列二元一次方程组解应用题的主要题型复习

1、法国数学家笛卡儿:一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为方程问题,因此,一旦解决了方程问题,一切问题将迎刃而解。列二元一次方程组解应用题的主要题型复习一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤1、审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。弄清题意和题目中的数量关系,2、找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出,列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。3、设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的

2、等量关系列出方程。设未知数及作答时若有单位的一定要带单位,方程中数量单位一定要统一。设元(未知数。直接设元法间接设元法(往往二者兼用。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。1直接设元法:求什么设什么,方程的解就是问题的答案;2间接设元法:不是求什么设什么,方程的解并不是问题的答案,需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。4、解方程:解所列的方程,求出未知数的值.5、检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案。如:甲、乙两人的收入之比为43,支出之比为85,一年间两人各储存了500元,求两人的年收入各是多少?解:设甲的年收入为x元,乙的年收入为y元,根

3、据题意,得解得:答:甲的年收入为1500元,乙的年收入为1125元.二、设未知数的几种常见方法1、设直接未知数:即题目里要求的未知量是什么,就把它设做方程里的未知数,并且求几个设几个.2、设间接未知数:即设的不是所求量.有些应用题,若设直接未知数,则所列的方程比较复杂;若改设间接未知数,则能列出既简单又易解的方程.例:甲、乙两厂计划在上月共生产机床360台,结果甲厂完成了计划的112%,乙厂完成了计划的110%,两厂共生产了机床400台,问上月两厂各超额生产了机床多少台?(答案24台和16台解:设上月份甲厂计划生产机床x台,乙厂计划生产机床y台,3、少设未知数:有些应用题,要求两个或更多个未知

4、数,但根据各未知数之间的关系,只需设一个或少数几个未知数就可以求解.例:怎样把45分成甲、乙、丙、丁四个数,使甲数加2,乙数减2,丙数加倍,丁数减半的结果相等?(答案:甲数为8,乙数为12,丙数为5,丁数为20解设甲数为x,丙数为y,则乙数为x+4,丁数为4y,4、多设未知数:有些应用题,不仅要设直接未知数,而且要增设辅助未知数,但这些辅助未知数本身并不需要求出,它们的作用只是为了帮助列方程,同时为了求出真正的未知数.例:甲车和乙车共坐了93人,乙车和丙车共坐了96人,丙车和丁车共坐了98人,问甲车和丁车共坐了多少人?(答案95人思路与技巧本题只需求甲车和丁车乘坐的人数之和,但是若以这个量为未

5、知数,列方程比较困难.因此,我们不妨设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数作为辅助未知数,列出方程组来求解.解设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数分别为x、y、z、u,三、列方程组解应用题的常见题型.1、和差倍分问题:解这类问题的基本等量关系式是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×1倍量.例:第一个容器有49L水,第二个容器有56L水,如果将第二个容器的水倒满第一个容器,那么第二个容器剩下的水是这个容器容量的一半;如果将第一个容器的水倒满第二个容器,那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的三分之一,求这两个容器的容量。(答案63L, 84L解:设第一个容器的容量为xL,第二个容器的容量为y L,那

6、么第二个容器倒给第一个容器(x-49L,剩下56-(x-49L水,第一个容器倒给第二个容器(y-56L,剩下49-(y-56L水,2、产品配套问题:解这类问题的基本等量关系式是:加工总量成比例.例:某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母,已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个,一个螺丝装配两个螺母,问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人,才能使每天的产品正好配套?(答案:12人生产螺丝,16人生产螺母解:设每天安排x人生产螺丝,y人生产螺母,3、速度问题:解这类问题的基本关系式是:路程=速度×时间.一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题。例:某人从甲地骑车出发,先以12

7、km/h的速度下山坡,后以9km/h的速度过公路到达乙地,共用55min;返回时,按原路先以8km/h的速度过公路,后以4km/h的速度上山坡回到甲地,共用1h30min,问甲地到乙地共多少千米?(答案:9km 解:设甲地到乙地山坡路为x km,公路为y km.例:一列快车长70m,一列慢车长80m,若两车同向而行,快车从追上慢车开始到离开慢车,需要1min;若两车相向而行,快车从与慢车相遇到离开慢车,只需要12s,问快车和慢车的速度各是多少?(答案:快车的速度是7.5m/s,慢车的速度是5m/s解:设快车的速度是x m/s,慢车的速度是y m/s,例:甲、乙两人在200m的环形跑道上练习竞走

8、,乙的速度比甲快,当他们都从某地同时背向行走时,每隔30s种相遇一次;同向行走时,每隔4分钟相遇一次,求甲、乙两人的竞走速度.(答案:甲175m/min,乙225m/min 解:设甲的速度为xm/min,乙的速度为ym/min,4、航速问题:此类问题分水中航行和风中航行两类,基本关系式为:顺流(风:航速=静水(无风中的速度+水(风速逆流(风:航速=静水(无风中的速度-水(风速例:甲轮从A码头顺流而下,乙轮从B码头逆流而上,两轮同时相向而行,相遇于中点,而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍,已知水流速度是4km/h,求两轮在静水中的速度.(答案:甲20km/h,乙 28km/h解:设甲

9、轮在静水中的速度为x km/h,乙轮在静水中的速度为y km/h,5、工程问题:解这类问题的基本关系式是:工作量=工作效率×工作时间.一般分为两类,一类是一般的工程问题,一类是工作总量为1的工程问题.例:一批机器零件共840个,如果甲先做4天,乙加入合做,那么再做8天才能完成;如果乙先做4天,甲加入合做,那么再做9天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件?(答案:50个、30个解:设甲每天做x个机器零件,乙每天做y个机器零件,例:一项工程,甲队单独做要12天完成,乙队单独做要15天完成,丙队单独做要20天完成.按原定计划,这项工程要求在7天内完成,现在甲、乙两队先合做若干天,以后为加

10、快速度,丙队也同时加入这项工作,这样比原定时间提前一天完成任务.问甲、乙两队合做了多少天?丙队加入后又做了多少天?(答案:4天,2天解:设甲、乙两队先合做了x天,丙队加入后又做了y天,6、增长率问题:解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率=增长后的量,原量×(1-减少率=减少后的量.例:某中学校办工厂今年总收入比总支出多30000元,计划明年总收入比总支出多69600元,已知计划明年总收入比今年增加20%,总支出比今年减少8%,求今年的总收入和总支出.(答案:150000元,120000元解:设今年的总收入为x元,总支出为y元,7、盈亏问题:解这类问题关键是从盈(

11、过剩、亏(不足两个角度来把握事物的总量.例:为了迎接新学期开学,某服装厂赶制一批校服,要求必须在规定时间内完成,在生产过程中,如果每天生产50套,这将还差100套不能如期完成任务;如果每天生产56套,就可以超额完成80套,问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成?(答案:1600套,30天解:设原计划生产x套校服,原计划规定生产y天,8、数字问题:解这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示.如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1,偶数可表示为2n等.有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字×10+个位数字.例:一个两位数的个位数字比十

12、位数字大5,如果把个位数字与十位数字对换,所得的新两位数与原两位数相加的和为143,求这个两位数.(答案:49 解:设这个两位数的个位数字为x,十位数字为y,9、几何问题:解这类问题:根据图形的特征,基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积、体积公式等计算公式.例:有两个长方形,第一个长方形的长与宽之比为54,第二个长方形的长与宽之比为32,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm,第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm,求这两个长方形的面积.(答案:1620,150解:设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm,第二个长方形的长与宽分别为3ycm 和2ycm,10、年龄问题:解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等,两人的年龄差是永远不会变的.例:师傅对徒弟说:“我像你这样大时,你才4岁,将来当你像我这样大时,我已经是52岁的老人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁?(答案:36岁,20岁有三种算法1、设师傅年龄为X,徒弟年龄为Y,根据题意得:Y-(X-Y=4.,x+(x-y=52,2、设两人年龄差为X,师傅为Y,根据题意得:Y=4+2X,52=Y+X3、设两人年龄差为X,徒弟年龄为Y,根据题意得:Y=X+4,52=Y+2X11、经济类问题:即利息=本金×利率