【解析版】江苏省淮安市淮阴中学2013届高三下学期3月综合测试数学试卷

1、江苏省淮安市淮阴中学2013届高三下学期3月综合测试数学试卷一填空题（每小题5分，共70分）1（5分）设集合A=a，2，B=1，2，AB=1，2，3，则a=3考点：集合关系中的参数取值问题.专题：计算题分析：根据两个集合的并集的定义直接求出a的值解答：解：集合A=a，2，B=1，2，AB=1，2，3，a=3，故答案为3点评：本题主要考查集合的表示方法，两个集合的并集的定义，集合关系中参数的取值范围问题，属于基础题2（5分）如果=1+mi（mR，i表示虚数单位），那么m=1考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件.专题：计算题分析：运用复数的除法运算把给出的等式左边化简，然后利用复数相等

2、的概念求m的值解答：解：由，且=1+mi，所以，m=1故答案为1点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题3（5分）若函数是奇函数，则a=考点：函数奇偶性的性质；对数的运算性质.专题：计算题分析：由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值解答：解：函数是奇函数，f（x）+f（x）=0即loga（x+）+loga（x+）=0loga（x+）×（x+）=0x2+2a2x2=1，即2a2=1，a=±又a对数式的底数，a0a=故应填点评：考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主

3、要训练对定义与法则的理解与掌握4（5分）某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，如图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在13，15（单位：s）内的人数大约是120考点：频率分布直方图.专题：计算题分析：先算出频率分布直方图前面两个成绩在13，15（单位：s）内的频率，再利用频数等于频率乘以样本总数即可解得600名学生中成绩在13，15内的人数解答：解：由图知，前面两个小矩形的面积=0.02×1+0.18×1=0.2，即频率，600名学生中成绩在13，15（单位：s）内的人数大约是0.2

4、×600=120故填120点评：在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，其面积表示数据的取值落在相应区间上的频率，因此，每一个小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值5（5分）设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若mn，n，则mn；若mn，m，则n；若，=m，n，nm，则n；若mn，n，则m其中，所有真命题的序号是考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离分析：根据线面平行的判定定理：平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面平行；线面垂直判定：既可以通过线线垂直、面面垂

5、直得到，也可通过线线平行得到（平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面）再结合相关的性质证明解答：解：mn，n，则m或m，×；mn，m，则n或n×；根据面面垂直的性质，在其中一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面，；，nn，又mn，m，；故答案是点评：本题考查线面平行与垂直关系的判定，判定定理的条件缺一不可6（5分）阅读程序：输出的结果是 2，5，10考点：伪代码.专题：阅读型分析：FORFROM循环是知道了循环的次数的循环，本题执行3次循环，根据语句SS+I执行三次，分别求得S即可解答：解：根据题意可知循环题执行3次，I分别取1，3，5当I=1时，S=2当I=3

6、时，S=5当I=5时，S=10故答案为：2，5，10点评：本题主要考查了FORFROM循环，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般我们认为我们的学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，属于基础题7（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 18考点：简单线性规划.分析：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值解答：解：画出可行域，得在直线2xy=2与直线xy=1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18点评：本题只是直接考查线性规划问

7、题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视8（5分）甲盒子里装有分别标有数字1.2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是考点：等可能事件的概率.分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从甲盒子里装有的4张卡片乙盒子里装有2张卡片中各抽一张有C41C21种取法，而满足条件的2张卡片上的数字之和为奇数的有1，4，；2，

8、1；4，1；7，4共有四种不同的结果解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从甲盒子里装有的4张卡片乙盒子里装有2张卡片中各抽一张有C41C21种取法，而满足条件的2张卡片上的数字之和为奇数的有1，4，；2，1；4，1；7，4共有四种不同的结果，由古典概型公式得到P=，故答案为：点评：学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数9（5分）函数f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，考点：复合三角

9、函数的单调性.专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：将f（x）=sin2xcosx转化为关于cosx的二次函数，利用复合函数的单调性即可求得x0，时的值域解答：解：f（x）=sin2xcosx=1cos2xcosx=+，x0，1cosx1，当cosx=1时，f（x）取得最小值，即f（x）min=；当cosx=时，f（x）取得最大值，f（x）max=；函数f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，故答案为：，点评：本题考查复合三角函数的单调性，将f（x）=sin2xcosx转化为关于cosx的二次函数是关键，也是难点，属于中档题10（5分）已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB

10、垂直平分线上任意一点，若，则的值为12考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题分析：设M是AB的中点，将向量表示成，而，从而，再结合P为线段AB垂直平分线上任意一点，得，转化为求数量积，再用，代入，得=，结合已知条件的数据，不难得出这个数量积解答：解：根据题意，设M是线段AB的中点，得，因此又OAB中，OM是AB边上的中线=即，=故答案为：12点评：本题考查了平面向量数量积的运算，着重考查了数量积在三角形中的应用，属于中档题11（5分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1x2），则实数a的取值范围是1，2e）考点：函数的零点与方程根的关系.专题：函数的性质及应用分析：根据函数的单调

11、性可得当x2时，f（x）（0，2e ），当x2时，f（x）1，+）再由直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，可得实数a的取值范围解答：解：f（x）=，故函数f（x）在（，2）上是增函数，在2，+）上也是增函数由于f（x1）=f（x2）=a（x1x2），故函数f（x）在（，+）上不是增函数当x2时，f（x）（0，2e ），当x2时，f（x）f（2）=1，即f（x）1，+）由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有 1a2e，故答案为1，2e）点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题12（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭

12、圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是考点：椭圆的简单性质.专题：综合题；压轴题分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于ac，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围解答：解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|

13、=2a|PF2|=2a=2d，即d=，而|PF1|（ac，a+c），即2d=，所以得到，由得：+20，为任意实数；由得：+320，解得或（舍去），所以不等式的解集为：，即离心率e，又e1，所以椭圆离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题13（5分）（2011浦东新区三模）已知数列an是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列Sn中的唯一最小项，则数列an的首项a1的取值范围是（30，27）考点：等差数列的性质.专题：计算题分析：先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小

14、得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围解答：解：因为数列an是以3为公差的等差数列；所以：=n=+（）对称轴n=若S10是数列Sn中的唯一最小项，9n10，即30a127故答案为：（30，27）点评：本题主要考查等差数列的基本性质以及二次函数的性质应用，是对基础知识的综合考查，考查计算能力以及分析能力14（5分）函数f（x）=ax22（a3）x+a2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为14考点：函数的零点.专题：压轴题；函数的性质及应用分析：由求根公式可得x1=1+，x2=1+，要使函数至少有一个整数零点，结合a为负整数，验证即可解答：解：利用求根

15、公式解得x=，x1=1+，x2=1+，要使函数至少有一个整数零点，则，和中至少一个为整数，因为a为负整数，经验证，当a=4时，=2，当a=10时，=1，故所有的a值的和为14，故答案为：14点评：本题考查二次方程的系数问题；利用求根公式求得含有字母的未知数的解是解决本题的突破点二解答题（解答要给出必要的文字说明和演算步骤，共90分）15（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=，cosB=（1）求tanC的值；（2）若ABC最长的边为1，求b边及ABC的面积考点：正弦定理的应用；同角三角函数间的基本关系.专题：计算题；解三角形分析：（1）依题意，可求得tanB=，

16、利用同角三角函数间的基本关系与两角和的正切即可求得tanC的值；（2）利用正弦定理可求得b，再利用三角形的面积公式即可求得答案解答：解：（1）在ABC中，tanA=，cosB=，tanB=，又A+B+C=，tanC=tan（A+B）=tan（A+B）=1；（2）由（1）知tanC=1，最长的边为c，即c=1且C=，sinC=，又cosB=，tanA=，sinB=，sinA=，由正弦定理得：=，b=c=1×=，SABC=bcsinA=××1×=点评：本题考查正弦定理的应用，考查同角三角函数间的基本关系，考查分析与运算能力，属于中档题16（14分）在四棱柱A

17、BCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，底面ABCD为菱形，BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD1的中点（1）求证：DP平面A1ABB1；（2）求证：PQ平面ADD1A1考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用菱形和等边三角形的性质、线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面、面面平行的判定与性质定理即可证明解答：证明：（1）连接DB，由菱形ABCD可得AB=AD，又DAB=60°，ABD是等边三角形，P为AB的中点，DPABAA1平面ABCD，AA1DP又AA1AB=A，DP

18、平面A1ABB1（2）取CD的中点E，连接PE，EQ，又Q为CD1的中点，根据三角形的中位线定理可得EQDD1，EQ平面ADD1A1DD1平面ADD1A1EQ平面ADD1A1由于平行四边形APED可得EPAD，同理可得EP平面ADD1A1EPEQ=E，平面EPQ平面ADD1A1PQ平面ADD1A1点评：熟练掌握菱形和等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键17（14分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一

19、车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0x2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度考点：函数模型的选择与应用.专题：函数的性质及应用分析：（1）利用当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值

20、解答：解：（1）当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离，当0x12时，y=；当12x25时，y=5x+10y=；（2）当0x12时，y=，x=12m/s时，ymin=290s；当12x25时，y=5x+102 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，ymin=250s290250，x=24m/s时，ymin=250s答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题18（16分）已知椭圆的离心率为，且过

21、点P（4，），A为上顶点，F为右焦点点Q（0，t）是线段OA（除端点外）上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N（1）求椭圆方程；（2）若圆N与x轴相切，求圆N的方程；（3）设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由e=，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k0，从而可得椭圆方程，把点P坐标代入椭圆方程即可求得k值，进而得椭圆方程；（2）由点斜式可得直线AP的方程为y=x+4，通过解方程可得M，N坐标，圆N与x轴相切可得半径为t，从

22、而可求得t值，进而可求得圆N方程；（3）点R到直线PF的最大距离为d等于圆心N到直线PF的距离加上半径，根据d的表达式分类讨论即可求得其范围；解答：解：（1）e=，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k0，故椭圆方程为，P（4，）在椭圆上，+=1，解得k=1，椭圆方程为+=1；（2）KAP=，则直线AP的方程为y=x+4，令y=t（0t4），则x=（4t），M（，t），Q（0，t）N（，t），圆N与x轴相切，=t，由题意M为第一象限的点，则由=t，解得t=，N（，），圆N的方程为=；（3）F（3，0），kPF=，直线PF的方程为y=（x3），即12x5y36=0，点N到直线PF的距离为=

23、，d=+（4t），0t4，当0t时，d=，此时，当t4时，d=（5t6）+（4t）=，此时，综上，d的取值范围为，）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，熟练求解直线方程、熟记点到直线的距离公式等是解决相关问题的基础19（16分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a0）在x=0处取得极值1（1）设点A（a，f（a），求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程（2）若过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围；（3）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1），（x2，f（x2）（x1x2）处的切线都过

24、点（0，0），证明：f（x1）f（x2）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用分析：（1）求出函数的导函数，由函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a0）在x=0处取得极值1，则f（0）=0，f（0）=1，由此可得b和c的值，然后设出切点坐标，写出切线方程，把A点的坐标代入切线方程即可求得切点坐标，从而说明过点A的切线有且只有一条并求出该切线方程；（2）根据过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求出过（0，0）的切线方程方程得，说明该方程应有三个不同的实数根，利用导函数求出该方程对应函数的极值，则其极大值要大于0，极小值要小于0，由此列式可求

25、a的取值范围；（3）利用反证法，假设，代入整理后可得x1+x2=2a再由（2）可得，两式作差后得到把x1+x2=2a代入可得，而利用基本不等式得到，从而得到矛盾，说明假设错误，得到要证的结论正确解答：（1）证明：由f（x）=x3+ax2+bx+c（a0），得：f（x）=x2+2ax+b，由题意可得f（0）=0，f（0）=1，解得b=0，c=1经检验，f（x）在x=0处取得极大值设切点为（x0，y0），则切线方程为即为把（a，f（a）代入方程可得，即，所以x0=a即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条所以切线方程为；（2）解：因为切线方程为，把（0，0）代入可得，因为有三条切线，故方程

26、得有三个不同的实根设（a0）g（x）=2x+2ax，令g（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=a当x（，0）时，g（x）0，g（x）为增函数，当x（0，a）时，g（x）0，g（x）为减函数，当x（a，+）时，g（x）0，g（x）为增函数，所以，当x=0时函数g（x）取得极大值为g（0）=10当x=a时函数g（x）取得极小值，极小值为因为方程有三个根，故极小值小于零，所以（3）证明：假设，则，所以（x1x2）（x1+x2）=2a（x1x2）因为x1x2，所以x1+x2=2a由（2）可得，两式相减可得因为x1x2，故把x1+x2=2a代入上式可得，所以，所以又由，这与矛盾所以假设不成立，即证得点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方