有限元的MATLAB解法

1、有限元的MATLAB解法1.打开MATLAB。2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件

2、。4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE模式，单击“PDE Specifica

3、tion”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单击“Pl

4、ot”按钮，显示三维图形解。10.如果要画等值线图和矢量场图，单击“Plot”菜单下“Parameters”选项,打开“Plot Selection”对话框。选中Contour和Arrows两项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图。11.将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution”,再点击“Mesh”中“Export Mesh”。12.在MATLAB中将编好的计算程序导入，按F5运行。备注：Property（属性）用于画图时选用相应的绘图类型u 方程的解abs(grad(u) 每个三角形的中心的u的绝对值abs(c*grad(u) 每个三角形的

5、中心的c·u的绝对值- grad(u) u的负梯度-u我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形；一个长直接接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为0，顶盖电位为100V，求槽内的电位分布：（1）画出剖分图（尺寸与书上一样）；（2）标出各剖分点坐标值；（3）求出各点电位值（用有限差分）；（4）画出等电位图。解：（1）编写以下程序得：x=0:5y=0:5X,Y=meshgrid(x,y)plot(X,Y)hold onplot(Y,X)for i=0:5 s=i:5 t=0:(5-i) plot(s,t) plot(t,s)end得到剖分图如下：（2）用有限元法编写程序如

6、下：Nx=6;Ny=6;Xm=5;Ym=15;Np=5;Nq=5;for i=1:Nx for j=1:Ny N(i,j)=(i-1)*Ny+j; /i列j行的节点编号/ X(N(i,j)=(i-1)*Xm/Np;/节点横坐标/ Y(N(i,j)=(j-1)*Ym/Nq;/节点纵坐标/ endendfor i=1:2*Xm for j=1:Ym if rem(i,2)=1 L(i,j)=(i-1)*Nq+j; p(i,j)=2*(i-1)*Ny/2+Ny+j+1; q(i,j)=p(i,j)-Ny; r(i,j)=q(i,j)-1; else rem(i,2)=0 L(i,j)=(i-1)*N

7、y+j; p(i,j)=(2i-2)*Ny/2+j; q(i,j)=p(i,j)+Ny; r(i,j)=q(i,j)+1; end endendfor i=1:2*Xm for j=1:Ymb(p(i,j)=Y(q(i,j)-Y(r(i,j);b(q(i,j)=Y(r(i,j)-Y(p(i,j);b(r(i,j)=Y(p(i,j)-Y(q(i,j);c(p(i,j)=X(r(i,j)-X(q(i,j);c(q(i,j)=X(p(i,j)-X(r(i,j);c(r(i,j)=X(q(i,j)-X(p(i,j); area(i,j)=(b(p(i,j)*c(q(i,j)-b(q(i,j)*c(p(

8、i,j)/2; K=zeros(Nx*Ny); Kpp(i,j)=(b(p(i,j)2+c(p(i,j)2)/(2*area(i,j);Kpq(i,j)=(b(p(i,j)*b(q(i,j)+c(p(i,j)*c(q(i,j)/(2*area(i,j); Kpr(i,j)=(b(p(i,j)*b(r(i,j)+c(p(i,j)*c(r(i,j)/(2*area(i,j); Kqp(i,j)=Kpq(i,j); Kqq(i,j)=(b(q(i,j)2+c(q(i,j)2)/(2*area(i,j);Kqr(i,j)=(b(q(i,j)*b(r(i,j)+c(q(i,j)*c(r(i,j)/(2*

9、area(i,j); Krp(i,j)=Kpr(i,j); Krq(i,j)=Kqr(i,j); Krr(i,j)=(b(r(i,j)2+c(r(i,j)2)/(2*area(i,j); endendfor i=1:2*Xm for j=1:YmK(p(i,j),p(i,j)=Kpp(i,j)+K(p(i,j),p(i,j);K(p(i,j),q(i,j)=Kpq(i,j)+K(p(i,j),q(i,j);K(p(i,j),r(i,j)=Kpr(i,j)+K(p(i,j),r(i,j);K(q(i,j),p(i,j)=Kqp(i,j)+K(q(i,j),p(i,j);K(q(i,j),q(i,

10、j)=Kqq(i,j)+K(q(i,j),q(i,j);K(q(i,j),r(i,j)=Kqr(i,j)+K(q(i,j),r(i,j);K(r(i,j),p(i,j)=Krp(i,j)+K(r(i,j),p(i,j);K(r(i,j),q(i,j)=Krq(i,j)+K(r(i,j),q(i,j);K(r(i,j),r(i,j)=Krr(i,j)+K(r(i,j),r(i,j); endendfor i=1:11 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endfor i=1:11:111 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endfor i=111:121 K(i,:)=0; K(i,i)=

11、1;endfor i=11:11:121 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endB=zeros(121,1);for i=11:11:121 B(i,1)=100;endU=KB;b=1;XX=zeros(11,11)for j=1:11 for i=1:11 XX(i,j)=U(b,1); b=b+1; endendsubplot(1,2,1),mesh(XX)axis(0,11,0,11,0,100)subplot(1,2,2),contour(XX,15)hold on（3）由上面的程序得到节点电位：（4）由程序得到的电场分布图及等位线图如下：4.用有限元法求矩形波导（b/a=0.

12、45）的： （1）电场分布图； （2）求TE模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5次），画出截至波长图； （3）求TM模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5次），画出截至波长图。解：利用MATLAB中的PDE工具箱：取矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为0.45a。（1） 主模的电场分布图如下： 在Neumann边界条件下：在Dirichlet边界条件下：（2）在TE模式下设置边界条件为Neumann条件，使用编制好的程序计算出主模的截止波长为1.9988a，第一高次模为0.9977a，第二高次模为0.8972a，截止波长图如下： （3）在TM模式下设置边界条件为Dirichlet条件，使用编制好的程序计算出主模的截止波长为0.81