数学分析讲解数列极限

1、.Chap2 极限与连续极限与连续古希腊Archimede“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽“割圆术”；Newton“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。. Chap2 1 数列极限数列极限.1x2x3x4xnx一、数列定义1 函数 f : NR称为数列，记为xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项通项。 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取12,nx xx例例1 讨论数列的单调性和有界性2222nx （n重根号）.1( 1)1.nnn例2观察数列当 时的变化趋势二、数列极

2、限定义.定义2 设有数列xn. 若存在常数A，使得0, NN, 当nN时，|xnA|，则称xn的极限极限为A，或称xn收敛收敛于A，记为limnnxA()nxAn 或若A不存在，则称数列xn无极限，或称为发散发散(不收敛不收敛) 是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。 N的存在性存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|N成为 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”.|nxA适当放大法：1|( )()nxAG nnN( )(1) lim( )0;(2)nG nG

3、 n其中适合形式简单，即由2( ).G nnN容易解出12max,|.nNN NnNxA最后取则时，.239lim0.79nnnn 例6证明lim1(0);(2) lim1.nnnnaan两个结果：(1) 例7 设数列xn对常数A和0 q 0, 使得nN有|.nxM推论1 无界数列必发散。推论2 若数列,lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB满足且则定理3 （不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy则，当时,有N Nu 即使将“xn yn”换为“xn yn”, 结论也不能改为“A B”.推论4 若lim0,nnxANnN则当时,有N N|0.2nAx 推论3

4、 （保号性）若lim0,NnnxANnN则，当时,有0.2nAx u 若将“A0”换为“A 0, 且 , 则有limnnaa12limnnna aaa推论推论3 若an 0, 且 , 则有1limnnnaaalimnnnaa.例14 求极限22223312233limnnnnn13Ex. 求极限12limnnn n23五、数列收敛准则1单调有界定理单调有界定理 设数列xn单调增加. 则当xn有上界时, xn收敛，当xn 上无界时, xn为正无穷大，且均成立limsup;nknkxxN Nu 若xn为单调数列. 则xn收敛 xn有界.u 想一想 数列xn单调减少时的情形？.2222nx (n重根

5、号), 例15 设1112.0, (1,2,),2nnnaaana例16 设lim.nnx求例17 证明数列.11收敛nnnxu e=2.7182818284是自然对数的底(lnx = logex), 是无理数.1lim 1e.nnn记limnna证明 存在并求之.,11e111nnnnynnx且xn单调增加收敛于e, yn单调下降收敛于e.例18 设1111ln ,23ncnn 证明cn收敛.实际上, 我们还有.定义5 数列xn中依次取出下标为n1 n2 nk 1时，an收敛；当p 1时，an为正无穷大.3 Cauchy收敛准则收敛准则 数列xn收敛的充要条件是：0,:|.nmNn mNxx N N 基本列(Cauchy列) 满足上述必要性条件的数列！ 等价形式：0,:|.npnNnNpxx NNNN 否定形式：数列xn发散当且仅当0000000,:|.nmNn mNxxN N 问题：数列xn为基本列 与pN有 等价吗？lim| 0npnnxx.例22 设1111,23nxn 证明xn发散.注 此例中，对pN有lim|