数学与程序设计

1、JSOI 2009.数学与程序设计数学与程序设计JSOI 2009.引例 问题描述问题描述有一个自然数有一个自然数n，在他的首尾两，在他的首尾两端添上一个端添上一个1，由于，由于1是自然数之首，便形是自然数之首，便形成一个成一个“两头蛇数两头蛇数”1N1。如果。如果“两头蛇两头蛇”数数1N1正好是原自然数正好是原自然数N的的k倍，问倍，问n是多少？是多少？ 现在请你编程解决。现在请你编程解决。JSOI 2009.两头蛇数100110.1.101000.1.10100.11.knNnkNnkNnkJSOI 2009.程序设计中的数学 数论 组合数学 母函数 计算几何 JSOI 2009.程序设计

2、中的数学 基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数 JSOI 2009.初等数论 整除 同余 素数JSOI 2009.指数取余 输入整数输入整数m,n,k，求，求mn mod k的值。其中的值。其中m,n,k为为自然数（自然数（m,n在长整形范围内，在长整形范围内，k=46340）。）。ab (mod m)cd (mod m)acbd(mod m)次数压缩？次数压缩？同余同余 穷举穷举 (m mod k)n xkxxxn.321JSOI 2009.389 mod 7 89=64+16+8+1 313 (mod 7) 3232 (mod 7)2 (mod 7) 34(32)2 (mod 7

3、)22 (mod 7)4 38(34)2 (mod 7)42 (mod 7)2 316(38)2 (mod 7)22 (mod 7)4 332(316)2 (mod 7)42 (mod 7)2 364(332)2 (mod 7)22 (mod 7)4 389(364)(316)(38)(31) (mod 7) 5 (mod 7) JSOI 2009.质多项式 给定多项式 f(x)=an*xn an-1*xn-1 . a0*x0，如果an0 ,我们称f(x)是一个n次多项式。 类似自然数里质数的概念，也可以给出“质多项式”概念。给定多项式f(x)，如果找不到次数至少为1的多项式g(x)和h(x)

4、满足f(x)=g(x) * h(x)，我们称f(x)为质多项式 。 为了简化起见，我们规定多项式的系数只能取两个数：0或1。并且重新定义在0,1上的加法和乘法如下： 0+00 0+11 1+01 1+10 0*00 0*10 1*00 1*11 如：(x2+x1)(x1+1)=x3+x2+x2+x1=x3+x1 对于给定的正整数k，求出次数为k的质多项式。 如：输入 1 输出 x+1 输入 5 输出 x5+x2+1 JSOI 2009.质多项式解题思路 寻找质数 + 穷举 穷举k次的多项式，检验能否被已经找到的质多项式整除，若不能则本身也是质多项式。 多项式除法 * 0+00 0+11 1+0

5、1 1+10 0*00 0*10 1*00 1*11 加法：XOR 乘法：正常 减法：XOR 除法：正常JSOI 2009.x3+x 、 x+1 、 x2+xJSOI 2009.程序设计中的数学 基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数 JSOI 2009.平行四边形的个数平行四边形的个数 把三角形把三角形ABC的三边各的三边各n等分，过各等分点作等分，过各等分点作各边的平行线，将三角形各边的平行线，将三角形ABC分割成一些小平分割成一些小平行四边形，计算这些小平行四边形的个数。行四边形，计算这些小平行四边形的个数。JSOI 2009.就一类平行四边形进行讨论41nC31nC42nCJS

6、OI 2009.方程的解方程的解 已知方程 x1+x2+x3+xm=n 其中x1=a1,x2=a2,xm=am 且miian1 求方程的非负整数解的组数 令x1= x1-a1, x2=x2-a2, xm= xm-am x1 + x2 + xm= P11mmpCJSOI 2009.程序设计中的数学 基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数 JSOI 2009.蜂族的旅行 和其他昆虫不同，为了不至于迷路，蜜蜂在蜂巢（紧密连接的正六边形）中行走必须遵守一定的路线。把一个正方形的中心看作原点。如果一只蜜蜂要从A(x1,y1)点飞到B(x2,y2)点，且AB不在同一六边形的话，那么它必须按照蜂族的

7、飞行规则，首先飞到包含A点的正六边形的中心，然后每次都只能从一个正六边形的中心飞到和它相邻的六边形中心，直到它飞到包含B点的正六边形的中心为止，然后再飞往B点。 知道正六边形的边长d与A、B点的坐标，算出蜜蜂的飞行距离。（A、B都不会刚好落在某个六边形的边上）。 样例1.0 -3.2 2.2 3.3 07.737JSOI 2009.蜂族的旅行 A、B在同一六边形，直接计算直线距离 如何判断两点在同一正六边形？JSOI 2009.)3,0(kd pdypdx2323)233,23(pdkdpdJSOI 2009.12p3dy32233213232),(或或pdykdxdxpyx确定所在的六边形并

8、计算到顶点的距离从AB经过的六边形个数JSOI 2009.程序设计中的数学 基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数 JSOI 2009.小虫问题 在一个7*7的方格中，每个小方格内都有一条小虫，约定在同一个时刻方格中的小虫必须向周围（上下左右4个方向）爬一格。 证明：在爬了一格之后，至少有一个小方格是空的。JSOI 2009.被绘坏的玉米地 “哈姆，外星人又在那了！”。埃塞和哈姆他们的玉米地是长方形的。每年在丰收之前，他们的玉米地都会很奇怪的遭到毁坏(据埃塞说是外星人干的)。所有破坏的地方都是以 1 米为半径的圆米为半径的圆。哈姆发现，如果玉米地上建立一个适当的直角坐标系的话，那些圆心

9、的坐标将都为整数圆心的坐标将都为整数。万幸的是，埃塞和哈姆有玉米保险，但必须把损坏的面积统计出来。JSOI 2009.JSOI 2009.程序设计中的数学 基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数 JSOI 2009.质数分解问题 任何大于 1 的自然数 n，都可以写成若干个大于等于 2 ，且小于等于 n 的质数之和表达式(包括只有一个数构成的和表达式的情况)，并且可能有不止一种质数和的形式。例如9 的质数和表达式就有四种本质不同的形式： 9 = 2+2+5 = 2+2+2+3 = 3+3+3 = 2+7 。 自然数 n (2n200)可以写成多少种本质不同的质数和表达式。 JSOI 2009.母函数 给定数列a0,a1,an,构造一函数 F(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+anfn(x)+ 称F(x)为数列a0,a1,an,的母函数， 序列f0(x),f1(x),fn(x),称为标志函数。 F(x)=a0 x0+a1x1+anxn+ JSOI 2009.普通型母函数 设从n元集合S=a0,a1,an中取个元素的组合为bk，若限定元素ai出现的次数不超过mi，则该组合数系列的母函数为：nimmmix10JSOI 2009.砝码称重 有重量为1，3，5克的砝码各两个，问 （1）可以称出多少种不同重量的物品？ （2）若要称出重量为7克的物品，所使用的砝码有多少种