《Banach代数》课程教学大纲

1、Banach 代数课程教学大纲课程名称Banach 代数课程编码131510016课程类型（学院内）跨专业课程适用范围数学与应用数学学分数3先修课程数学分析、几何与代数、复变函数、 实变函数、泛函分析学时数48其中实验学时其中实践学时考核方式考查制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务 Banach代数研究是现代数学的一个重要分支，它综合地运用泛函分析分析与代数一般理论，以此来处理经典分析中的许多重要问题，发展出的一个新的方向。现在Banach代数已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，随着科学技术的迅速发展，Banach代数

2、的概念、方法已经渗透到泛函分析、函数论、调和分析等数学分支而且日益广泛地被应用于自然科学，工科技术理论和社会科学的各个领域 通过该课程的学习，学生不仅能学到分析与代数的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到现代控制论，量子力学，等领域有很大帮助。（二）教学目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握Banach代数的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习现代数学理论打下良好基础。1掌握Banach空间，Banach空间上的弱拓扑与弱*拓扑，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，开映射定理。Banach代数，乘积线性泛函，极大理想空间，Gelfand变换，谱半

3、径公式，Stone-Weierstrass定理，绝对收敛的Fourier序列函数代数，有界可测函数代数，Hilbert空间几何理论，伴随算子，正规，自伴算子，投影与子空间，C*-代数，弱与强算子拓扑，W*-代数，有限秩算子与紧算子理想，紧算子逼近，Hardy空间理论，F与MRiesz定理。2理解 Hardy空间理论，Banach代数的抽象指标，交换代数的Gelfand定理，圆盘代数，Gelfand-Naimark定理，函数演算，正算子的平方根，单边，双边移位算子，极分解，有循环向量的正规算子，极大交换C*-代数，扩张函数演算，Fuglede定理，Fredholm抉择，C*-商代数，紧算子的C*

4、-代数表示， 酉算子的约化子空间，Beurling定理，内外因子分解，外函数的模，的闭性质，Gleason-Whitney定理，的极大理想空间，与之间的子代数，调和扩张，函数在中的逆。3了解Calkin代数与Fredholm算子，Fredholm指标，指标的刻画，的极大理想空间，Toeplitz算子，谱包含定理，符号映射，自伴与解析Toeplitz算子的谱，由单边移位生成的C*-代数，具有连续符号Toeplitz算子的可逆性，符号在中Toeplitz算子的谱，本性谱的连通性，C*-代数的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理论。（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自

5、学相结合的方法老师讲授百分之八十的基本内容, 其余内容由学生自学、教师辅导。（四）课程与其它课程的联系 先修课程有：数学分析，复变函数，泛函分析，线性代数，空间解析几何本课程是学习C*-代数，算子代数K-理论的基础。（五）教材与教学参考书 教材：R G,Banach Algebra Techniques in Operator Theory,，。教学参考书：1、张恭庆、林源渠编著，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社，2001年10月。2、李炳仁,代数,科学出版社，年。二、课程的教学内容、重点和难点 第一章 Banach空间教学内容：Banach空间，连续线性泛函与对偶空间，线性Banach空

6、间上的弱拓扑与弱*拓扑，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，开映射定理，与，Hardy空间与。重点：Banach空间，连续线性泛函与对偶空间，线性Banach空间上的弱拓扑与弱*拓扑，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，开映射定理。难点：Banach空间，连续线性泛函与对偶空间，线性Banach空间上的弱拓扑与弱*拓扑，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，开映射定理。第二章 Banach代数教学内容：Banach代数，乘积线性泛函，Gelfand变换，谱半径公式，极大理想空间，Stone-Weierstrass定理，绝对收敛的Fourier序列函数代数，有界

7、可测函数代数，GelfandMazur定理，Banach代数的抽象指标，交换代数的Gelfand定理，圆盘代数，有界可测函数代数。重点：Banach代数，乘积线性泛函，Gelfand变换，谱半径公式，极大理想空间，Stone-Weierstrass定理，交换代数的Gelfand定理，难点：GelfandMazur定理，Banach代数的抽象指标，交换代数的Gelfand定理。第三章 Hilbert空间几何教学内容：内积空间，CauchySchwarz不等式，勾股定理，Hilbert空间，表示定理，正规正交基，Hilbert空间的维数。重点：Hilbert空间，Riesz表示定理，正规正交基，H

8、ilbert空间的维数。难点：Hilbert空间，Riesz表示定理，正规正交基，Hilbert空间的维数。第四章 Hilbert空间上的算子与C*-代数教学内容：伴随算子，正规，自伴算子，投影与子空间，C*-代数，弱与强算子拓扑，W*-代数，Gelfand-Naimark定理，函数演算，正算子的平方根，单边，双边移位算子，极分解，有循环向量的正规算子，极大交换C*-代数，扩张函数演算，Fuglede定理，重点：伴随算子，正规，自伴算子，投影与子空间，C*-代数，弱与强算子拓扑，W*-代数，Gelfand-Naimark定理，函数演算，难点：函数演算，正算子的平方根，单边，双边移位算子，极分解

9、，有循环向量的正规算子，极大交换C*-代数，扩张函数演算，Fuglede定理，第五章 紧算子，Fredholm算子与指标理论教学内容：有限秩算子与紧算子理想，紧算子逼近，Calkin代数与Fredholm算子，Fredholm指标，指标的刻画，Fredholm抉择，C*-商代数，紧算子的C*-代数表示。重点： Calkin代数与Fredholm算子，Fredholm指标，指标的刻画。难点：Fredholm抉择，C*-商代数，紧算子的C*-代数表示。第六章 Hardy空间教学内容：Hardy空间，F与MRiesz定理。酉算子的约化子空间，Beurling定理，内外因子分解，外函数的模，的闭性质，

10、Gleason-Whitney定理，的极大理想空间，与之间的子代数，调和扩张，函数在中的逆。重点：Hardy空间，F与MRiesz定理。酉算子的约化子空间，Beurling定理，内外因子分解，外函数的模，的闭性质，难点：Gleason-Whitney定理，的极大理想空间，与之间的子代数，调和扩张，函数在中的逆。第七章Toeplitz算子教学内容：Toeplitz算子，谱包含定理，符号映射，自伴与解析Toeplitz算子的谱，由单边移位生成的C*-代数，具有连续符号Toeplitz算子的可逆性，符号在中Toeplitz算子的谱，本性谱的连通性，C*-代数的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理论。重点：Toeplitz算子，谱包含定理，符号映射，自伴与解析Toeplitz算子的谱，由单边移位生成的C*-代数难点：谱包含定理，符号映射，自伴与解析Toeplitz算子的谱，由单边移位生成的C*-代数，具有连续符号Toeplitz算子的可逆性，符号在中Toeplitz算子的谱，本性谱的连通性，C*-代数的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理论。三、学时分配教学内容各教学