学业分层测评8 导数在实际生活中的应用

1、.学业分层测评八建议用时：45分钟学业达标一、填空题1某消费厂家的年利润y单位：万元与年产量x单位：万件的函数关系式为yx381x234，那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为_万件【解析】因为yx281，令y0，得x9.当0<x<9时，y>0；当x>9时，y<0.故当x9时，函数有极大值，也是最大值【答案】92做一个无盖的圆柱形水桶，假设需使其体积是27，且用料最省，那么圆柱的底面半径为_【解析】设半径为r，那么高h，S2r·hr22r·r2r2.令S2r0，得r3，当r3时，用料最省【答案】33设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其

2、外表积最小时，底面边长为_【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，a2·hV，ah.因此外表积S3ah2·a2a2.Sa，由S0，得a.易知当a时，外表积S获得最小值【答案】4某商场从消费厂家以每件20元购进一批商品，假设该商品零售价定为p元，销售量为Q，那么销售量Q单位：件与零售价p单位：元有如下关系：Q8 300170pp2.那么最大毛利润为_元毛利润销售收入进货支出【解析】设毛利润为Lp由题意知：LppQ20Q8 300170pp2p20p3150p211 700p166 000，所以，Lp3p2300p11 700.令Lp0，解得p30或p130舍去此时，L

3、3023 000.因为在p30附近的左侧Lp>0，右侧Lp<0，所以L30是极大值，根据实际问题的意义知，L30是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元【答案】23 0005为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A，B孔的面积忽略不计图1­4­4【解析】设y为流出的水中杂质的质量分数，那么y，其中kk>0为比例系数依题

4、意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60a>0，b>0得b.于是y.0<a<30令y0得a6或a10舍去只有一个极值点，此极值点即为最值点当a6时，b3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小6某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_. 【导学号：01580022】【解析】设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，那么xy512.那么所用材料lx2y2yy>0，求导数，得l2.令l0，

5、解得y16或y16舍去当0<y<16时，l<0；当y>16时，l>0.所以y16是函数l2yy>0的极小值点，也是最小值点此时，x32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省【答案】32米16米7如图1­4­5，将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，那么s的最小值是_图1­4­5【解析】设DEx，那么梯形的周长为3x，梯形的面积为x1·1x1x2，s·，x0,1，设hx，hx.令hx0，得x或x3舍，hx最小值h8，s最小值&#

6、215;8.【答案】8一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为_km/h.【解析】设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，那么Qkx3k0因为6k×103，所以k，所以Qx3.所以行驶每千米的费用总和为y·x2x>0所以yx.令y0，解得x20.因为当x0,20时，y<0，此时函数单调递减；当x20，时，y>0，此时函数单调递增，所以当x20时，y获得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和

7、最小【答案】20二、解答题9如图1­4­6，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个一样的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1­4­6【解】 设小正方形的边长为x cm，那么盒子底面长为82x cm，宽为52x cm，V82x52xx4x326x240x，V12x252x40，令V0，得x1或x舍去，V极大值V118，在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大10一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书

8、存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x千册0<x<150，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，那么平均库存量为批量之半，即，故有y×30×40，y20，令y0，得x15，列表如下：x0,151515,150y0y单调递减极小值单调递增所以当x15时，y获得极小值，且极小值惟一，故当x15时，y获得最小值，此时进货次数为10次即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少才能提升1某矩形广场面积为4万平方米，那么其周长至少为_米【解析】设

9、广场的长为x米，那么宽为米，于是其周长为y2x>0，所以y2，令y0，解得x200x200舍去，这时y800.当0<x<200时，y<0；当x>200时，y>0.所以当x200时，y获得最小值，故其周长至少为800米【答案】8002要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，那么高为_cm.【解析】设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，那么底面半径为 cm，Vx202x2400xx30<x<20，那么V4003x2令V0，解得x1，x2舍去当0<x<时，V>0；当<x<20时，V<0.所以当

10、x时，V获得最大值【答案】3现有一批货物由海上从A地运往B地，轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行间隔 约为500海里，每小时的运输本钱由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比比例系数为0.6，其余费用为每小时960元为了使全程运输本钱最小，轮船行驶速度应为_海里/时【解析】设轮船行驶速度为x海里/时，运输本钱为y元依题意得y9600.6x2300x，x0，35那么y300，x0,35又当0x35时，y<0，所以y300x在0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x获得最小值故为了使全程运输本钱最小，轮船应以35海里/时的速度行驶【答案】3

11、54如图1­4­7，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，那么此矩形的面积的最大值是_图1­4­7【解析】设CDx，那么点C的坐标为，点B的坐标为，矩形ABCD的面积Sfxx·x，x0,2由fxx210，得x1舍，x2，当x时，fx>0，fx单调递增，x时，fx<0，fx单调递减，故当x时，fx取最大值.【答案】5如图1­4­8所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，那么供水站C建在何处才能使水管费用最省？图1