工程数学线性代数课后答案

1、同济大学数学系习题一习题解答1-利用对角线法则计算下则三阶行列式;201abc(1)L-4-14 fb£awt-183cab111JC7H+ JabC«tyX+ yX2 a胪r2X+ jXy解(1)原式二2X(-4) X3 + 0X (>1)x(-1)+1X1X8-lx(-4)x(-l)-2x(-)xg-0xlx3=-4?(2) 原式=ach bac 十 cba - c* - a3 - 61 3abc - a3 b3 cy i(3) 原式二1讣弋2十 1弋+ 护一=be1 + ca1 + ab2 ba1 cb2 # Je2(b a)+ ab(ba) c(bL - a1

2、) ac)(c £?);(4) 原式=工(鼻 + jx(需+ y) + (jc + yw (工 +，F - 一 j?=-2(宀；/)2. 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数：(1) 1234；(2) 4132；3421：2 4】3：(5) 13(2jj 1)2 4(2?>)；(6) 13(2« -1)(2n)(2n -2)2*解(I)此排列为自然推列*其逆序数为(h(2) 此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元 素3的逆序数为X末位元盍2的逆序数为2令披它的逆席数为0+ 1 + 1+2=4;(3) 此排列的前两位元素的逆序数均为

3、山第3位元素2的逆序数为2;末 位元素1的逆序数为3披它的逆序数为Q + 0 + 2 + 3 = 5;(4) 类働干上Ifi,此排列的从首位元素到末炕元素的逆序数依次为0、仇2, 故它的逆序数为0 + 0十2+1=3：(5) 注意到这2川个数的排列中，前沖位元累之间投有逆序对”第托卡1位 元素2与它前面的亓-1个数构成逆序对”故它的逆序数为打-X同理，第u+2 倍元察4的逆悍数为« -2；未位元素2»的逆悸数为0*故此排列的逆弊数为(期+柑-2) + * + O = -h(j< - 1);(6) 与(5相仿，此播列的前« + 1位元累没有逆序对$第算+2位元

4、累 (2n-2)的逆序数为2傑« + 3位元素2n -4与它前面的2” -3,2舁-12心 2n2构成逆序对，故它的逆序为4厂r来位元素2的逆序数为2(/t -1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + 4" + 2(« - 1) = /t(« - J).3. 写出四阶行列式中含有因子心"却的项.解 由押列式建义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累* 而它们又分别位于第2列利第4列，的叱和弘或和.注您到排列口24与1342的逆序數分别为1与2,故此行列式中含有的项为412 42 4112 0 23-121: 10 5 2 012 3

5、20 11750 6 24.计算下列各行列式:3同济大学数学系#同济大学数学系ah阳hfac一 cd叮aede-efa-I001b-101202120241244口0-72-410520n-IOr,0-152-2001170 1011711202|1202011心* 15门P1b7°-152-20°017850-72-4；1Io0945-1dD=0 （因第3.4 tT成比例）;12222515102I04636=0 (固有两行相同”4同济大学数学系5同济大学数学系-bcf-1 1 囂C| T tb c z * abcdef1 -1 1bcC*3 T F1 1 -1 4abc

6、(Uf *jfi a(3) D adfrj v aabcdef-L 1 10 0 20.2 00 i +沙 1 b0 - 10 01 + a-1 c0 -I1 4-10ad1 + cd0=(1 + ai )(1 4* ad5.求解下列方程：-1(1)1互不相等.鸣(7(F解左式=肓芍=（*）(龙 + 3 尤十3)1 + ad-1 1+cJ=0$其中 a,b,c=(工 + 3)(/3).于是方程的解为:j| = 3rx2 =V3, jj = *75;6同济大学数学系(2) 注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例12的结果得 - b)(ct - C ) ( A -匚)=0.因sb"互不

7、相等，故方程的解为山产力皿=C6证明:a2 ab b12a a + b 2 = (a 一 fr)3:1 1 1ax + by ay + bz az 4 biay + ba az + bx qjc 4- byaz + bx ax 十 by ay + bz= (/ + ")yz7同济大学数学系卅(a + l)2 (口十 2)' (a -h3)2 61(6+l)z (6 + 2)2 GT)?X (c 十 1)，(c + 2)12 十 3尸f (rf + 1)2 (T + 2 尸 2 + 3 尸aa1bed b2 c2 d1 b4 / J4=(a - b)(a- c)(a - db

8、- c(b - d)(c - d)(a + b c d)证a3 - f?1 ab -子 b22(a b) a - b "lb0 0 1fi *2c*i0 a b 260 0 1(L左式=(a - 6)J * 右式;(2)将左式按第1列拆开得ax ay + bz az + biby ay + bz az + bx左式=ay az + b工 ax + by十bz az + bx ar + by=aD, + bD21a z cur + by ay + bzbx ax + by ay 4 bz#同济大学数学系8同济大学数学系其中ar + Ztr3：十妙uy + bz“一屁ia y az +

9、Aj? x s at + by yj u.x + byC7 一 «C Iar + uj I by ay 十 bzy haz + bxZ -Tg + by工 yay + bzjry士y% X1z工 y#同济大学数学系H ， 土于是D = D + BD厂沪)y =上卜右式*z jt y(3)左式=c; 2« + 1b1 2Z? + 12w + 326 + 52c 4-3#同济大学数学系#同济大学数学系2d + 3宀一rtri-ao左式1000ftp gfF2a + I2d + l2r + I2卄11b ab(tj - a22221=0 (因有前列拥同n1d - a- a)(b1

10、 - aa ) J(f-J)屮(屮卫)'(b q )(rf - abed(k + a) cl c a (d a)#同济大学数学系#同济大学数学系Fi -& + a )rj:X b - a)c ad a)0 c b d b0 x yb d-bi y具中：j: = c：(r + </ > (Zt)(i + ii) c(cJ + ac - at c(q + + c)(c - 6)： 萝 口屮(ti + a ) - 6d(Z»+u)J(a + b + rf )(/ fr) L' ( U + Z* + C ) t/(u + b + tl)-(c - b)(d

11、 b)d(u + b + d - c(a +c)-(c b)(d b)(d c)at + i) + dz - c£= (c-/>)(d"-fr(d-c)(a + fr + c + if)t禺此*左式=(存-口)(<* 应)(川一血)(一巾(ti _ f>)(d - r)(a + Zf +匚十川=右式” (5) EE- 递推按一按第1列廡开，以建立递推公式.-1JT - 1%严吗1”4K«=工D. + < -l)zra4 =工亠 + %” 又归纳基础为：(注宜不是工人于是D#t, -jcD, + a.=j( jD,-( + Ht)* flaj

12、f"D + a,_ i x"1'1 + *- + a( j: + an % + atx + ft； j + + ua -证二按最后一行展开猖9同济大学数学系冋7.设«阶石列式"曲(务人把d上下翻转咸逆时针碇转g叭或依副对甬线翻转，依阮得10同济大学数学系证 仃)先计算口，为此通过交换行将久变换盛，从面找出D,与D 的关轧D,的杲后一行是D的第I行杷它依次可前面的行交换直至换刮第I行共进行刑-L次仝换;这时昴后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交 换，直至换到第2行，共世行« -2次交換；一，玄至毘后一行是D的第n-1 行再通过一次交换

13、将它换到第卄】抒,这样就把D,变挽成D.共进行(n - I) + ( M - 2) +1 = -5-ii(h _0衣交摆，故D严(1扣“和入注 T上述交撫行列式的行(列)的方淡*在解腫时，经常用到.它的特点垦 在把嫌后一行换到某一行的同时保捋其余” -1牛行之间原冇的先石次序(但 斤的序号可盅改亚*才同理把D產右翻转所得行狎式为(-1汁小"D.计算注意到D,的第1 2行恰好依次是D的第1列，抜若把0上下翻转得戸”啊D1的第】，2，行依次是D的第1, 2宀列即DD于是由I)03 = (- l)i"<u'n(3) 计算D*注倉到芝耙口逆时针施转90*方；则戸的第仁

14、2,小 列枪好是D的第科-1,1列，于是再把D左右關暮就得到D.由(D之注 及.有nl = (-1)T"<J'*1 Du = D.逹本例的结论值碍记威.即对行列式D作转置、依副对诽线翻转、養转 !8所得行列式不变；作上下牆转，左右胡转、逆(顺时针旋转？(r所得行列式为 (-"討0.8.计算下列各行列式(2为h阶行列式人uI(1) D严*其中对角线上元索都未写出的元素都是(h1a I>(ci 1)Jl(il f!)"(a - I)*-1 (a - n>*_捉示：利用范腮蒙鳴行列式的结果. d1h =bx£其中未写出的元索都是S(5

15、) DdetCaJ.其中划=IDm =，其中旳巴0工0.(1) ffi-JII T把6按第一行展开得0 U0D” =护 + (-1)小峯第一刑圧开a1 1)-解二由例10(2) +M+ D是核材例*中行列式的一般形式，它迪一牛菲常頁用的行列 式.在且后各章中有不少应用.解利用各列的元素之和相同,提取公因式.= (x-g)"，LX + (ji - I )a,(3) 9把所给行列式上下SI转，即为范穗眾德行列式，若再将它左右翻 转，由于上下嘲转与庄右拥转所用交換次数相等，枚行列式经上下翻转再左右翻 转(相当于转怡(T,舉看题7)其值不变.于是按范禅蒙德行列式的结果可得1 1 * 】a -

16、 n a - jf + 1a_*口hi =*，* =匚(i j):文 a«+i(u - rr)* (a - Fi + ),r*'* a"(4) 解 本題与(Hlltt仿，懈法也大致相同，用递推法. » ! BTi0- Dk.-AiW 10 y（斗心呕询即有递推公式D* = (aKd. f.QD我另一方面,归纳基珊为0厂 5? 町利用这些结果，递推得I G如D* = (a.d.-卜山.)(4右一乩角)=| (©乩-). I久=1-1-1V *»V V1-1(6)解 卅曲行列式牝为上三幽形冇列式.为此.从第2置观*各行均减去 第I行'

17、;得与4ll.3«tt的行列式215同济大学数学系#同济大学数学系茸中b = 1十叭十叭舟+ =叭（1 * £右）于是h0乍右）1 -1 2D的元的代诙余子式i己作儿求 I13-40 1 -53-SA” + 3Ajj 2 Ajj * 2A” .媲 与例门相仿，加丸零于用13 -2.2替换D的第 3行对应元素所福行列式.即#同济大学数学系16同济大学数学系2 2 4-2A+2Am=31-11+ 2220I3-201I-530H" 2-1401111-100-1-2#同济大学数学系x> + 5工4 1,= 24.10.用克拉歐法则解下列方程组：JT| + Xi

18、+ Xj + J：4 = 5;t. + 2x2 - .Ft + 4z* = - 2;(1)彳 宀2jT| - 3 J"3 5 =1SX| + Tj + 2.rj + I = Ot#同济大学数学系#同济大学数学系11111111D =12-14rl I1 -232 -3-15也-10-5-3-7312Lil二 Jr02 -18111ii01-23Lii1738 142;r00-13«n0151400-5#同济大学数学系5l1ll15111-22-14 _21i.3305 2- 3 1- 51屯* II 3 20-4012n I，+ '2rt| -1C-10917同济大

19、学数学系#同济大学数学系按f3展开2723i -10-22-)0-1-2 3-3 -7-L 8#同济大学数学系18同济大学数学系-7-2-1233-15-13-3123-13-31 -284;1151115112-2401-732-3-2*5n-2n0-5-12«731611r40-2- 158331-7E 1-4780 1-2914=_42&#同济大学数学系-29115|1L】5J>21-2口 -r*0I 7! -7-2 -31"2r*0-5 7J -12r4 - Jg31210-2 71I15+ 5r.01-2-713" 47= 142,+ 2r

20、t°0-13-47-5-2900-5-29(*)由克拉默法则'得5 & 0 05 6 06 0 015 6 0JK 幵S15 615 60 15 60 1 50 1 50 D I 5D二550甘石2"二甘二3,斗二卡二-114,<3于是 D = 325-114 = 211|5 6 06 0 015 6一5 6 0|u L 5L 5 6me* 武Hr c； Ri £ i .亠131 ；5100160500Dj =1060056+160(J05601505(J115=-19 + 180= 161 t56015 05 6 00 1 6-1 5 00

21、 0 50 1 6= 5-114 = '109;56 0111565 6 015 & 0做心MJF0154-15 6015 (J0 0 10150 0 1 1|副*】式1 + 65 = 64.由克拉默陆则，得20同济大学数学系#同济大学数学系miXa0, iip-nr_ _ 64巧一万二-血山产#同济大学数学系口何a屮取何值时再齐次线性方程俎AX) + j3 +-0,彳JT *尸J十直1 = 0, 站 +2/43?! +Xj=0 有非零癖？解 由定理寸此时方程组的暴数行列式必殖为0H 1- - A -P o 故只有当/i = 0sEa = 1时方程组才可能有非零給当尹7原方程组

22、城为Zxi + xa + Xj D0»X| + x( = 0.显然X, = hxj I *- 4 tXj53 - 1垦它的一平韭零解;当八口 1佩方程组成为f I + Ji + j i 0»* 工* + 巧二0*q +2弹“十 z3 =Q显然心=-1 /严XhL I是它的一个非零屏.因此当严=0或；时方程组有非零解.注 定理5(衣定理5J仅表明齐次巍性方程給蜜有非零解它的系敗行列式必为零.至于这条件是否充分将血集三章中予以解険，目前还是应验证它有非 零解.下飆也是同样情形*12.问A取何值时，齐洗线性方程组1(1 A)jj -2Ji +4ti iS012it + (3 -

23、iT +工汙xi +xa + (i-A)±jO有菲零解？若方程级有非零解，由宦理它的系数行列式D = 0.I1;< - 241iii - aJ A1£d 一 A11 111 - A1 - A-241t1-Ar -2rt01 - A2A-Fj. (1 * If F)0 - 3 + A4-1-A2A-Lfl + fi1 7aw 3 + i 4 (1-W1 -3 31 - JA (A 3) = A(A 2)(A-3),故D = 0 14 & = 2或人=3并且不难脸证:当 X=0 时,工| = - 2.巧=1*工=1：当人=2 时,jj = - 2. j*3 = 3

24、* 主* = 1；S d匸3时.6二1.比= 5.4二2炮是该方程削的非零侪.所収当A =0,2,3时 方程组有非零解.习题二习题解答22同济大学数学系#同济大学数学系I.计算下列乘积:L'3-1(5) (X33122» .113”(2) 1.2,3)(一 L2)i23同济大学数学系24同济大学数学系3(2) 2L(-1儿严-2 4V-12k5" 1-36jN I13114 010-12U-13 4)3k41-31用 02-7-5auX| + UiiXi + 4“工*#同济大学数学系=+ ajjXt Jj + flu Ji J-j + 戊“工2上1 + 乩曲工:卡+

25、 空甘工工+ aa-ri + 肚 JJ 工;a lt r | + nIF J-J + yy + 24* 章r2 + 2a uTj T j + 2 r3 x3.34B-24 及小-2 32 *4S】卩§g*巾-56(290,01524=0-15184270于是3AB-2Afl1J22758'-5 69 0.112-21322172029-2#同济大学数学系因At = A.即A为对称阵、故#同济大学数学系9thy=- 3±J + Xt、=2tt + sltXiK -ij +5 8-56Y =yi也=Ej.和阵形武为在这些记号下，从蚓对.,孔的线性亚换的矩0A Ji =

26、AH= 023.已知两个St性变换Ti =+ Juy 2划 + 3* + 2y”求从Z| , TZ tTj到JCi rX3 *X的线性变换'解依氏禧卿个线性变换写成矩阵仍武;2 0 1-3I O'q4其中4 =-2 3 2=2 0 1幷别为剤般的農临矩阵=Jl4 15.0- 1 3jE.25同济大学数学系X= AY = A(BZ) (AB)Z CZt2 0 1-31 IT 613-2 3 22 0 112-4 g.41 5j0-1 3j-10- 115AB =即有j；i = 1鱼1 一4 岂 + 9zjbTj = 一 ID" - tj 16zv3)-(； X(1) A

27、B -BA 吗？(2) (A +2AB + 吗？(4 + B)(A - B« AJ 刃吗?#同济大学数学系#同济大学数学系#同济大学数学系#同济大学数学系(3)故心认(2) (A + B)2 -(A + B)(A + B) - 4a AB + 個由故+ M4H2川仃从和(4 + 5)42 +24B+ B3；(3> (4 + B)(A -= Af + BA - AB -由(I人 AEMBA ,故 BA 从而(A +i*)(4B久举反例说盟下列侖趙处错课的(1)若 A2Ot则 A = O;若 AA A = O 4=E;若 AX = AY,且则 X = F.解(1)取 A - (&#

28、176;A2 = Otffi 4=0;0 0/取A = Q 0),有屮工儿但AH O且AE;取T和叫；)"彳;存EW宀工6 但6.设 A = (； ：) 求直接计算得A=1 0屮 0 入UU )26同济大学数学系#同济大学数学系C胱:皿朮:卜翼)一般可诲(2 3)#同济大学数学系事实上当£ = 1时.(2-3)式亂然成立；设当k = n时,(2.3)武底立，那么当i = w + 1 JHf#同济大学数学系由归纳扶*知d.3式成立.A107. iS .4 =DA1，求材.004解把A写戲祠个矩阵之和A0 LD1 NA =0A 0+0c L=；戕+ B.00 A.00 0,Q

29、100 01其屮三拚是阵0 01摘足0 00= O (Jfe>3).,0 0c0 0A#同济大学数学系27同济大学数学系于捷 A* 二（AE+ HF+K + H-Cfi*卑 UfE + UfTR+ （：鼻皿 /8.设几为沖阶矩阵，且A为对称阵，证明BtAB也垦对称阵. 证覘据矩阵乘积的转餐规则+有 n¥2”#同济大学数学系（Bt AJ）t = JUt（Bt）t - Bt« （因 A 为对称阵）.故由定义*知BrAB为对称阵.9, 设為/都是r阶对称阵证明AB是对称阵的充要条件是AB - B4 . 证因 AT = A = K.ftAB为对称阵= Afl <BT4T

30、 = ABBA = AB求下列矩阵的逆阵；#同济大学数学系cos &（3）4-4Lisin 0(1)由二阶方阵的求逆公武(敦材例10)得#同济大学数学系/cos &_ sin dY"-1 ccs 9sin0 ain &ct» & ieos' 0 + sin! 8 sm 9CO30-m13-4-B.-322614%-%_2B2一 16旳01(3) HI Al-1 234-I-2= 2H0,敵百可逆并且5 *414-22 -11Mn-41* -4*1=4三 _2、Mi(=Mu =;11-=15;=6 *M 阳=M© 5 J| =

31、 -32'Af星-152-4=-14»M 扫=4于是413cos d 血 &sjn & cos 928同济大学数学系#同济大学数学系I引a工0t -i是有意义的，并且倒，氛于是矩阵B =AB =diag(d| , 5 m, )diag(右*占)曲定理1的推论.知A町臥且& J 沪加（右右*討.注 本题结论值得记取*可普作公式用. 11，解下列矩阵方程：C 一;0101(11-43100X杠012(1-i0JJ1Q1-20.22解(门因矩阵約行列式=1不为零*故它可从面用它豹逆矩阵左乘方程两边得+4 -fi2 IH4 DC 1)=(o V(2)记矩阵方程

32、为A于是1(:-%1 MiM1SMU1叩*1 3i73 2/z-36154)=-2 2-4，J 2°kc =X =BA '.则新阵方樨可写为1y3 -23 0T11AXB-C.o 13 -23 029同济大学数学系因lAl =6O.|B| =20,故A均可逆.依次用A W B '左柬和右乘 方程两边得42训:Io Q0； fL0 fll 01J LO0o oo 1的行列式都是-1 故L山#同济大学数学系#同济大学数学系均是可逆阵并且0 1 O1-1fo 1 1 0 0-11 0 o11 0 0=1 0 00 0 1=0 0 10 0 Lo in】o,0 1 0J010

33、故得 X =1001.001.0 ) 01 h1 0 0 2-40-2一 4(»-23I0( n112利用逆矩阵解下列线性方程组:Xi +2jt3 + 3xj = 1 (1) 2xj 2j3 +5列=2*3zt +5-r3 +- 3;解将方程组写作矩阵孫戎这里鼻为系数矩阵，工"眄，轨I1 2 3 因|Al= 2 2 53 51Ji - Xi -= 2,(2) < 2叭- 3x3 = 11+ 2xi -5j；j -0.孔)丫为未知数矩阵为當数矩阵=13工0.故A可逆于是1 23' 11X = A1 J -2 -1(2) aiAl = 2 -

34、132-1-3 -3HD、故A町逆，于是i 1-L-1 122-1-3132-5UI153'0=07q .30 0 11 1130同济大学数学系#同济大学数学系即右#同济大学数学系严产3,L严313.巳知线性变換円=2* + 2力 + ys»侶二3y)+力+ 5划».百=3比*2力+ 3旳求从磴量工工2 "3到塑蚩>i *>2*3的线性变换，解 记严心)T珂出亠小八则线性变换的矩阵形式为X-2 2 1Ay.其中吕为它的系数極陈”曲ckt/4= 31 5故必是可逆阵，于13 23,是从变位r n 封变址山*“卅的线性变撫的矩阵畛式为 yA'

35、;lx.-7-495L ,-4 1 = rA * = A ' =63 一7 ,A3 2-4j于是>| n _ 7 叭-4jt2 + 9列，彳力+ 3叭-7jjt14. 设A为三阶矩阵訂求丨(為) 5" |解因IAI =*工0,故A可逆.于是由A' = lAlA-yA-* 及(2A)得(24)'1 -5A"=昇“ 一号八=-2A'两端取行列式褂|(2A)*1-5A J = |-24*,| = (-2)slA|*, = -l6.注先化简矩阵，再取行列式拄往使卄負变得简单.0 3 315. 设 A 二1 1 0 ,AB = A + 2BP求取

36、-I 2 3解 由 AB-A +2B=>(A -2E)B Af-23 3因 A -2E =-1 0，它的行列式det (A -2E)= 2Ot故它是可逆阵.用(A -ZE)*'左乘上式购边得32同济大学数学系#同济大学数学系101020.101、且 E = A1 + B 求0 6 60 3 31-246-12 3、2 2 0.【10#同济大学数学系解 由方程E=A*+ B 合并含有未知矩阵B的项，得(?4-E)B = A,-E = (A-E)(A + £)-00.10 110 '其行列玄dec(A - E)= - 1工叽故A - E可逆*用0山 (A-E)

37、9;1左乘上式两边即得2 0 1B = A + E - 0 3 0,1 0 2,117.设 A =d5ag(l, -2JJ.4 ' BA =2BA -E求 H.解 由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵盘'，因此仍从公式山血= MIE着手.为此，用A左乘所给方程两边，得AA ' BA =2AflA t又JA| = -20t故A是可逆矩阵，用A r右乘上式園边，得AB=2AB -8£>(24 + 2£)1# = 8£>(A + £>B =4E.注意到 A + E = diag(!, - 2 J) + ding( 1.1

38、,1)-diag(2t - 1.2是可連矩阵，且于是B=4(A + £)*' -diRg(2, -4,2). 已知矩阵的伴随阵 A * =diag(hljt8),且 ABA*1 =BAX +3E,jR B.解 先由A来确定|心|*由題意知>1存在有4- - | A | A'1,得 |A*l=8,#|A|=2.再化简所給矩阵方程ABA"1 =曲"+3E=>(A- E)B4_, =3Ef ( A - E) B = 3A=(E-A'，,)B = 3E.S I A I =2知 A _1 =' = ydiag(l*U .8) -

39、diagy,y ,y t4 j,(444'34同济大学数学系得(E-A l) "=diag(2,2t2t*-jj4干是B = 3(E-A1羽击昭(2*2.2,-寺卜我叔6£4-i).19. ft P"“二 A,其中 P=：)tA = ( 0 ；)求 A”.解 本题与教材例13相仿.因P lAP = A,故 于艇 A" =PAnP_, ' 叮；：)鳥)"： ;)' if; *:)(;)(-: 一:) _ ! J 1 + 2'*4 + 2u/2 7312 732)_7- J" -4-2nJ -663-664

40、/1I1-120.设AP = PAt其中卩=i0-2.A =1J -11i5求 y() = A*C5E-6A + A2)111解 因|P|- 10-2 =-6A0,故P是冈逆阵于是由AP = PA1 -11得A = PAP 并且记多頊式誓（工=工'（5-6盂+ ）有 护十P因A是三阶对饬阵，故A ) = diag( f>( - 1).护仃= dieg( 12,010),1 1于是 (A)= 10Ll -1 l'l 0 = -2100I 0 -2 L 0 .1 0L 11=4 t L 1 .I 111注，曲于氛応)除元外均是乩故在求P肘，只箫计St P的(1元J2J) 元J

41、3J)元的ft数余子式和Au.-即 设A6 = O (4为正整敷人证阴E-A吋逆.井且基逆矩阵(E- A )' =£ + 4 + A3 + +证由(E4)(£+ A十片屯十"*十A'"二JE十舟十*十沖"I _冲_丸2 _一百“ =E-O-E.由定理2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵(E-A)_, = E +A + -+A,_,i.注 判断矩阵旧是否为+的逆矩阵最直接、垠简单的方法就是验证ABr *1 - 1(或者B/I)是西等于单位腿阵.就像判斷3是酉为+的逆只需验证* x3是齒筛 于1 一拝 下一题及例2都是遠一思想酌应用.2

42、2,设方阵4滴足- A -2E- 0.(2,4)证明A S4+2E都可逆并求AhJ5(A解 先血片可逆由(2M)武律A(A - E) = 2£1i,.-也就是A - £) j=£.由定理2之推论知A是町逆的.且厂丄壬 d再证A +2E可逆用例2.1的解法由(A 2E)(A -3E) -A - 6E-2E-6E = - 4£ rII即(A 2£>(4-<£ - 4)1 = E,14同理*知A + 2E可逆且(A + 2E)'£(3E加.423,设矩阵A可逆，证明其佯随阵2也可逆，且(A，)“ =(y &qu

43、ot; 证 因AAr = |A|E及|A |鼻0,由定理2的推论知>T可逆且(A ')1 = ” A .'f A I另一方面、困=丨迪“IE.-用A左集此式两边得(A 1' = I A 1 I A TTT * I A | 比较上面两个式子，即知结论成立.24.蛙押阶矩阵A的伴随阵为证明匸(1) 若UI =0.则口 | =(h(2) lAf l = |A|*-还 <1)0(2.5)A* A = MiE,SlAl =0时上式成为A* A = O*翌证|Af |=0,用反证法:设lATMO*由矩阵可逆的充要条件知是可 逆矩薛，用(Ajr左靈上武等号两边A=O+于是推得A的所有rt-1 #T子 式亦W