数字电子技术基础：第二章 逻辑代数基础

1、.第二章 逻辑代数基础二值逻辑及其基本运算二值逻辑及其基本运算逻辑代数基本公式（基本定律）逻辑代数基本公式（基本定律）逻辑代数基本定理（基本规则）逻辑代数基本定理（基本规则）逻辑函数及其表述逻辑函数及其表述逻辑函数化简（公式法、卡诺图法）逻辑函数化简（公式法、卡诺图法）非完全描述的逻辑函数及其化简非完全描述的逻辑函数及其化简本 章 内 容.教学基本要求教学基本要求1 1、熟悉逻辑代数基本定律和恒等变换方法、熟悉逻辑代数基本定律和恒等变换方法3 3、掌握逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法、掌握逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法2 2、熟悉逻辑函数熟悉逻辑函数的建立及其描述方法的建立及其描述方法2.1

2、 概述概述逻辑代数又称布尔代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数的一系列定律、定理，用于对逻辑函数式少的数学工具。逻辑代数的一系列定律、定理，用于对逻辑函数式进行化简和恒等变换处理，并用于对逻辑电路的分析和设计。进行化简和恒等变换处理，并用于对逻辑电路的分析和设计。逻辑关系指的是逻辑关系指的是: :事件产生的条件和结果之间的因果事件产生的条件和结果之间的因果( (函数函数) )关系。关系。数字逻辑电路的发展，应溯及数字逻辑电路的发展，应溯及数学数学、逻辑学逻辑学和和电子学电子学的交汇融合。的交汇融合。而条件和结果

3、均具有二值性，可分别用逻辑而条件和结果均具有二值性，可分别用逻辑“1” 和逻辑和逻辑“0”表示。表示。在数字电路中，往往是将事件发生的条件作为输入信号，而结果在数字电路中，往往是将事件发生的条件作为输入信号，而结果则形成输出信号。则形成输出信号。2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算 与（AND） 或（OR） 非（NOT）以以A=1表示开关表示开关A合上，合上，A=0 0表示开关表示开关A断开；断开；以以B=1表示开关表示开关B合上，合上，B=0 0表示开关表示开关B断开；断开； 以以Y=1 1表示灯亮，表示灯亮，Y=0 0表示灯不亮；表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：三种电路

4、的因果关系不同：与逻辑与逻辑o诸多条件同时具备，则结果发生诸多条件同时具备，则结果发生oY=A AND B = A&B=A B=ABA BY0 00 00 00 10 10 01 01 00 01 11 11 1真值表真值表公理：公理：0 0= 0 1=1 0=0 1+1=1或逻辑或逻辑A BY0 00 00 00 10 11 11 01 01 11 11 11 1公理：公理：0+0=0 0+1=1+0=1+1=1真值表真值表非逻辑非逻辑o条件不具备，结果发生条件不具备，结果发生YAYA或oY=NOT AA Y0 0 1 11 10 0真值表真值表公理：公理：0 = 11= 0，交换律

5、：交换律：A + B = B + A结合律：结合律：( A + B ) + C = A + ( B + C )分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A B = B A(A B) C = A (B C)A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + A = 1互补律：互补律： 2.3逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律( (基本公式基本公式) )非非律非非律：( (否定之否定否定之否定) )AA重叠律：重叠律：(同一律同一律)A + A = AAA BA 吸收律

6、吸收律I: ABACBCDAB + AC反演律：反演律：( )A + B = A B德摩根定律ABAAB吸收律吸收律II: ABACBCAB + AC冗余律冗余律: AB = A + B A A = A()ABAAB()AAAB)()()()BCCBACABAA（基本公式的证明基本公式的证明例：证明例：证明ABA BABA B，列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边的函数值的真值表( (真值表证明法真值表证明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A

7、 BABA B 2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则(基本定理基本定理) 代入规则代入规则 ： 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。则称为代入规则。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A A，得得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围LABAC 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（对于

8、任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（）换成或（+），或（），或（+）换成与（换成与（）；并将）；并将1换成换成0，0换成换成1；那么，所得的新的函数式就；那么，所得的新的函数式就是是L的对偶式，记作的对偶式，记作 。 L()()LAB A C例例: 逻辑函数逻辑函数 的对偶式为的对偶式为2. 2. 对偶规则：对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律运算公式，例如，吸收律对于任意一个逻

9、辑表达式对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（，若将其中所有的与（ ）换成）换成或（或（+），或（），或（+）换成与（）换成与（）；原变量换为反变量，反变）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将量换为原变量；将1换成换成0，0换成换成1；则得到的结果就是原；则得到的结果就是原函数的反函数。函数的反函数。3. 3. 反演规则：反演规则：)(1)(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例：例： 试求试求 的反演式的反演式解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法o逻辑函数：逻辑函数：事件产生的条件和结果之间的因果关系。事件产生的条件和结果之间

10、的因果关系。( , ,), ,YF A B CA B C式中为输入逻辑变量，Y为输出逻辑变量所有逻辑变量只有0和1两种取值。o函数表达式函数表达式o逻辑函数的建立和描述逻辑函数的建立和描述列真值表列真值表建立标准函数建立标准函数函数恒等变换函数恒等变换逻辑电路逻辑电路波形图波形图若输入逻辑变量为若输入逻辑变量为n n个，可列表穷举个，可列表穷举2 2n n种不同的输入取值情况，种不同的输入取值情况，并对应标明每一情况下输出逻辑变量的运算结果。并对应标明每一情况下输出逻辑变量的运算结果。“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式 “与与- -或或- -非非”表达式表达式“或非或

11、非或非或非” 表达表达式式“与与- -或或” 表达式表达式 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、逻辑函数的最简表达式、逻辑函数的最简表达式在若干个逻辑关系相同的与在若干个逻辑关系相同的与- -或表达式中，将其中包含的与项数或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与- -或表达式。或表达式。2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡诺图法）图解法（

12、卡诺图法）代数化简法：代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 1AA并项法并项法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABBA 吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配项法配项法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB )CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB C

13、DBADCBAABDDBADABL )例例 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解：) B A L AB BA & & & & & CBACBA CBACBA CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 CBACBAL 例例 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表

14、达式的逻辑图。解：解： CBACBAL .2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式最小项的定义及性质最小项的定义及性质用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是

15、对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：代数法化简在使用中遇到的困难：n个变量个变量X1, X2, , Xn的最小项是的最小项是n个因子的乘积，每个变量个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般现一次。一般n个变量的最小项应有个变量的最小项应有2n个。个。 BAACBA、 、A(B+C)等则不是最小项。等则不是最小项。例如，例

16、如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（三个逻辑变量的最小项有（23）8个，即个，即 CBACBACBABCACBACBACABABC、1. 最小项的意义最小项的意义最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1 1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1 1； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0 0；CBABCACBACBACBACABABCCBAABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00

17、 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 2、最小项的性质最小项的性质 3、最小项的编号最小项的编号 三个变量的

18、所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用最小项的表示：通常用mi表示最小项，表示最小项，m 表示最小项表示最小项, ,下标下标i为为最小项号。最小项号。 ABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01

19、 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1CBABCACBACBACBACABABCCBA逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 ( ,)()()L A B CAB CCA BB Cl为为“与或与或”逻辑表达式；逻辑表达式； l 在在“与或与或”式中的每个乘积项都是最小项。式中的每个乘积项都是最小项。例例1 1 将将( , ,)L A B CABAC化成最小项表达式化成最小项表达式= m7m6m3m1 (7, 6 3 1)m, ,()L ABCABCABCABCABC逻辑函数的最小项

20、表达式：逻辑函数的最小项表达式：ABCABCABCABC( , ,)()L A B CABABC AB 例例2 将将 化成最小项表达式化成最小项表达式 a.去掉非号去掉非号()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括号去括号ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图的引出卡诺图：将卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样逻辑相

21、邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, ,所得到的图形叫所得到的图形叫n变量的卡诺图。变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项如最小项m6=ABC、与与m7 =ABC 在逻辑上相在逻辑上相邻邻m7m6AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺

22、图BABABAAB两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡诺图的特点卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。 3. 已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中

23、找出和表达式中最小项对应的小方格填上最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有时也可（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。的方格所对应的最小项之和。例例1：画出逻辑函数：画出逻辑函数L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡诺图的卡诺图 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L ( ,)()

24、()()L A B C DABCD ABCD ABCD()()ABCDABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例例2 画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 00 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解解1. 1. 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式2. 2. 填写卡诺图填写卡诺图 ),(m15131060用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1、化简的依据、化简的依据DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m

25、7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 2、化简的步骤、化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。将所有包围圈对应的乘积项相加。(1) 将逻辑函数写成最小项表达式将逻辑函数写成最小项表达式(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填其对应方格填1，其余方格填，其余方格填0。(3) 合并最小项，即将相邻的合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组方

26、格圈成一组(包围圈包围圈)，每一组含每一组含2k个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。项。本书中包围圈用虚线框表示。画包围圈时应遵循的原则：画包围圈时应遵循的原则： （1 1）包围圈内的方格数一定是）包围圈内的方格数一定是2k个，且包围圈必须呈矩形。个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。的包围圈中

27、一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4） 一个包围圈的方格数要尽可能多一个包围圈的方格数要尽可能多, ,包围圈的数目要可能少。包围圈的数目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 DBBDL BD 例例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式或表达式 解：解：(1) 由由L 画出卡诺图画出卡诺图 m)D,C