25一元二次方程的应用

1、一元二次方程的应用一元二次方程的应用本课内容本节内容2.5 一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子本节来举一些例子 某省农作物秸秆资源巨大，但某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用合理使用量十分有限，因此该省准量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率合理使用率. .若今年的使用率为若今年的使用率为40%40%，计划后年的使用率达到计划后年的使用率达到90%90%，求这两，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）定该省每年产生的秸秆

2、总量不变）. .今年的今年的使使用率用率（1+1+年平均增长率）年平均增长率）= =后年的使用率后年的使用率你能找出你能找出问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ 40%40%（1+1+x）=90%=90%整理，得整理，得 （1+1+x）=2.25=2.25解得解得 x1 1=0.5=50%=0.5=50%， x2 2=-2.5=-2.5答：答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.50%.若若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你，请你根据等量关系，列出方程：根据等量关系，列出方程：接下来请你解出此一元二次方程

3、接下来请你解出此一元二次方程x2=- -2.5符合题意吗？符合题意吗？（不合题意，舍去）不合题意，舍去） 例例1 1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由降价，每瓶零售价由100100元元降为降为8181元元. .求平均每次降价的百分率求平均每次降价的百分率。举举例例 原价原价(1-(1-平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率) )= =现行售价现行售价你能找出你能找出问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ 100（1-x）=81解得解得 x1=0.1=10%, x2=1.9答：平均每

4、次降价的百分率为答：平均每次降价的百分率为10%.10%. 若若设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为x，根据等量关系，根据等量关系你能列出方程吗？你能列出方程吗？(不合题意，舍去不合题意，舍去)接下来请你解出此一元二次方程接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？两个根都符合题意吗？ 例例2 2 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品元的价格购进一批商品.若每件若每件商品的售价商品的售价为为x元，则可卖出（元，则可卖出（350-10 x）件，但物价局限定）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的每件商品的售价不能超过进价的120.若该商店计划从这批若

5、该商店计划从这批商品中获取商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？件商品，此时的售价是多少？举举例例 （售价（售价- -进价）进价）销售量销售量= =利润利润. .你能找出你能找出问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ （x-21)()(350-10 x）=400 整理，得整理，得 x-56x+775=0解得解得 x1=25, x2=31. 注意：注意：21120%=25.2，即售价不能超过，即售价不能超过25.2元，元，所以所以x=31不合题意，不合题意，应当舍去应当舍去.故故x=25.答：该商店需要卖出

6、100件商品，且每件商品的售价是25元. 你能你能根据等量关系根据等量关系列出方程吗？列出方程吗？从而卖出从而卖出350-10 x=350-1025=100（件）（件） 你认为你认为运用一元二次方程解实际运用一元二次方程解实际问题的关键是什么问题的关键是什么？找出问题中的等量关系找出问题中的等量关系说一说说一说1.1.审题审题, ,找出问题中的等量关系找出问题中的等量关系2.2.根据题意，设未知数根据题意，设未知数3.3.把等量关系转换成一元二次方程把等量关系转换成一元二次方程4.4.选取适当的方法解方程选取适当的方法解方程5.5.根据题意对求出的根的实际意义进行检验根据题意对求出的根的实际意

7、义进行检验6.6.答题答题运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？1.某校图书馆的藏书在两年内从万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？练习练习解：设平均每年藏书增长的百分率为解：设平均每年藏书增长的百分率为x5（1+x） = 7.2整理，得整理，得 (1+x)=1.44 解得解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)答：平均每年藏书增长的百分率为20%。2.2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装2020件，件，每件可盈利每件可盈利4444

8、元若每件降价元若每件降价1 1元，则每天可多售出元，则每天可多售出5 5件若要平均每天盈利件若要平均每天盈利16001600元，则应降价多少元？元，则应降价多少元？解：设应降价解：设应降价x元，则元，则(44-x)(20+5x)=1600整理，得整理，得 x-40 x+144=0解得解得 x1=36, x2=4答：应降价答：应降价3636元或元或4 4元。元。举举例例例例3 如图如图2-2，一块长和宽分别为，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面形，折成一个无盖的长方

9、体盒子，使它的底面 积为积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长求截去的小正方形的边长.底面长底面长宽宽 = = 底面积底面积你能找出你能找出问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系吗？吗？ 若设截去的小正方形的边长为若设截去的小正方形的边长为xcmcm，则无盖长方，则无盖长方体盒子的底面边长分别为体盒子的底面边长分别为(40-2(40-2x)cm)cm，(28-2(28-2x)cm)cm，根据等量关系根据等量关系你能列出方程吗？你能列出方程吗？解得解得 x1=27，x2=7 因此因此 3440034 2017 10.2 12x 原方程可以写成原方程可以写成 x2- -34x+189=0.

10、这里这里 a=1，b=- -34，c=189，b2- -4ac =( (- -34) )2- -41189=( (217) )2- -4189 = 4( (172- -189) )=4( (289- -189) )=400，(40-2(40-2x)(28-2)(28-2x)=364)=364接下来请你解出此一元二次方程接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？两个根都符合题意吗？ 如果截去的小正方形的边长为如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这，这超过了矩形铁皮的长超过了矩形铁皮的长4

11、0 cm. 因此因此x1=27不合题意，应不合题意，应当舍去当舍去答：截去的小正方形的边长为答：截去的小正方形的边长为7 cm例例4 4 如图如图2-42-4，一长为，一长为32m32m、宽为、宽为24m24m的矩形地的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化余下部分进行了绿化. .若已知绿化面积为若已知绿化面积为540m540m，求道路的宽求道路的宽. . 举举例例分析分析 虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。分析分析 若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 问题中涉及的

12、等量关系问题中涉及的等量关系是什么？是什么？矩形面积=矩形的长矩形的宽若设道路宽为若设道路宽为x m m，则新矩形的边长为，则新矩形的边长为(32-(32-x)m)m，宽，宽为为(20-(20-x)m)m，根据等量关系根据等量关系你能列出方程吗？你能列出方程吗？(32-(32-x)(20-)(20-x)=540)=540 整理，得整理，得 x-52x+100=0解得解得 x1=2 , x2=50又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？ x2=5032 ，不符合题意，舍去，不符合题意，舍去,故故 x=2.答：答：道路的宽道路的宽为为2 2米米. .练习练习

13、3. 如图，如图， 在长为在长为100m、宽为、宽为80m 的矩形地面上要修建的矩形地面上要修建两条同样宽两条同样宽且互相垂直且互相垂直的道路，余下部分的道路，余下部分进行绿化进行绿化若若要使绿化要使绿化面积面积为为7644 m2，则路宽应为多，则路宽应为多少少米米？解解设设修建的路宽应为修建的路宽应为x米米，则根据题意得，则根据题意得化简，得化简，得2100 +80=100 80 7644xx x-2180 +356=0 xx- -解得解得12x =2178x =（不合题意，舍去不合题意，舍去）修建的路宽应为修建的路宽应为2m.答：答：100m80m举举例例例例5 5 如图如图2-62-6所

14、示，在所示，在ABC中，中，C=90， AC=6cm，BC=8cm. .点点P沿沿AC边从点边从点A向终点向终点C以以1cm/s的速度的速度移动；同时点移动；同时点Q沿沿CB边从点边从点C向终点向终点B以以2cm/s的速度移动，且当其中一点的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动到达终点时，另一点也随之停止移动. .问点问点P，Q出发几秒后可使出发几秒后可使PCQ的的面积为面积为9cm？ 问题中涉及的等量关系问题中涉及的等量关系是什么？是什么？两直角边的乘积的一半两直角边的乘积的一半 = = 直角三角形的面积直角三角形的面积SPCQ=PCCQ 你能你能根据等量关系根据等量关系列

15、出方程吗？列出方程吗？根据题意得根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 若设点若设点P，Q出发出发xs后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm整理，得整理，得解得解得 x1= x2=3答答：点点P，Q出发出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm.练习练习4 4.如图，在RtABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为RtABC面积的一半？答：点答：点P，Q同时出发同时出发2s后可使后可使可

16、使可使PCQ的面积为的面积为 RtABC面积的一半面积的一半.整理，整理， 得得.21424 = 0 xx+-. 111686 8222xx（）（）则由则由SPCQ= 可得可得 12PC CQ解得解得.12= 2 =12xx，（不合题意，舍去不合题意，舍去）则根据题意得则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8- -x）cm，CQ=（6- -x）cm. .解解设点设点P，Q 出发出发x秒后可使秒后可使PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半，面积的一半，建立一元二建立一元二次方程模型次方程模型实际问题实际问题分析数量关系分析数量关系设未知数设未知数实际问题的解实际问题的解解一元二次解一元二次

17、方程方程一元二次方程的根一元二次方程的根检检 验验小结与复习小结与复习中考中考 试题试题例例1 （20122012湘潭）如图，某中学准备在校园里利湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙（围墙MN最长可利用最长可利用25m），现在已备足），现在已备足可以砌可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为矩形花园的面积为300m解解设设AB=xm，则则BC=（502x）m根据题意可得，根据题意可得， x（502x）=300解得：解得： x1=10，x2=15，当当x=10，BC=501010=3025，故故x1=10不不合题合题意舍去意舍去.答：可以围成答：可以围成AB的长为的长为15米，米，BC为为20米的矩形米的矩形中考中考 试题试题例例2 （2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款