思维特训(十一)　含有绝对值的一元一次方程的解法

1、.思维特训十一含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的根本思路：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程一般有以下两种解法：1几何解法：在数轴上到一个点的间隔 等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解2代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解典题精练 ·类型一几何解法1阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x对应的点与原点的间隔 ，即|x|x0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0

2、对应的点之间的间隔 这个结论可以推广为|x1x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的间隔 例1：|x|2，求x的值解：在数轴上与原点的间隔 为2的点对应的数为2或2，即x2或x2.例2：|x1|2，求x的值解：在数轴上与数1对应的点之间的间隔 为2的点对应的数为3和1，即x3或x1.例3：解方程|x1|x2|5.图11S1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数2对应的点之间的间隔 之和为5的点对应的数，即为x的值在数轴上，数1和2对应的点的间隔 为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或2的左边假设x对应的点在1的右边，如图11S1，可以看出x2；同理，假设x对应的

3、点在2的左边，可得x3.故原方程的解是x2或x3.仿照阅读材料的解法，求以下各式中x的值：1|x3|3；2|4x2|8；3|x3|x4|9.类型二代数解法2有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解例1：解方程|2x1|3.我们只要把2x1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题解：根据绝对值的意义，得2x13或2x13.解这两个一元一次方程，得x2或x1.检验：1当x2时，原方程的左边|2x1|2×21|3，原方程的右边3.因为左边右边，所以x2是原方程的解2当x1时，原方程的左边|2x1|2×11|3，原方程的右边3.因为左边右边，所

4、以x1是原方程的解综上可知，原方程的解是x2或x1.例2：解方程x2|x|3.解：当x0时，方程可化为x2x3，解得x1，符合题意；当x0时，方程可化为x2x3，解得x3，符合题意所以原方程的解为x1或x3.仿照上面的解法，解以下方程：1x3|x1|7；2|x1.详解详析1解：1由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的间隔 为3的点对应的数为0和6，即x0或x6.2由题意，得在数轴上与数2对应的点之间的间隔 为8的点对应的数为6或10，即4x6或4x10，所以x或x.3由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数4对应的点之间的间隔 之和为9的点对应的数，即为x的值在数轴上，数3和4对应的点的间隔 为7，满足方程的x在数轴上的对应点在3的右边或4的左边假设x对应的点在3的右边，可得x4；同理，假设x对应的点在4的左边，可得x5.故原方程的解是x4或x5.2解：1当x1时，方程可化为x31x7，即32x7，解得x2，符合题意；当x1时，方程可化为x3x17，即4x37，解得x，符合题意所以原方程的解为x