思维特训(十二)　全等与相似的综合应用

1、.思维特训十二全等与相似的综合应用形状一样的两个图形称为相似图形假设两个图形不仅形状一样，而且大小也相等，那么二者是全等图形全等是相似的特殊情况，全等图形可以看作是相似比为1的特殊的相似图形证明全等的方法有“SSS“SAS“ASA“AAS“HL，证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相似“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似“两角分别相等的两个三角形相似等类型一与相似有关的多结论问题1如图12S1，在ABC中，ABBC，ABC90，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DBDE，EFAC于点F，有以下结论：1DBMCDE；2SBDES四边形BMFE；3CDENBNBD；4A

2、C2DF.其中正确的结论有A1个 B2个 C3个 D4个图12S12如图12S2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE.以下结论中：CEBD；ADC是等腰直角三角形；ADBAEB；CDAEEFCG.其中一定正确的有图12S2A1个 B2个 C3个 D4个3如图12S3，菱形ABCD中，ABAC，E，F分别为边AB，BC上的点，且AEBF，连接CE，AF交于点H，那么以下结论：ABFCAE；AHC120；AEHCEA；AEADAHAF.其中正确的结论有图12S3A1个 B2个 C3个 D4个类型二全等

3、三角形与相似三角形的综合4ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.1如图12S4，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE.2如图12S4，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9时BC的长图12S45在AOB中，C，D分别是边OA，OB上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD的位置1如图12S5，假设AOB90，OAOB，C，D分别为OA，OB的中点，求证：ACBD；ACBD.2如图，假设AOB为

4、任意三角形且AOB，CDAB，AC与BD相交于点E，猜测AEB是否成立，请说明理由图12S562019襄阳 如图12S6，在ABC中，ACB90，CD是中线，ACBC，一个以点D为顶点的45角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为E，F，DF与AC相交于点M，DE与BC相交于点N.1如图，假设CECF，求证：DEDF.2如图，在EDF绕点D旋转的过程中：探究线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；假设CE4，CF2，求DN的长图12S67如图12S7，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA

5、，GB，GC，GD，EF.假设AGDBGC.1求证：ADBC；2求证：AGDEGF；3如图，假设AD，BC所在直线互相垂直，求的值图12S7类型三与全等、相似三角形有关的探究型问题8在ABC中，ACB90，经过点B的直线l不与直线AB重合与直线BC的夹角DBCABC，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E.1问题发现假设ABC30，如图，那么_；假设ABC45，如图，那么_2拓展探究当0ABC90，的值有无变化？请仅就图的情形给出证明3问题解决随着ABC位置的变化，假设直线CE，AB相交于点F，且，CD4，请直接写出线段BD的长图12S8详解详析1C解析 DBDE，DBEDEB，DBM

6、MBCCDEC.ABBC，ABC90，BM是AC边上的中线，C45，BMAC，MBCC45，DBMCDE，故1正确；DBMCDE，DMBEFD，DBDE，BMDDFE，SBMDSDFE，S四边形BDFESDFES四边形BDFESBMD，SBDES四边形BMFE.故2错误；DBCBEN，DCBEBN，BCDEBN，CDENBNBD.故3正确；BMDDFE，BMDF.又ABC90，BM是AC边上的中线，BMAC，AC2DF.故4正确应选C.2D解析 利用SAS证明CAEBAD，可得到CEBD；利用平行四边形的性质可得AECD，再结合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS证明

7、BADBAE可得到ADBAEB；利用得出GFDAFE，结合得GDFGFD90.由平行四边形的性质得GCDAEF，进而得出CGDEAF，得出比例式3D解析 由菱形ABCD中，ABAC，易证得ABC是等边三角形，那么可得BEAC60，由SAS即可证得ABFCAE，那么可得BAFACE；利用三角形外角的性质，即可求得AHC120；由BAFACE，AECAEC，推出AEHCEA；在菱形ABCD中，ADAB，由于AEHCEA，ABFCAE，于是AEHAFB，得到AEADAHAF.4解：1证明：ABC是等腰直角三角形，BC45，ABAC.APAQ，BPCQ.E是BC的中点，BECE.在BPE和CQE中，B

8、ECE，BC，BPCQ，BPECQESAS2证明：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45.BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，BPECEQ，.BP2，CQ9，BECE，BE218，BECE3，BC6.5解：1证明：OCD旋转到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.OAOB，C，D分别为OA，OB的中点，OCOD，OCOD.在AOC和BOD中，OAOB，AOCBOD，OCOD，AOCBODSAS，ACBD.延长AC交BD于点E，交BO于点F，如下图AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，OACAFO90，OBDBFE90，BEA9

9、0，ACBD.2AEB成立，理由如下：设AC交BO于点F.OCD旋转得到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.CDAB，即.又AOCBOD，AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，AEBAOB.6解：1证明：ACB90，ACBC，ADBD，BCDACD45，BCEACF90，DCEDCF135.在DCE和DCF中，CECF，DCEDCF，CDCD，DCEDCF，DEDF.2AB24CECF.理由：DCFDCE135，CDFF18013545.又CDFCDE45，FCDE，CDFCED，即CD2CECF.ACB90，ACBC，ADBD，CDAB，AB24CECF.如图，过点D作DGBC于

10、点G，那么DGNECN90，CGDG.当CE4，CF2时，由CD2CECF得CD2.在RtDCG中，CGDG2.ECNDGN，ENCDNG，CENGDN，2，GNCG，DN.7解：1证明：GE是AB的垂直平分线，GAGB.同理GDGC.在AGD和BGC中，GAGB，AGDBGC，GDGC，AGDBGC，ADBC.2证明：AGDBGC，AGBDGC.由1知AGDBGC，得.在AGB和DGC中，AGBDGC，AGBDGC，即.又易知AGEDGF，AGDEGF，AGDEGF.3如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，那么AHBH.由AGDBGC，得GADGBC.在GAM和HBM中，GADG

11、BC，GMAHMB，AGBAHB90，AGEAGB45，.又AGDEGF，.8解：1如图，CDBD，CDB90.DBCABC30，CDBC.在ABC和BAE中，ACBAEB90，BAEABC30，ABBA，ABCBAEAAS，BCAE，CDAE，.如图，过点C作CFAB于点F，ABC45，ACB90，ACB是等腰直角三角形CBD45，ABD90.又AEBD，点B与点E重合，EFAE.CDBD，四边形CDEF为矩形，EFCD，CDAE，.2的值无变化理由：如图，延长AC与直线l交于点G，ACB90，DBCABC，AGBBAG，BABG.又BCAG，C是AG的中点AEl，CDl，CDAE，GCDGAE，.3分两种情况：如图，当点F在线段AB上时，过点C作CGl交AE于点H，交AB于点G，DBCHCB.DBCCBF，CBFHCB，CGBG.ACB90，CAGCBFHCBACG90，ACGCAG，CGAGBG.CGl，CFGEFB，.设CG5x，BE6x，那么AB10x.AEB90，AE8x，由2得AE