师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题及参考答案

1、师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分 考试时间120分钟题号-一-二二三总分复核12345得分阅卷教师一、选择题(每小题 6分，共30分。每小题均给出了代号为 A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号 填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分)1、下列图中阴影部分面积与算式2(1 )-2 J的结果相同的是”，”，【I2丿#ABCD2、 下列命题中正确的个数有【】 实数不是有理数就是无理数；ava+ a;121的平方根是土 11;在实数范围内，非负数-正数；两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 43、某家庭

2、三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那 么,【】A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同D、与原标价有关4、如图，/ ACB = 60 ,半径为2的O O切BC于点C,若将O O在CB上向右滚动，则当滚动到O O与CA也相切时，圆心A、 2 nB、 nC、 2-<35、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有 等干【、J -J )A、 36B、 37C、 38O移动的水平距离为【】'rD、4m个，最少有n个，贝U m n】cBD、3

3、9#、填空题(每小题 6分，共48分)32.5千米/时，则经过小时，两人相遇。1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为2、 若化简1 x .X2 _8x 16的结果为2x -5，贝U x的取值范围是 。3、 某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩(单位：分)如下表，学期总评成绩优秀的学生是。笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙90889024、已知点A是一次函数y二x的图像与反比例函数 y的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且 OA

4、 = OB ( O为坐标X原点)，则：AOB的面积为。25、如果多项式x px 12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ , Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于 R,设BP=x(0 Ex兰1 ), BPQ与厶CPR的面积之和为y ,把y表示为x的函数1R7、 已知x1, x2为方程x2 4x 2 - 0的两实根，贝V x13 ：； 14 x2 ： 55 二。8、 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有 1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做

5、容易题，那么难题比容易题多 道。三、解答题（本大题 6小题，共72分）1、 （ 10分）在.ABC中，AB =AC， . A =45 o AC的垂直平分线分别交 AB、AC于D、E两点，连结 CD，如果AD =1，求：tan . BCD的 值。2、 （ 12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。甲乙价格（万兀/台）75每台日产量（个）10060 按该公司的要求，可以有几种购买方案？若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于 380个，为了节约资金，

6、应选择哪种购买方案?3、（ 12分）如图所示，已知边长为 4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF =2， BF =1。为了合理利用这块钢板.将在五边形EABCD内截取一个矩形块 MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（ 12分）如图所示等腰梯形ABCD中,O D、OA、 BC的中点。求证： PQS是等边三角形。AB / CD ,AD 二 CB ,对角线 AC 与 BD 交于 O，/ACD =60点S、P、Q分别是2#A的坐标是（0, 2）,点C在直线 OB5、（12分）如右图，直线 OB是一次函数y =2x的图像，点 上且 ACO为等腰三角形，求 C点坐标。6、（14

7、分）已知关于 x的方程（m2 -1）x2 3（3m-1）x 78 =0有两个正整数根（m是整数）。 ABC 的三边 a、b、c 满足 c = 2. 3 , m2 亠 a2m - 8a = 0 , m 2 b2 m - 8b = 0。 求： m的值；（2）ABC的面积。#1、B, 2、B, 3、B, 4、C, 5、B二、1、22、1乞x乞43、甲、乙师大附中2011年高一自主招生考试数学试题参考答案4、. 25、7, _8, _13 6、(3x4x 2)87、78、201、有已知可得.ADE和.:CDE均为等腰直角三角形，计算得bdBD =2 _1，在直角三角形 BCD中，tan BCD =CD

8、2、（ 1）设购买x台甲机器，则7x 5（6 _ x）乞34，所以x空2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：不购买甲机器,购买1台甲机器，5台乙机器；购买 2台甲机器，购4台乙机器。（2 ）按方案，所需资金6 5 = 30 （万元），日产量为6 60 = 3601100560 = 400（个）；按方案，所需资金为 27 - 54 = 34（个）（万元）按方案，所需资金 日产量为17 - 55 = 322100 - 460 = 440(个)。-=.2 _ 1。购6台乙机器;（万元），日产量为 所以，选择方案。3、如图所示，为了表达矩形 MDNP的面积，设 DN = x,因为点P在AB上，由

9、 APQABF得PN= y,则面积S= xy,4、5、4 -y2 _(4 _x)代入，得S =(10x 二 10 _2y .2-2y)y - -2y -10 y ,255 2即 S - -2（ y）2 25因为3鬥W4而y=不在自变量的取值范围内，所以25 y= 不是最值点,2当y= 3时，S= 12;当y= 4时，S= 8.故面积的最大值是 S= 12.此时，钢板的最大利用率是 80%。连CS。 ABCD是等腰梯形，且 AC与BD相交于O, AO=BO,CO=DO./ ACD=60 ° ,/ S是OD的中点，OCD与厶OAB均为等边三角形.CSX DO.在 RtA BSC 中,同理

10、BP丄AC.在 RtA BPC 中,又 SP > OADPQ=1BC中点，SQ是斜边BC的中线， SQ= - BC.2!bc.21的中位线， SP= AD=2;BC. SP=PQ=SQ.故厶SPQ为等边三角形.若此等腰三角形以 OA为一腰，且以 A为顶点，贝U AO=AC 1=2.88 16设 C1 （ x, 2x ）,则得 x? +（2 x 2）2 2，解得 x =,得 C1 （,）55 5若此等腰三角形以 OA为一腰，且以 O为顶点，贝U OC2=OC3=OA=2.设 C2 ( x , 2x ),则得 X 2 +(2 x )2'2=22，解得x一；得 C2 ()又由点C3与点

11、C2关于原点对称,若此等腰三角形以 OA为底边，则 C4的纵坐标为1，从而其横坐标为C4（；）.所以，满足题意的点 C有4个，坐标分别为： 上），（2）, （ _2 ,5,；5 ）, C4 （ 2,1）6、(1)方程有两个实数根，则解方程得x1x2m1.由题意，得m 1 =1,2, 3, 6,m -1=1,3,二 0,1,2,5,= 2,4.=2 .把m =2代入两等式，化简得 a24当a =b时，a、b是方程x2 _4x 2 =0的两根，而> 0,由韦达定理得，a : b =4 >0, ab =2 >0,贝U a >0、b >0.卜 2 2 2 2 a = b， c =2. 3 时，由于 a b =（a b） _2ab =16 _ 4=12 = c1故厶ABC为直角三角形，且/ C= 90° ,abc = a