）已知，设，试问是否存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？（2） 利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求；（2）求方程的根，设根为；（3）将给定区间分成n+1个子区间，再在每

5、一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数在处有极值，且，求的单调区间。7、函数的极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左

6、正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 如（1）函数的极值点是 A、极大值点 B、极大值点 C、极小值点 D、极小值点；（2） 已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是_；（3） 函数处有极小值10，则a+b的值为_；（4） 已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_8、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各

7、极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。如（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_；Obaxy（2）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。如（1）是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是 ObaxyObaxyObaxyObaxyB、C、D、A、（2） 方程的实根的个数为_；（3）已知函数

8、，抛物线，当时，函数的图象在抛物线的上方，求的取值范围经典例题：例3求在点和处的切线方程。例4求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.例6求抛物线 上的点到直线的最短距离. 例7已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.例8已知函数在上是减函数，求的取值范围.例9当 ，证明不等式.例10设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?例11函

9、数，其中是的导函数.（1）对满足11的一切的值，都有0，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线3只有一个公共点. 典型习题导练1已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函数在处有极值为10，则= .3给出下列三对函数：， ，；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .4已知函数有极大值和极小值，求的取值范围.5已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.6设在上的最大值为，（1）求的表达式；（2）求的最大值.7.

10、函数在处不可导，则过点处，曲线的切线 （ ） A必不存在B必定存在 C必与x轴垂直 D不同于上面结论8.在点x=3处的导数是_.9.已知，若，则的值为_.10.已知P（1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _. 11.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.12若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标.典型例题：1.曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）（A）（2，8） （B）（1，1）或（1，1） （C）（2，8） （D）（，）2.一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5

11、3t2，则它在1,+t内的平均速度为（ ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t63.曲线y=x3x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）（A） （B） （C） （D）4.过曲线y=x2上一点作切线与直线3xy+1=0交成450角，则切点坐标为（ ）（A）（1，1） （B） （，）或（1，1）（C）（，）或（1，1） （D）（1，1）或（1，1）5.(05广东卷)函数是减函数的区间为( )（）（）（）（）6.（05全国卷）函数，已知在时取得极值，则=（ ）（A）2（B）3（C）4（D）5-22O1-1-117(05江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( ）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD8y=x2ex的单调递增区间是 9曲线在点处的切线方程为_。10P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是_。 11在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_。12.路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是 （要求以m/s为单位）13.（04年天津卷.文21