线性控制系统的能控性和能观性

1、第3章 线性控制系统的能控性和能观性本 章 内 容3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.1 能控性的定义1. 线性连续定常系统的能控性定义对于状态方程为的线性定常连续系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一状态转移到任意终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能（可）

2、控的；或使系统由任意初始状态转移到任意终端状态，则称此系统是能（可）控的。2 线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：3 离散时间系统只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：3.2 线性定常系统的能控性判别 线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据 阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A阵和 B 阵，确定其能控性。3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别1 单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：或式中，n个互异根，下面分别对以下三个系统的能控性进行分析：，； 即 ， ，； 即 ， ，； 即 ，

3、结论：系统矩阵为约旦阵时具有串联结构，因状态变量之间存在耦合，要保证系统能控，从模拟结构图来看，必须且只需输入出发的信号线 “流向”最前端的状态变量；其它状态变量将间接受到的控制；对状态方程而言，只需每个约旦块的最后一个方程包含输入项即可，即每个约旦块最后一行对应的的相应行的元素中至少有一个不为零。2.具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：3.2 线性定常系统的能控性判别1 能控性矩阵判别准则：定理 线性定常系统，其状态完全可控的充要条件是由阵所构成的能控性判别矩阵满秩，即 式中，是矩阵的维数。证明 该系统的解为再由能控性的定义，若系统能控，则对于任意初始状态向量应能找到输入，使之在有

4、限时间区间内转移到零状态。令，且，即 因为 由凯莱哈密顿定理，得 代入： 所以， 为维矩阵，为维矢量，定积分也为维矢量，其中代入得： 令为维列矢量则分析：上式是具有个变量，个方程的线性非齐次方程组，是维矩阵，其元素已知；是给定的初始状态， 个元素已知；是个元素的矢量，其元素待求已知，与控制向量有关；能控性问题转化成任意给定一个初始状态，求在时间内将状态由的控制向量 ，即给定和系数矩阵，从该式中求出；由线性方程组解的定理知：有解的充要条件是系数矩阵 和增广矩阵的秩相等，即，由于是任意给定的，则必有满秩，即，称 为能控性判别矩阵；特例：当时，需满足。例 判别下列系统的能控性解 构造并计算能控性判别

5、矩阵可见矩阵第一行和第三行完全相同，故，而，所以该系统不能控。2 约旦（包括对角线）标准化后的能控性判别准则 非奇异变换不改变系统的能控性 证明：经非奇异变换后为式中，变换阵为则变换后能控性判别矩阵由于 ，则 由线性代数理论可知：任意矩阵用一个非奇异矩阵左乘、右乘后秩不变。从上式说明，非奇异变换不改变系统的能控性。3.3 线性连续定常系统的能观性1 能观性的定义通过有限时间内的输出值，能否观测系统的所有状态变量。定义： 设系统齐次状态空间表达式为 如果对任意给定的输入，在有限观测时间，使的根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻时的状态，则称状态是能（可）观测的。若系统的每一个状态都是能观测的

6、，则称系统是状态完全能（可）观测的，或简称是能（可）观的。说明：定义中把能观性定义对初始状态的确定，因为一旦确定初始状态，便可求出各个瞬时状态； ，一般 。2 能观性判别准则1） 能观性矩阵判别准则：定理 线性定常连续系统状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵 满秩，即。证明 将状态转移方程则输出为：由凯莱哈密顿定理，得所以 可以写为：分析： 上式子可看成一个含有个未知量的个方程的线性方程组。当时方程无唯一解，为了要唯一地解出个初始状态变量，必须由个不同时刻的输出值组成具有个方程式的线性方程组（注意为维矢量），即 即 式中 为行，列的矩阵；为维矢量；为维矢量。由线性方程组解的定理知，要使的

7、解存在且唯一，其充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同且等于，即 由可以看出，欲使矩阵的秩等于，则要求维矩阵： 满秩，即或写为满秩 2）约旦（包括对角线）标准化后的能观性判别准则定理 设线性定常连续系统阵具有互异特征值，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角线标准型中的中所有（各）列元素不全为零。对于重特征值，即使阵呈现对角线标准型，也不能用这个判据。定理 包含有重特征值的阶系统，经非奇异变换为约旦标准型式中 实例分析：系统1： 解状态方程和输出方程得： 模拟结构图为分析：由图中可看出，若满足系统完全能观，则中每一列元素不能全为零，即图中 至少有一个不为零，若它们全为0，

8、则输出中不包含，由于对角线标准型对应的模拟结构图呈并联结构，即间不存在相互影响，则中只能考虑是否直接包含 即可。结论：、模拟结构图中所有状态变量至少流向的一个分量；、状态方程中每个状态变量至少在输出方程出现一次，即 中各列元素不全为零。系统2：状态方程的解为 代入输出方程得 分析：由上式可知，当且仅当 中第一列元素不全为零时，中总包含， 阵其他列可全为零，故为约旦阵且相同特征值分布在一个约旦块内时，输出阵中与约旦块最前一列对应的列不全为零。3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.4.1 能控性矩阵 M离散时间系统的状态方程如下：当系统为单输入系统时，式中为标量控制作用控制阵为维列矢量；G为系统

9、矩阵；为状态矢量。 3.4.2 能观性矩阵N离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。式中, 为维列矢量；C 为输出矩阵 根据能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出，就能唯一地确定任意初始状态矢量 ，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。有： 若系统能观，并且已知时，应能确定出 ，可得： 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即3.5 时变系统的能控性与能观性3.5.1 能控性判别1. 有关线性时变系统能控性的几点说明1) 定义中的允许控制，在数学上要求其元在 区间是绝对平方可积的，这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存

10、在且唯一。2) 定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态转移到目标状态(原点)的时刻。3) 根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。4) 非奇异变换不改变系统的能控性。5) 如果是能控状态，则 也是能控状态，是任意非零实数。6) 如果和是能控状态，则 也必定是能控状态。7) 由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间。2 线性连续时变系统的能控性判别3.5.2 能观性判别1有关线性时变系统能观性的几点讨论 1) 时间区间是识别初始状态所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻的选择有关。2)

11、对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。3)如果是不能观测的，为任意非零实数，则也是不能观测的。4)如果和 都是不能观的，则也是不能观的。5)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观子空间，记为 。只有当系统的不能观子空间。在状态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。2线性连续时变系统能观性判别3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1 线性系统的对偶关系1、 定义对于定常

12、系统和的状态空间表达式分别为 若满足下列条件：则称与互为对偶。式中 维状态矢量； 分别为与维控制矢量； 分别为与维输出矢量； 系统矩阵； 分别为与控制矩阵；分别为与输出矩阵2、 特性1）对偶系统传递函数阵之间的关系为矩阵：为矩阵 结论：对偶系统的传递函数矩阵互为转置。2）对偶系统特征方程之间的关系结论：对偶系统的特征方程相同，特征值不变。3.6.2 对偶原理定理 若系统与是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。证明 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型（1）同一系统状态空间表达式不唯一，通过非奇异变换，不改变系统的能控/能观性，通过非奇异变换：化为约旦

13、标准型-方便状态转移矩阵计算 化为能控标准型-便于实现状态反馈 化为能观标准型-便于设计状态观测器（2） 前提：只有系统完全能控/能观，才能化成相应的标准型。3.7.1 单输入系统的能控标准型1） 能控标准型型定理 若线性定常单输入系统 能控，则存在线性非奇异变换 式中 变换为如下能控标准I型 式中 为特征多项式的各项系数；是相乘的结果，即 2） 由能控标准型得求系统的传递函数阵3）能控标准II型定理 若线性定常单输入系统 能控，则存在线性非奇异变换 ,式中，将状态空间表达式变换为如下能控标准II型 式中 式中的是矩阵特征多项式的各项系数；式中是相乘的结果，即 3.7.2 单输出系统的能观标准

14、型1)能观标准I型定理 若线性定常系统 能观，则存在非奇异变换，（为能观性判别矩阵），将状态空间表达式变换为如下能观标准I型 式中 式中，是矩阵特征多项式的各项系数；为相乘的结果，具体计算式和能控标准II型的相应计算式相同。2)能观标准II型定理 若线性定常单输出系统 能观，则存在非奇异变换 式中 将状态空间表达式（9.167）变换为如下能观标准II型 式中 式中，是矩阵特征多项式的各项系数；为相乘的结果，具体计算式和能控标准I型的相应计算式相同。3.8 线性系统的结构分解3.8.1 按能控性分解设线性定常系统是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：将状态空间表达式变换为：

15、其中 可以看出，系统状态空间表达式变换后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中n维子空间：是能控的，而维子系统：是不能控的。至于非奇异变换阵： 其中n个列矢量可以按如下方法构成，前个列矢量 是能控性矩阵M中的n个线性无关的列，另外的 个列 在确保为非奇异的条件下，完全是任意的。3.8.2 按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩则存在非奇异变换将状态空间表达式变换为：其中可见，经上述变换后系统分解为能观的n1维子系统：和不能观的n-n1维子系统：3.8.3 按能控性和能观性进行分解 1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和

16、能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。2)变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。3.9 传递函数阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概念对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式：使之成立则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把维的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中 为维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。3.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不