可靠性数学基础

1、可靠性数学基础知识重庆大学 周家启1 集合与事件概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。1.1 集合的定义和符号具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A的元素，则记为读作“x属于A”。而则表示x不属于A。如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，集B的

2、每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。有限集A中元素的数目叫A的基数，记为|A|。一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如与括号中元素的排列次序无关。一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。于是前面列出的集S也可写成或 有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为 或 有时读成A包含B。一个集A也总是它本身的一个子集，。集A中任何一个不等于A的子集B称为A的真子集，记为 或 如果 且， 则A=B。1.2 集合的基本组合规则通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。如果A和

3、B是两个集，则它们的并定义为它们的交定义为例1 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，则=1、2、3、5、7；=2、3如果集A和集B没有公共元素，则称它们为不相交的集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。称其为空集，以表示。因之，而且也是任意一个集N的子集。集的并和交的运算服从以下规则1. 幂等律，2. 交换律，3. 结合律，4. 分配律，集A和集B的差AB定义为如果B是A的一个子集，则有时称AB为B在A中的补集。例2 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，则ST = 5、7；TS = 11.3 集的集合的概念在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况。以下用所谓的

4、幂集来说明这个概念。定义任意集A的幂集(A)为A的全部子集的集合，即例3 令A=x, y, z，则对于集的集合，其并和交的定义是：令为任意集的集合，则并而交如果是有限个集的集合，例如，则常可写出或或例4 令=A、B、C，其中A=2，3，5，7，B=1，3，5，C=1，2，3，则=1、2、3、5、7，还可以由其它的方式构成集的集合。如果集A的每一个元素至少属于集中的一个成员，即，则称集A的非空子集的集合为A的覆盖。如果A的一个覆盖还具有如下性质：的全部成员都是两两互不相交的，则称是A的一个划分。例5 如果S=a、b、c、d、e，则可以有如下覆盖a、b，b、c、d，b、c、e；a、b，c、d、e；

5、a、b、c、d、e并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。1.4 事件及其集合表达1.4.1 样本空间人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验

6、”一词来统称产生原始数据的过程。抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。例6 将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，正，正，正，反，反，正，反，反，则样本空间S = 正，正，正，反，反，正，反，反例7 在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，即其样本空间S = 0，1，2，3，1.4.2 事件事件总是与某些实验的

7、结果相关联，理论研究中一般作出以下假设：(1) 在相同条件下重复进行；(2) 实验的结果可能不只一个；(3) 不可能预先判定每一次实验将出现的结果。工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为：样本空间中的一个子集称为事件。例8 设某种电子元件使用寿命的样本空间为，式中t为该元件的寿命，则是该元件寿命等于或小于5年的事件。为研究和叙述问题方便，还常常定义以下事件：如果一个事件只包含样本空间集合中的一个元素，则称这个事件为基本事件，或简单事件；如果一个事件在某个实验中一定会发生，则称这个事件为必然事件；如果一个事件在某个实验中一定不会发生，则称这个事件为不可能事件；如果一个事件在某个实验中可能发生也

8、可能不发生，则称这个事件为随机事件。概率论就是研究随机事件规律的一门数学分支。例9 在对电网的事故统计中，如果说，“某一条供电线路一年内可能发生故障的所有次数”，则这是一个必然事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 2 次故障”，则这是一个不可能事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 1 次故障”，则这是一个随机事件。为了能更易于理解所要讨论的问题，可利用图形来对概念进行描述。通常所用的是一种所谓的凡恩图。凡恩图通常画成一个矩形来表示全部样本空间S，如图1所示。面积S包含了要讨论的整个空间，其中可能存在着两个或两个以上的事件。图1是只包含两个事件A和B的特殊情况。如果事件A被完全包含在事件

9、B中（可用符号AB表示），则事件A由属于事件B，且只由属于事件B的元素构成，如图1a所示。一般的关系则是部分重合(图1b)或者完全不重合(图1c)。图1 凡恩图事件既然可以用集合来描述，则前述其集合的基本组合规则完全适用于事件的运算。2 概率基本概念2.1 定义概率是一种科学的“机会测度”，它从定量的角度定义了事件发生的可能性。这种测度在不可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之间的范围内取值。2.1.1 概率的古典定义如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其中对应于A的结果是m个，则事件A发生的概率为 (1)例10 有50件产品，合格品数是48件，令从这批

10、产品中“任取一件是合格品”为事件A，则在这批产品中任取一件是合格品的概率为P(A)=48/50=96%此外，由于必然事件包括了所有基本事件，设其用U表示，则可用概率的观点作如下解释：而不可能事件不包含任何基本事件，设其用V表示，也可用概率的观点作如下解释：随机事件A所含基本事件数m必然满足不等式0mn，所以0P(A)12.1.2 概率的统计定义由概率的古典定义可见，它要求事件数是有限的，且要求事件的发生是等可能的。但许多实际问题不具备这种性质。例如英文书籍中26个字母出现的可能性就很不相同，字母“e”就比字母“z”出现的可能性大得多。又如某流域的年降雨量可以取某一区间的任意实数值，这就不能满足

11、有限结果的要求。但是这些事件仍有其本身的规律性。只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值。由此可引入概率的统计定义。设n次重复试验中，事件A出现f次，则称f为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率：定义：当试验次数n足够大时，事件A出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A发生的统计概率，记为 (2)2.2 概率的基本运算规则依据前一节有关事件和概率的基本概念，本节按性质分类对事件及其概率运算的基本规则加以概述。2.2.1 事件分类1. 独立事件如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则这两个事件称为独立事件，例如抛一枚

12、硬币和掷一枚骰子是独立事件，因为骰子出现的点数并不影响抛硬币的结果。实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立事件，例如一个发电厂中不同的主设备的故障事件。但如果已知具有一定的相关性时，则必须在评估中将相关性考虑进去。事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计。2. 互斥事件如果两个事件不可能同时发生，则称它们是互斥事件，或称不相交事件。前一节的图1c就表示这种情况。当然，在A和B事件以外也可能发生其它事件，因为A和B并没有充满整个样本空间。例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。当然，该设备还可能处于非故障停运的第三种状态。3. 对立事件如果一个事件只

13、存在两种可能结果，其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生，则称它们是对立事件,或称互补事件，如图2所示。如果这两种结果A和B的概率分别是P(A)和P(B)，则根据定义有A 或 (3)图2 对立事件例11 设“一台发电机投入运行”为事件A，“该发电机停运”为事件，则事件A和事件B是对立事件，且显然，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件。4. 条件事件条件事件是一些在另一个或另几个事件发生的条件下发生的事件。如果研究事件B发生的条件下事件A发生的概率，则将其记为P(A|B)，读为“给定B发生时A发生的条件概率”。根据式(1)和图3可以得到 图3 事件的交或 (4)2.2.2 事件

14、的交两个事件A和B同时发生，在数学上称之为两个事件的交，由图3中阴影面积表示，并记为或。1. 独立事件由于独立事件中每一事件发生的概率并不受另一事件发生概率的影响，对于两个独立事件的情形则有因此根据式(4)，两者都发生的概率是 (5)对于多个独立事件，则可推广给出 (6)例12 有两个元件A和B，元件A正常工作的概率是0.9，元件B正常工作的概率是0.95。设两个元件是否正常工作互不影响，因此两个元件同时正常工作的概率是2. 相关事件这时，一个事件发生的概率要受另一个事件发生概率的影响。由式(4)有 (7)例13 某工厂的产品中有4%的次品，在100件合格品中一等品占75%，求任取一件产品是一

15、等品的概率。解 以A表示一等品，B表示合格品，C表示次品。则而 因此 2.2.3 事件的并两个事件A和B中至少一件发生，数学上称为事件的并，由图4中的阴影面积表示，记为。 BA图4 事件的并1. 事件独立而不互斥这种事件的概率计算如下： (8)上式可推广到对于n个随机事件的情形： (9)例14 某一系统由三个单元组成，每一单元的工作概率分别为1/3、1/2、1/2，任一单元工作，系统即能成功。求该系统成功工作的概率。解：设A、B、C分别为三个单元成功工作的三个事件。根据题意，可假设这三个事件是独立的，但不互斥，因此所求概率应为2. 事件互斥如果事件A和B互斥，则根据定义，它们同时发生的概率必然

16、为零，由式(8)可得 (10)2.2.4 全概率公式2.2.1节中条件概率的概念，可以推广到事件A的发生与若干互斥事件相关的情形。由式(7)可相应于每一个事件导出如下算式： (11)则如图5的情形有 (12)式(12)常被称为全概率公式。图5 条件概率例15 已知1000个电子元件中有从0到5个次品的情形是等可能的，如果除次品而外的元件都是正品,求从1000个电子元件中任取100个都是正品的概率。解 设事件(i=0，1，2，3，4，5)表示1000个元件中有i个次品,事件A表示取出100个都是正品。则根据题意有根据条件概率的定义和组合公式有于是按全概率公式得到所求结果为可靠性在工程应用研究中的

17、目的，往往是要评估系统失效（或运行）的概率，如果能够知道系统状态（失效或运行）与系统中某个元件X正常与故障两个互斥事件的相关信息，则可按全概率公式写出下式：P(系统失效)=P(给定X正常的条件下系统失效）P(X）+P(给定X故障的条件下系统失效)P() =P(系统失效X）P(X）+P(系统失效)P() (13)式中，X代表元件X正常运行，代表元件X故障。2.3 概率分布的概念2.3.1 随机变量实际工程中往往需要通过试验或现场的运行记录来收集可靠性评估要求的足够数据。这样的数据不可能得到单一的准确值，常常得到的是可能的取值范围。这些数值或者说发生的这些事件是带偶然性的。因此测试事件的参数是一些

18、随时间或空间变化的变量，将其称为随机变量，并可以用概率分布来描述这种随机变量。为了分析问题的方便，通常根据这些参数取离散值或是取连续的实数值而区分为离散或连续随机变量。为使概念清晰，可以了解一下它们的定义：其函数值由样本空间中每一个元素所确定的函数称为随机变量。要注意的是，随机变量本身就是一个函数，其取值是随机的，因之可用概率来量化描述其函数值。如果样本空间只包含有限个可能的数或一个可数无穷数列，则这个样本空间称为离散样本空间；由这个样本空间定义的随机变量称为离散随机变量。例如，一条架空线路一年内可能发生的故障次数记为L ，其取值范围理论上是 L = 0，1，2，3 ，这是一个可数无穷数列，因

19、之L是一个离散随机变量。如果样本空间包含无限个可能的实数，则这个样本空间称为连续样本空间；由这个样本空间定义的随机变量称为连续随机变量。例如，一台变压器的有效寿命T的取值范围理论上是S = 0 T R ,其中R是一个足够大的实数；因之T是一个连续随机变量。在工程问题中，计数数据通常是离散随机变量，测量数据通常是连续随机变量。2.3.2 随机变量的概率分布及其主要数字特征如前述，随机变量的函数值是不确定的，要由一定的取值范围来描述，通常即用概率方法来研究这种函数取值范围的分布规律，这就是常说的概率分布。于是，可以用概率分布来研究工程中通过试验或通过观察收集的数据，根据可靠性评估的要求来研究对它们

20、进行处理和估计的方法。下面将结合具体例子分别叙述离散和连续随机变量概率分布及其数字特征的概念。1. 离散随机变量例16 设有三台型号相同的水泵作灌溉之用，根据统计数据推断，每台水泵三年内不发生故障的概率是p = 0.8 ，研究这三台水泵三年后还能正常运转台数的概率分布。解 设随机变量X表示三年后还能正常运转的水泵的台数，并令（X = 0），（X = 1），（X = 2），（X = 3）分别代表三年后没有水泵能正常运转，以及1台泵、2台泵和3台泵能正常运转的事件。根据题意可假设这些事件是相互独立的，则按前两节的基本规则可知，三台水泵组合可能出现的全部状态为以下8种结果：SSS, SSF, SFF

21、, FFF, FSS, FFS, SFS, FSF其中，S和F分别表示三年后水泵正常运转和失效的基本事件。于是事件（X = 0）由FFF构成；事件（X = 1）由SFF，FFS，FSF构成；事件（X = 2）由SSF，FSS，SFS构成；事件(X = 3)由SSS构成。从而有以下概率P(X = 0) = = 0.008P(X = 1) = 30.8 = 0.096P(X = 2) = 30.2 = 0.384P(X = 3) = = 0.512以上四个等式就构成离散随机变量概率分布的一种表列形式，通常将其称作概率密度函数PDF(probability density function)，也可将

22、它表示成如图6a的直观形式。由这个例子可以注意到：对应于离散随机变量X的每一个取值，都有一个确定的函数（概率）值。另一种表达这些数据的方法是累积概率分布函数，常将其简称为累积分布函数DF(cumulative distribution function)。它的构成方式是从随机变量的最小值开始，按随机变量递增的顺序对各相应的概率值累加，直至每个变量的概率均被计入，得到如图图6b的函数。(a) 概率密度函数(b) 累积分布函数图6离散随机变量于是可以定义相应的离散变量CDF为 (14)由此可见，离散随机变量累积分布函数CDF的终值必为1。即 (15)式中，为随机变量X的第i个取值；S为样本空间。如

23、果一个随机变量的分布函数及有关参数完全确定，则其概率特征可以得到完全描述。但在实际问题中可能并不知道分布函数，因而常常需要找出对它的近似描述。这时可以用某几个主要的或者说关键的数值来近似刻画随机变量及其分布的宏观特性，并将它们称为随机变量的数字特征。即使是在分布函数已知的情况下，这些随机变量的数字特征也很有用，因为它们可以给出应用中随机变量有关的重要信息，而且还可用于表达概率分布的解析函数式。这些特征量中最常用的有均值和方差。由于一个随机变量有许多取值，就很自然地要找一个有代表性的中心值，例如平均值。又因为随机变量的不同取值有不同的概率，显然用概率来加权的平均值就更有意义，数学上将这种加权平均

24、值称为数学期望，实用中常简称为均值，用E (X)表示，并定义为 (16)为了进一步刻画分布的特征，还引用一个对均值离散程度的量度，称其为随机变量的方差，用V(X)表示，并定义为 (17a)或 (17b)在实用中，从量纲处理的角度来看，使用方差的平方根更为方便，因之引用随机变量方差的平方根，称为标准差，用表示，并定义为 (18)例17 按例16中的已知条件，计算三年后尚能正常运转的水泵的平均台数。解 由已知条件并应用式(16)可得三年后尚能正常运转的水泵平均台数为E(X) = 0(0.008)+1(0.096)+2(0.384)+3(0.512) = 2.40由这个结果可以注意到，一个离散随机变

25、量的期望值有可能不再是该随机变量的可能取值。这时可从工程角度判断认为三年后尚能正常运转的水泵平均台数约为2台。应用式(17)和式(18)还可计算出相应的方差和标准差：V(X) = 12(0.096)+22(0.38)+32(0.512)- (40)2 = 0.48= 0.69也就是说三年后尚能正常运转的水泵台数对2.4台的平均数可能相差 ±0.69 台，或者说对均值有±0.69/2.40 = ±29% 的偏差。2. 连续随机变量对于连续随机变量而言，只有当落在某一个取值的区间时，其概率才有意义。于是对X的某个特定值X = x ，就只能定义一个概率密度。因此通常用一

26、个所谓的概率密度函数PDF(probability density function)来描述连续随机变量的概率分布，常用表示，并可得X落在区间（a，b）中的概率为 (19)且 与离散情形类似，可以定义连续随机变量的累积概率分布函数CDF(cumulative distribution function)，也简称为累积分布函数，并用表示为 (20)且 由此可得 (21)应当注意，不是概率，而为随机变量X 的值落入区间的概率。连续随机变量的概率密度函数和累积分布函数的形状分别示于图7a和7b中。 (a) 概率累积分布函数 (b) 概率密度函数图7连续随机变量与离散情形类似，可定义连续随机变量均值和

27、方差的如下表达式：均值 (22)方差V(X) = = (23)式中E()称为X的均方差。同样可得标准差为 (24)例18 计算具有以下概率密度函数的随机变量X的均值和方差：解 均值均方差方差V(X)同样还可计算出标准差= 0.23572.3.3 常用分布函数应用举例可靠性问题的提出，来自于对产品寿命的关注。任何产品从开始使用到第一次发生故障，时间究竟有多长，不可能确切知道。显然，产品的正常使用寿命不是一个确定的时间，而是一个随机变量。同样，如果产品是可修复的，则其故障修复后再次使用，到下一次故障的时间仍然是一个随机变量。因此，可以用概率分布来模拟可靠性相关的问题。由此可见，对产品“寿命”的概率

28、模拟也就可以用“失效时间”来表征。对不可修产品，就是指失效前时间；对可修产品，最关心的是其相邻两次故障之间的持续可用时间，可称之为“无故障可用时间”。下面，先介绍一般可靠性函数，然后简述二项分布、泊松分布、正态分布以及指数分布的应用。1. 一般可靠性函数(1) 解析表达式可靠度定义：在规定的条件下和规定的时间区间内无故障持续完成规定功能的概率，常用R(t)表示。工程计算中常常使用不能完成规定功能的概率Q(t)，或称不可靠度，并有 (25)或Q(t) (26)根据概率基本概念，有故障密度函数 (27)定义故障率函数为 (28)上式等号两边积分得 (29)当l为常数时,上式简化为 (30)将这种特

29、殊情形称为指数分布，这是使用得非常广泛的一种分布。此外，还可推导出随机变量t的均值m的函数式为 (31)在工程应用中常将m用一个专门术语MTTF(mean time to failure)表示，称为平均失效前时间，它就是不可修复元件的平均寿命。(2) 可靠性函数的形状许多实际元件的故障率特性如图8所示，由于它的形状而常常称其为浴盆曲线。通常将其分为三个区间，第I个区间常称初期损坏期或调试阶段。它可能由于大批量产品中的次品，或设备制造过程中的偶然缺陷或设备在初期运行的不稳定等因素造成，这时故障率是一个随时间下降的曲线。第个区间常称正常使用或有效寿命期，故障率为常数，这时故障的发生纯属偶然，是唯一

30、适用指数分布的区域。第个区间则代表衰耗或元件疲劳屈服的阶段，这时故障率随时间急剧上升。对于故障密度函数，也可区别出相应的三个区间如图9所示。区域非常近似于负指数曲线，区域则有比指数曲线高得多的数值。区域可用正态分布，g分布或威布尔分布等来描述。图8 典型电子元件的故障率曲线图 图9 故障密度函数可靠度函数及累积故障分布函数的一般形状则分别如图10和图11所示。由图8的曲线形状看出，电子元件有一个较长的有效寿命期。电力系统中机械磨损较小的元件，其故障率曲线也可假设符合这一形状。在工程应用中，常常假设大多数元件可以通过经常而细心的维护和预防性维修使其维持在经济有效寿命期内,这样一来，就可以利用指数

31、分布模拟元件和系统的可靠性，使问题的分析大大简化。当然，这样的假设将带来偏乐观的估计。尤其是当元件估计已临近出厂规定的有效使用年限时，老化失效将可能起主导作用，常数故障率的假设将失效。 图10 可靠度函数 图11 累积故障分布函数2. 二项分布如果某个试验只有成功和失败两种结果，且假设成功的概率是p，失败的概率是q，则对于n次试验有 (32)称其为二项分布，并须满足以下条件：(1) 有限的试验次数(2) 每次试验只能出现两种结果之一(3) 所有试验结果必须有相同的概率(4) 每次试验必须是独立的例19 有4个完全相同的元件组成并联工作系统，如果元件的故障概率或者说不可靠度为F，其可靠度则为R=

32、1F，这个系统的概率分布为显然第一项代表4个元件都工作的事件出现的概率，这也就是要求全部元件都必须工作的系统的可靠度；前两项之和则可表示容许一个元件失效的系统的可靠度；余此类推，最后一项就是只须一个元件工作的系统的不可靠度。例20 用以下4个假想的发电系统的数据，进行确定性准则和概率性准则的对比研究。设4个系统分别由以下发电机组构成：系统1 24×10兆瓦机组，每台机组的FOP=0.01系统2 12×20兆瓦机组，每台机组的FOP=0.01系统3 12×20兆瓦机组，每台机组的FOP=0.03系统4 22×10兆瓦机组，每台机组的FOP=0.01其中FO

33、P(Forced outage probability)代表机组的强迫停运概率。假设这4个系统的峰荷依次分别是200、200、200和183兆瓦。即每个系统都有20%的容量备用裕度，因之按照传统的百分数备用确定性准则，这4个系统发电容量的的风险度是相同的，或者说它们的可靠性是一致的。现在利用二项分布的假设，按照例2.16的思路，计算出这4个系统的概率风险度分别是：系统1 0.000004系统2 0.000206系统3 0.004847系统4 0.000063系统3的真实风险度是系统1的1000倍，可见“百分数备用”的确定性准则不能科学地评估系统的风险度。3. 泊松分布泊松分布描述给定时间或空间

34、内发生率为常数，一定次数单个事件发生的频率，也就是说事件的发生必须是随机的。它与二项分布的主要区别是只考虑事件的发生而不考虑事件的不发生。一定时期内的着雷数，一个系统的故障数等就是这种例子。(1) 分布函数如果利用泊松分布来模拟失效过程，这时常将其参数称为故障率这样一个工程上的术语。因此令dt是一个足够小的时间单元，使得在这个时间单元内多于一次的故障概率可以忽略，则可得 (33)这个表达式计及了故障数，但并未计及元件故障后需要修复或更换的时间。(2) 均值由离散分布均值的计算式(16)可得 (34)如果令，则式(33)可写成 (35)例21 某系统中电缆线路的故障率l是每100公里0.5次/年

35、，求40年内10公里长度电缆线路不发生故障和发生一次故障的概率。解 由已知数据，10公里电缆40年内发生故障次数的均值为由此可得故障概率密度函数因此不发生故障，即x=0的概率为而发生一次故障，即x=1的概率为例22 如图12所示两相同元件构成的旁待备用系统的可靠性。设监测信号和切换装置均100%可靠，备用元件处于备用状态时不发生故障。解 由式(33)可知，当备用元件不工作时该系统的工作概率，也就是可靠度应等于系统不发生故障的概率，即 图12旁待备用系统当工作元件发生故障时，由于系统中有1个备用元件可以被切换继续工作，使系统不致失效。因之，在发生1次故障时，也属于系统的工作状态。于是这种系统的工

36、作概率是而根据式(31)，其平均持续工作时间则为现在假设每个元件的故障率均为0.02次/小时，要求系统工作时间不低于10小时，则可计算出该系统的如下可靠性指标：系统可靠度系统平均持续工作时间这个例子的计算过程可以推广到n个相同备用元件的情形：4. 正态分布正态概率分布有时称为高斯分布，是使用得最广泛的一种分布之一，它的概率密度函数对均值完全对称，其形状和位置由均值和标准差唯一确定。正态分布密度函数可表达为： (36)图13示出典型正态密度函数、累积分布函数以及故障率函数。它的主要特点是当随机变量为时，概率为0.5，因之是正态分布的均值，而且由于确定了曲线的横坐标位置，常称它为位置参数；确定了离

37、散度的大小，常称其为尺度参数，它也就是正态分布的标准差。图13正态分布概率函数(a) 概率密度函数；(b) 累积分布函数；(c) 故障率式(36)不能用简单的积分方法求解，通常是用数值积分由计算机解算，并编制了不同积分限时曲线下面积的标准表，从而可查表进行计算。标准表的依据是在式(36)中用标准正态变量Z进行以下代换 由图8的曲线形状看出，电子元件有一个较长的有效寿命期。电力系统中机械磨损较小的元件，其故障率曲线也可假设符合这一形状。在工程应用中，常常假设大多数元件可以通过经常而细心的维护和预防性维修使其维持在经济有效寿命期内,这样一来，就可以利用指数分布模拟元件和系统的可靠性，使问题的分析大

38、大简化。当然，这样的假设将带来偏乐观的估计。尤其是当元件估计已临近出厂规定的有效使用年限时，老化失效将可能起主导作用，常数故障率的假设将失效。 (37)而得出下面的标准形式： (38) 图14 正态函数曲线如果手边没有标准正态分布表，正态函数曲线下的面积可以用近似多项式求解。例如要求图14所示面积Q(Z)，则 (39)式中b1=0.31938153 b2= - 0.3563782b3=1.781477937 b4= - 1.821255978b5=1.330274429 r = 0.2316419经验式(39)的计算误差，因之结果足够精确。例23 某城镇新安装2000盏公用照明灯具，其平均寿命

39、为1000小时，标准差为200小时。投入使用700小时后，需要准备多少灯具作为更换可能损坏的灯具之用？解 设灯具的使用寿命服从正态分布，则灯具使用700小时后可能损坏的概率可由图15的阴影面积表示。于是由式(37)有据此可从标准正态分布表中查得相关数据，按下式计算出相应的概率Q(-1.5)：Q(-1.5) = 0.5 0.4332 = 0.0668图15正态分布曲线从而得到使用700小时后灯具的期望故障数是即是说使用700 小时后大约需要134盏灯具作更换损坏灯具的备用。此外，应用近似式(39)也可计算出Q(-1.5) = Q(1.5) = 0.0668两种方法结果相同。5. 指数分布一般所说

40、的指数分布，严格说来应该是负指数分布，也可以把它看成是泊松分布的特殊情况，即只考虑第一次故障概率的情况。指数分布是系统可靠性问题中用得最广泛的一种分布，目前工程实用中常常不加证明地使用故障率为常数或者说与时间无关的假设。这一点通常用以下三种理由来解释：第一，如果不作这样的简化，则尤其是对于大系统，问题的复杂程度将使解析方法难以应用；第二，评估所用的数据常常很有限，不足以检验所用分布的正确性。因此，使用更复杂的方法缺乏足够可信数据的支撑；第三，如果只研究系统的稳态概率值，已经有资料验证，只要元件在统计上是独立的，则分布类型对结果的影响甚小。不过应当强调的是，如果是研究与时间相关的概率，不同的分布

41、会得到明显不同的结果。(1) 概率分布如早先所述，当故障率为常数时，可靠度是 (40)从而故障密度函数为 (41)图16示出这种分布的可靠性函数图16指数分布可靠性函数(a) R(t)和Q(t)；(b) 故障密度函数；(c) 累积故障分布函数；(d) 故障率由图16a中表示的面积可分别计算给出不可靠度和可靠度 (42) (43)(2) 均值和标准差根据式(22)可得利用分部积分，上式可变为 (44)所以再由式(23)有因此 (45)也就是说，指数分布的期望值和标准差相等。例24 研究图17所示两相同元件并联工作冗余系统的可靠性。解 设每个元件的故障率为，并且其寿命服从指数分布。按照题意可知，只

42、要有一个元件工作该系统就能正常运行，即必须两个元件都故障系统才失效。因此可由式(5)计算系统的失效概率为图17两相同元件并联工作冗余系统系统的工作概率为而根据式(31)得到系统平均持续工作时间为假设每个元件的故障率为0.02次/小时，要求系统至少持续工作10小时，则计算该系统的工作可靠度为系统的平均持续工作时间为小时这个例子的计算过程可以推广到n个相同元件并联工作冗余系统的情形，其中n=3的算式为3 马尔可夫随机过程概念3.1 引言马尔科夫过程是一种常见的无后效性随机过程，其特点是随机过程在将来的状态仅与其现在所处状态有关，而与过去所处状态无关。也就是说，当一个系统在某一时刻的状态已知时，其后

43、的一切统计特性和它过去的状况无关；因之也常将这种系统称为无记忆系统。在应用马尔科夫过程进行工程系统可靠性模拟时常简称马尔科夫方法，并在服从指数分布或泊松分布时，它也是一个平稳随机过程，即被模拟系统的统计规律不随时间而变化。马尔科夫方法既可模拟离散也可模拟连续随机变量，对于离散变量的情形则特称马尔科夫链。在工程系统可靠性领域中，常常研究的是时间连续和空间离散的问题。3.2 离散马尔可夫链3.2.1 基本模型 随机转移概率矩阵设如图18示具有1和2两个状态的系统状态空间图，其中带箭头的线条及其相应的权值分别表示状态转移的方向及其常数转移概率。研究相继的离散时间点上系统状态的转移过程。由假设条件可知

44、，这是一个离散马尔可夫链。图18两状态系统由图可见，如果系统开始处于状态1，则在一个时间间隔后，这个系统可能以1/2的概率停留在状态1，或者以1/2的概率转移到状态2；即这时系统状态1出现的概率是1/2，状态2出现的概率也是1/2。如果系统开始处于状态2，则在一个时间间隔后，系统可能以3/4的概率停留在状态2，或者以1/4的概率转移到状态1，即这时系统状态1出现的概率是1/4，状态2出现的概率是3/4。如果用矩阵来模拟这一过程，则可构造以下矩阵 (46)式中，是在时间间隔开始时位于状态i，经过一个时间间隔之后转移到状态j的概率。将其应用于图18所示的系统，对于第一个时间间隔，如式(46)所示，

45、以及。将这一概念推广到n个状态的一般情况，可得如式(47)所示的矩阵。矩阵元素的定义是，行号i表示转移发生时的起始状态，列号j表示转移到达的状态。这个矩阵表示随机过程的转移概率，因此称为系统的随机转移概率矩阵。应当注意，矩阵的每一行的概率之和必然为1。 (47)3.2.2 时间相关概率由前一节随机转移概率矩阵的概念，可以利用式(48)方便地计算任意时间间隔后系统各个状态的概率。 (48)式中，P(x)为第x步时间间隔后系统的状态概率矢量；为随机转移概率矩阵P的n次自乘。以图18的系统为例，设其开始处于状态1，则系统初始状态矢量为。于是可计算2个时间间隔后系统的状态概率：3.2.3 极限状态概率

46、设若所研究的系统存在一个稳定的极限状态，则根据前述概念可推论出，一旦系统达到极限状态，则这时再用随机转移概率矩阵与系统极限状态概率相乘，其乘积不变。即如果表示极限概率矢量，而P为随机转移概率矩阵，则 (49)以图18的简单两状态系统为例，应用这一原理，并令和分别为在状态1和2时的极限概率，则有即这个关系式中只有一个独立方程，因之需要与下式联立求解并在此写成矩阵形式由此解出该系统两个状态的稳态(或称极限)概率3.2.4 吸收状态 状态期望停留时间计算在不可修系统中，当进入某些状态后就不再发生向其他状态的转移，例如进入失效状态，就意味着任务的结束。将这种一旦进入就不再向外转移的状态称为吸收状态，这

47、时可靠性分析的一个主要求就是计算系统停留在非吸收状态的平均时间间隔数，即计算系统在进入某一个吸收状态前的平均运行时间间隔。这一理念也可用于可修系统，计算其进入不希望进入的一个或几个状态之前成功运行的平均时间间隔数。此时，这些状态也许不是真正的吸收状态，因为在经过维修之后可以向其他状态转移。然而，若把这些状态(例如失效状态)规定为吸收状态，就可利用吸收状态的概念来计算平均持续运行时间间隔数。仍以图18所示的两状态系统为例，如果系统从状态1开始，停留在这一状态而不进入状态2的概率将随时间间隔数的增加而逐步减少，即只要允许时间间隔数变得足够大，则系统最终必然进入状态2。从数学上分析，这是因为 (50

48、)式中，n为时间间隔数，（1/2）为停留在状态1的概率。如果定义状态2为吸收状态，就意味着最终必然进入该状态。需要计算的是进入吸收状态2之前的平均时间间隔。推论到一般情形，则是计算系统进入吸收状态之前的期望时间间隔数。设P为任意系统的随机转移概率矩阵，Q为P中删去与吸收状态对应的行和列后的降阶矩阵，称其为截尾矩阵。于是应用数学期望的概念得出N=1·1+1·Q+1·Q2+1·Qn-1=1+Q+Q2+Qn-1 (51)式中N为期望时间间隔数。考虑到Q中的元素均是小于1的概率值，即有因此，通过一定的初等数学变换，当时，可得 (52)3.2.5 算例研究图19所

49、示的三状态系统，转移概率已在图中标明。试计算(1)每个状态的极限状态概率，(2)当状态3为吸收状态时，停留在每一个非吸收状态的平均时间间隔数。图19三状态例系统(1) 该系统的随机转移概率矩阵为如果极限状态概率分别为P1、P2和P3，则由式(49)得与式 联立并整理后，有解出P1=4/11，P2=4/11 和P3=3/11。(2) 如果状态3是吸收状态，则得截尾矩阵为则因此即N11=4，N12=2，N21=0，N22=2。这些数值表明，若系统开始处于状态1时，停留在状态1的平均时间间隔数是4（= N11）；若系统开始处于状态1，停留在状态2的平均时间间隔数是2（= N12），等等。N21是零，

50、表明若系统开始于状态2，则停留在状态1的时间间隔数为0。原因是从状态2到状态1没有直接转移，从状态2到状态1的唯一途径是通过状态3这个吸收状态。3.3 连续马尔可夫过程可靠性问题通常涉及到在空间上离散而在时间上连续的系统，当系统元件失效和修复的条件概率是常数时，即可满足平稳马尔科夫过程的条件。不可维修或可维修系统以及串联、并联冗余或备用冗余系统均可运用马尔可失方法进行分析。3.3.1 模拟方法如图20的单个可维修元件系统状态空间表达，设其故障率和修复率均为常数，即其特性可用指数分布模拟。图20单个元件可维修系统（a）状态空间图，（b）可靠度和时间相关可用度设：=元件刻t可运行的概率=元件在时刻

51、t在时失效的概率=失效率=修复率则有图20a所示系统运行和故障状态的密度函数分别为参数和又可统称为状态转移率，并给出如下定义：3.3.2 时间相关概率设前述系统状态转移时间间隔增量dt足够小，以致在dt增量中发生两个或更多个事件的概率可以忽略不计，则系统在dt之后运行状态的概率，即在图20a中时段t+dt内处于状态0的概率是：在时刻t运行且在时间dt中不失效的概率+在时刻t失效且在时间dt中被修复的概率，即 (53)同理 (54)整理后并使用导数的通用符号，当dt0时，有于是得 (55a) (55b)用矩阵表示为 (55c)解出 (56a) (56b)式中，概率P0(t)和P1(t)分别是系统

52、起始时间t=0处于运行状态时，作为时间函数的运行状态和故障状态的概率，通常称为可用度和不可用度，也可称为可用(概)率和不可用(概)率。值得强调的是，它与式(40)所示的可靠度 ，显然不是同一概念。3.3.3 极限状态概率如果分别用P0和P1表示运行状态和故障状态的极限状态概率值，则当时，从式(56a）和(56b）可得 (57a) (57b)这些极限状态概率也就相应于系统的稳态可用率和不可用率。3.3.4 随机转移概率矩阵评估方法当时间间隔的增量充分小，以使区间中发生两次或多于两次转移的概率可以忽略不计；则可将连续过程离散化，利用离散马尔科夫链的随机转移概率矩阵概念，分析连续过程的问题。因为充分小，在这个时间区间中发生转移的概率可等于转移率乘以该时间区间的长度。如果元件的故障率是，那么在时间中转移为失效状态的概率=，而在时间中不发生故障的概率=。从而得出图