曲线与方程含答案

1、曲线与方程一、知识疏理：1、直线截曲线所得弦长的计算公式：或；2、求曲线方程的步骤：（1）建立平面直角坐标系；（2）设为轨迹上任意一点；（3）写出动点所满足的轨迹条件；（4）将轨迹条件转化为对应的含的解析式，并将所得结果化简，即得轨迹的方程；（5）证明满足方程的任意一组实数解的对应点必在轨迹上。3、求轨迹方程的一般方法：（1）直接法；（2）代入法；（3）参数法。二、典型例题：1、若直线与曲线仅有一个公共点，求实数的值。解：当时，方程有唯一解，符合题意；当时，由得；综上所述，或。2、（求动点的轨迹方程）（1）已知两个定点，且，动点到点的距离与到点的距离之比为，求动点的轨迹方程；（2）的边长为，边

2、上的中线长为，试求顶点的轨迹方程；（3）已知，动点在曲线上运动，求线段中点的轨迹方程；（4）求直线与直线的交点的轨迹方程。解：（1）以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系设，由已知可得，故所求轨迹方程为；（2）以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系设，由中点公式得（3）设，由中点公式得，即所求轨迹方程为；（4）交点为设，消参得，即所求轨迹方程为。3、已知曲线的方程是求：（1）曲线关于点对称的曲线的方程；（2）曲线关于直线对称的曲线的方程。解：（1）在曲线上任取一点，它关于的对称点为则点在曲线上，得，即曲线的方程为；（2）在曲线上任取一点，它关于直线的对称点为则点在曲线上，得，即曲线

3、的方程为。4、（弦长公式）若直线与抛物线交于两点，且，求实数的值。解：由，。三、基础知识巩固：1、下列各组方程中表示同一曲线的是（ ）； ； ； 2、若曲线与轴有公共点，则的取值范围是3、直线被曲线截得的线段的长为4、方程表示的曲线是（ ）两个点； 四个点； 两条直线； 四条直线。5、点到两直线的距离之积为，则点的轨迹方程为6、已知，点在上运动，则的中点的轨迹方程为四、能力提高：1、已知直线和的夹角平分线为，如果直线的方程为，则的方程为2、方程的曲线经过点中的（ ）4个； 3个； 2个； 1个。3、以曲线与曲线的交点为顶点作多边形，则此多边形的面积为4、在平面直角坐标系内，方程表示的曲线与直线

4、的交点个数为 0个 5、方程表示的曲线关于直线对称的曲线的方程为6、若点在曲线上，是原点，则的最小值为7、设两点，求（1）以为一条直角边的的顶点的轨迹方程；（2）满足面积为的点的轨迹方程；（3）以为斜边的的顶点的轨迹方程；（4）以为一条边的矩形（按逆时针方向排列）的顶点的轨迹方程。解：（1）设，或故所求轨迹方程为或；（2）由已知得，故所求轨迹方程为或；（3）由已知得的中点为，因为是以为斜边的直角三角形，所以点到的距离，又点与点不重合，故所求轨迹方程为；（4）因为按逆时针方向排列，所以且点在所在直线的上方故所求轨迹方程为。8、画出方程所对应的曲线：。 或9、过点作互相垂直的两条直线，设直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的轨迹方程。解：设，则方法一：，故所求轨迹方程为；方法二：由勾股定理，可得故所求轨迹方程为；方法三：根据直角三角形的性质可得，故，故所求轨迹方程为。10、已知点，点在二次函数的图像上运动，表示与的面积之差，求的最小值，并求此时点的坐标。解：当时，此时或。五、拓展思维：1、已知过原点的一条直线与函数的图像交于两点，分别过作轴的平行线与函数的图像交于两点（1）证明：和原点在同一直线上；（2）当平行于轴时，求点的坐标。解：（1）设过原点的直线方程为，又，即，故三点共线；（2）因为平行于轴，所以，又因为。2、方程和 表示的曲线有两