九年级数学上册思维特训(三)　换元法在解方程中“四两拨千斤”

1、.思维特训三换元法在解方程中“四两拨千斤方法点津 ·1换元法是指在解决数学问题时，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量或代数式，对新的变量求出结果之后，返代回去求原变量的结果的方法2解方程时，把方程中的某些部分看成一个整体，用新字母代替即换元，从而把复杂方程化为简单方程，通过解简单方程，实现对方程的求解典题精练 ·类型一用换元法解一元二次方程1下面是昊昊用换元法解方程2x123x1x22x220的解答过程，请你判断是否正确假设有错误，请按这种思路求出正确答案解：设x1m，x2n，那么原方程可化为2m23mn2n20，那么a2，b3n，c2n2，m，即m14n，m2n

2、，x14x2或x1x2，x13，x2.类型二用换元法解含有绝对值的一元二次方程2阅读下面的例题，解方程x2|x|20.解：原方程化为|x|2|x|20.令y|x|，那么化成y2y20.解得y12，y21.当|x|2时，x±2；当|x|1时，不符合题意，舍去原方程的解是x12，x22.请模拟上面的方法解方程：1x22|x|0；2x125|x1|60；3x22x4|x1|50.类型三用换元法解一元高次方程3阅读下面的例题：解方程：x47x2120.解：设x2y，那么x4y2，原方程可化为y27y120，解得y13，y24.当y3时，x23，x±；当y4时，x24，x±

3、2.原方程有四个根：x1，x2，x32，x42.以上方法叫换元法，它起到了降次的作用，表达了数学的转化思想，运用上述方法解答以下问题：1解方程：x2x24x2x120；x2x2x2x32.2a，b，c是RtABC的三边长c为斜边长，SABC6，且a，b满足a2b2221a2b21000，试求RtABC的周长类型四用换元法解可化为一元二次方程的分式方程或无理方程4解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这种方法叫换元法先阅读下面的解题过程，再答复以下问题：例：解方程：2 30.解：设tt0原方程化为2t30，t，而t0，x.请利用上面的方法，解出下面两个方

4、程：1x2 80；2x60.5按照下面的步骤解方程：1.解：设y，那么原方程可化为关于y的方程_请你将后面的过程补充完好类型五均值换元法6阅读下面的范例，按要求解答问题例：实数a，b，c满足ab2c1，a2b26c0，求a，b，c的值解：ab2c1，ab12c.设at，bt.将代入a2b26c0，得t2t26c0，整理，得t2c22c10，即t2c120，t0，c1.将t，c的值代入，可得a，b，ab，c1.以上解法采用了“均值换元法一般地，假设实数x，y满足xym，那么可设xt，yt，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题现请你根据上述方法试解决下面的问题：实数a，b，c满足abc6，a2

5、b2c212，求a，b，c的值典题讲评与答案详析1解：该解答有错误正确解答如下：设x1m，x2n，那么原方程可化为2m23mn2n20，那么a2，b3n，c2n2，m，m1n，m22n，x1x2或x12x2，x14，x21.2解：1原方程可化为|x|22|x|0.设|x|y，那么y22y0.解得y10，y22.当y0时，|x|0，解得x0；当y2时，|x|2，解得x±2.原方程的解是x10，x22，x32.2原方程可化为|x1|25|x1|60.令y|x1|，原方程可化为y25y60.解得y16，y21.当|x1|6时，x1±6，解得x17，x25.当|x1|1时舍去那么原

6、方程的解是x17，x25.3原方程可化为|x1|24|x1|40.设|x1|y，那么y24y40，解得y1y22.即|x1|2，解得x11，x23.原方程的解是x11，x23.3解：1设x2xy，那么原方程可化为y24y120，解得y16，y22.由x2x6，得x13，x22.由x2x2，得方程x2x20，14×270，此时方程无实数根原方程的解为x13，x22.设x2x3y，那么x2x2y1，原方程可化为y1·y2，即y2y20，解得y12，y21.当y2时，x2x32，即x2x10，解得x1，x2；当y1时，x2x31，即x2x40，解得x3，x4.原方程的解是x1，x

7、2，x3，x4.2设a2b2x，原方程可化为x221x1000，解得x125，x24不符合题意，舍去a，b，c是RtABC的三边c为斜边，SABC6，a，b，c均为正数，c2a2b225，ab12，ab7，c5，RtABC的周长为abc7512.4解：1设t，那么原方程转化为t22t80，解得t12，t24，而t120，t240，2，x4.2设tt0，原方程可化为t2t20，解得t11，t22，而t110，t220，1，x5.5解：设y，那么原方程可化为关于y的方程2y1.两边同乘y，得12y2y，解得y11，y2.经检验，y11，y2是该方程的解当y1时，有1，解得x.经检验，x是该方程的解当y，有，解得x1.经检验，x