对一则教学片断的反思与改进

1、对一则教学片断的反思与改进兼谈教学中的具体到抽象付 超（重庆市黔江中学）高中数学课程应努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，在学懂数学的过程中，除了经常用到逻辑思维以外，重要的还有从具体现象到数学的一般抽象以及将一般结论应用到具体情况的思维过程。笔者以听课时听到的一则典型案例（“零点存在性定理”）的教学片断为例具体阐述。一、教学片断实录实验设计：给学生一条直线和一根细线(如图1)，并记细线的两个端点为A、B，让学生动手。观察在什么情况下一定能够保证一条细线和给定的直线有交点？学生可以发现当点A和点B位于直线的两侧时，能够满足题意，而当点A和点B位于直线的同侧时，有可能有交点，也有可能没

2、有交点，故不一定有交点。引导学生从数的角度来分析，从而得到f(a)f(b)<0的结论。教师继续问：在刚才的情况下(点A和点B在直线的两侧时)细线与给定直线已经有交点了，请问你能设计出方案使他们没有交点吗？学生会有两种方案：将点A和点B移到直线的同侧(进一步说明了f(a) f(b)<0的必要性)；只要把细线剪断即可(说明函数图象必须是连续的)。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理。设计意图：因为f(a)f(b)<0且图象在区间a，b上连续不断是函数f(x)在区间a，b上有零点的充分而非必要条件，学生对这点的理解比较困难，所以根据情况创设简单明了的数学实验，降低学生学习中

3、的难点（抽象性），让学生直观感受到函数零点存在性定理各条件的作用，从实验的解决中领悟定理的本质。二、反思上述片断中，教师设计了一个非常好的数学情境，为学生理解零点存在性定理做了很好的铺垫，然而，教师并未真正完成从“具体”到“抽象”的过程。可以发现，教学的情境创设仍局限在“知识点”的思考上，淡化了一个重要的转化，即将“具体实物模型”转化为“函数模型”，然后利用“函数模型”解决具体问题，从而使教学的有效性受到极大影响。1. 从“局部”到“整体”的反思零点存在性判定定理的目的是通过函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为求方程的解的个数做好知识上和思想上的准备。它起着承上启下的作用，

4、教学中应突出这一点。第一，承上，应引导学生将具体的“实物形象”转化为抽象的“函数图象”；第二，启下，应关注例题的教学，即将“求函数零点的问题”与求“方程的近似解的问题”建立起关联性整合。2. 从“内隐”到“外显”的反思零点存在性判定定理，教材不要求对其给予证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认。定理的条件和结论是学生学习的难点，因此学生的认识不能仅停留在实验的操作层面和数的角度上，教师应提供“从内隐到外显”的机会，设计“从内隐到外显”的通道。第一，在具体的“函数图象”中得出零点存在的条件。定理的教学，应关注抽象的过程，即将“直线与细线的交点”与“函数的零点”建立起关联性整合，通过引导学生观

5、察函数图象与轴的交点情况，来研究函数零点的情况。第二，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视，如数图象不连续、f(a)f(b)>0、f(a)f(b)<0且函数在区间上不单调、f(a)f(b)<0且函数在区间上单调等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解。三、改进教学以“实验操作”为基础，辅之以“问题驱动”，通过类比分析将归纳方法与严密思考相结合，直观与抽象相结合，使学生思维的发展是一个清晰的“螺旋上升”的过程。可以构建如下框架：“实验设计，提出问题”“类比分析，得出结论” “引导观察、阐述定理” “定理应用、承上启下”。1. 实验设计，提出问题给学生一条直线和一

6、根细线，并记细线的两个端点为A、B。问题1：观察在什么样的情况下能够保证这条细线和给定的直线：(1)一定有交点；(2)不一定有交点；(3)没有交点。问题2：观察图2，这是某地在12月份几天内的一张气温变化模拟函数图(即一个连续函数图象)片断，图象中有一段被墨水污染了。(1)将4日到8日之间的函数图象补充完整。(2)现在有人想了解一下4日至8日之间是否有某天的温度为0，你能帮他吗？2. 类比分析，得出结论问题3：两个问题有什么共同的地方？能具体解释吗？生：两者很相似。将直线看做x轴，将细线看做函数图象，那么直线和细线的交点的横坐标就是函数的零点。师：很好，直线给了我们x轴的印象，细线给了我们函数

7、图象的印象，直线和细线的交点给了我们函数零点的印象。那么“某时刻的温度为0”的问题，就可以看做是求什么？生：求函数零点的问题。师：结合实物操作和你所画的图象，再进一步思考函数存在零点需满足什么条件？生：区间两个端点的函数值应异号。师：能结合问题说明吗？生：当点A和点B在直线的两侧时，将直线看作x轴，将细线看做函数图象，A、B两点的函数值为一正一负，此时细线和直线一定有交点。师：很好，你观察得非常仔细，更可贵的是你对零点的定义的理解，其他同学有补充的吗？生：我认为还应满足一个条件，函数在给定的区间上应该是连续不断的。师：能说明理由吗？生：如图2，函数在区间4，8上的两个端点的值已互为异号，若中间

8、部分不定义，就不会有零点。师：也就是说，我们还应该考虑一个问题，即不是连续函数结论不成立（结合y=+2的图象说明。）师：还有补充吗？ 生：我觉得函数在区间4,8上的零点可以有两个。师：不错，提出了一个很好的问题，但这是另外一个问题了，我们可以先放一下，待会儿解决，还有其他补充吗？师：也就是说，函数要有零点，有两个条件缺一不可：(1)函数图象是连续的；(2)f(a) f(b)<0。(给出零点存在性定理。) 3. 引导观察，阐述定理问题4：f(a)f(b)>0，函数y=f(x)在区间a,b上一定没有零点吗？问题5：若f(a)f(b)<0，函数y=f(x)在区间a.b上只有一个零点

9、吗？可能有几个？问题6：f(a)f(b)<0时，增加什么条件可确定y=f(x)在a,b上只有一个零点？结合y=x4+2x3-2x2-2x的图象说明问题。4. 定理应用，承上启下例 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。 问题7：能否确定一个区间使函数在该区间上有零点。生：用“试值法”，发现f(2)<0，f(3)>0，因此，区间(2,3)上有零点(教师补充“图象法”，如图3。) 问题8：该函数有几个零点？为什么？ 生：一个。因为f(x)=lnx是增函数，f(x)=2x-6是增函数，所以f(x)=lnx+2x-6在区间 (2,3)内单调递增。 问题9：刚才问题3中有同学提出了一个好问题，我们一起看看，函数在区间4,8上的零点可能有两个吗？ 生：要具体问题具体分析。假如此时函数是单调递增函数，则零点为一个；假如函数不是单调递增函数，则零点可能为多个。 数学是思维的体操。源于抽象性是数学的特征之一，教学在表达上需要确切，结论的正确性只能靠逻辑的演绎证明，然而任何抽象的数学概念