九年级数学上册思维特训(七)　抛物线背景下的等腰三角形存在性问题

1、.思维特训七抛物线背景下的等腰三角形存在性问题方法点津 ·1没有明确腰的等腰三角形有三种情况；可利用腰相等建立方程求解2利用等腰三角形底边上高也是底边上的中线，同时也是顶角的平分线建立方程求解3在平面直角坐标系中，表示线段的长时，通常用到同一直线上两点间的间隔 公式以及勾股定理典题精练 ·类型一等腰三角形两个顶点在抛物线上，第三个顶点在抛物线的对称轴上1如图71，直线yx3与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线yx2bxc与x轴的另一个交点为A，顶点为P.1求该抛物线的解析式2在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在

2、，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由图71类型二明确腰的等腰三角形2如图72，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A1，0，B4，0，C0，4三点，P是直线BC下方抛物线上一动点1求这个二次函数的解析式2是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由图72类型三含待定字母的抛物线形成的等腰三角形3函数C1：ykx23kx4.1求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点2当k0时，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，是否存在实数k，使ABC为等腰三角形？假设存在，恳求出实数k的值；假设不存在，请说明

3、理由类型四抛物线及直线上的点形成的等腰三角形4如图73，抛物线yax26xc与x轴交于点A，B5，0，与y轴交于点C0，5，P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，连接PB，PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线BC于点E.1求该抛物线的解析式2当t5时，BPE能否为等腰三角形？假设能，恳求出此时点P的坐标；假设不能，请说明理由图73典题讲评与答案详析1解：1直线yx3与x轴、y轴分别交于点B，C，B3，0，C0，3把点B，C的坐标分别代入抛物线的解析式可得解得抛物线的解析式为yx24x3.2存在yx24x3x221，抛物线的对称轴为直线x2，P2，1设M2，tC0

4、，3，MC222t32，MP2t12，PC22213220.CPM为等腰三角形，有MCMP，MCPC和MPPC三种情况：当MCMP时，那么MC2MP2，即22t32t12，解得t，此时M2，；当MCPC时，那么MC2PC2，即22t3220，解得t1与点P重合，舍去或t7，此时M2，7；当MPPC时，那么MP2PC2，即t1220，解得t12 或t12 ，此时M2，12 或2，12 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为2，或2，7或2，12 或2，12 2解：1设二次函数的解析式为yax2bxc.把A，B，C三点的坐标代入，可得，解得二次函数的解析式为yx23x4.2存在如图，作OC的垂直平

5、分线DP，交OC于点D，交BC下方的抛物线于点P，那么POPC，此时P即为满足条件的点C0，4，D0，2，点P的纵坐标为2.将y2代入yx23x4，可得x23x42，解得x小于0，舍去或x，存在满足条件的点P，其坐标为，23解：1证明：当k0时，函数为一次函数，即yx4，函数图象与x轴交于点3，0；当k0时，函数为二次函数，3k24k×43k20，函数图象与x轴有一个或两个交点综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点2ykx23kx4，当y0时，kx23kx40，解得x13，x2，假如设点A的坐标为3，0，那么点B的坐标为，0当x0时，y4，点C的坐标为0，4当ABC为等腰三角

6、形时，点B的坐标为3，0或2，0或，0或8，0当3时，k；当2时，k；当时，k；当8时，k.综上所述，满足条件的实数k的值为，.4解：1B5，0，C0，5，解得抛物线的解析式为yx26x5.2能B5，0，C0，5，直线BC的解析式为yx5.由题意可知Pt，t26t5，那么Ht，0，Et，t5，且BHE为等腰直角三角形，BEBH5tBPE为等腰三角形，有PEPB，BEPB和BEPE三种情况：当PEPB时，由于PEB45°，PEB为等腰直角三角形，点P在点A处令y0，那么x26x50，解得x11，x25，A1，0，即P1，0，符合题意；当BEPB时，由于PEBH，HEHP，即点E与点P关于x轴对称，t5t26t50，解得t12，t25不合题意，舍去，P2，3；当B