曲线曲面积分

1、 第十一章 曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分1设 关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时， A.0 B. C. D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则= A. 4 B.2 C. D. 3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它 的质量 A. B. C. D.4求其中L为由所围区域的整个边界解：5其中L为双纽线解：原积分=6 其中L为原积分=7其中L为球面与平面的交线解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=8、求均匀弧 的重心坐标， 2 对坐标的曲线积分一、选择题1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数 时， A.0 B. C. D.ABC都不对2设

2、为的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-23为的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 二、计算1，其中由曲线从 到方向解： 2 其中是正向圆周曲线 解： 由奇偶对称性，： 3其中为从点到的有向线段 解：方程：，三、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。 最小，此时 四、空间每一点处有力，其大小与到轴的距离成反比，方向垂直指向轴，试求当质点沿圆周从点到时，力所作的功解：由已知五、将积分化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周解：，于是 3 格林公式及其应用一、选择题1.若是上半椭圆取顺时针方向,则 = A.0 B. C. D 2. 设为的正向，则 ？ A2 B.-2 C.0 D

3、.3.设为曲线的正向，则A9 B.-18 C. -9 D.0 二、计算题1.设是圆取逆时针方向，则 解：将方程代入被积函数在由格林公式得 2其中为点到的抛物线 的弧段解：因故积分与路径无关，取3求，为(1) (2) 正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 设为圆周：取逆时针方向，其参数方程 原积分为所以4、验证在面上是某函数的全微分，求出解：， 5、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且 ，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或 4 对面积的曲面积分1、计算曲面积分 ，其中是平面在第一卦限的部分 解：2、求曲面积分 ，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面 解： =23

4、、求曲面积分 ，其中是锥面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 对坐标的曲面积分一、选择题1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（ ） A.0 B. C. D.ABC都不对2.设取上侧,则下述积分不等于零的是（ ）A B C D 3.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（ ） A. B. C. D. 0二、计算1其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧2其中为锥面被平面所截部分的外侧 3.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角 ？三、用两类曲面积分之间的关系计算1 求其中是柱面在部分，是的外法线的方向余弦 ？2其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧 =四、试求向量穿过由及

5、及所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量 6 高斯公式1. 设是抛物面介于及之间部分的下侧，求 2设为取外侧,求 3.设为平面在第一卦限部分的上侧，则=4.求矢量场穿过曲面所围成的闭曲面外侧的通量 5. 求，其中有连续的二阶导数，是 所围立体的外侧 6.求 ，其中是 及所围曲面的外侧7.，其中为取外侧 7 斯托克斯公式 1、设为依参数增大方向的椭圆：，求 （0）2设为平面与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求 （2）3.设为圆周若从轴正向看依逆时针方向，则 （） 4、其中为圆周若从轴正向看依逆时针方向。5 ,其中为曲线从轴正 向看依逆时针方向。6 ,其中为椭圆 若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方

6、向。第十章 自测题一、填空（每题4分，共20分）1、设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 （）2、设为椭圆，其周长为,则(12)3、设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分（）4、设 是由锥面与半球面围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则5、设为球面外侧，则曲面积分 （0）二、选择题（每题5分，共15分）1、 设是在第一卦限部分.则有 A B.C. D.2、设取上侧，则下述积分不正确的是A B. C. D.3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 为（ ） A 0 B -1 C 2 D 2 三、计算（每题8分）1计算曲面积分，其中为锥面在柱体 内的部分 2、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小 解：。 最小，此时 3、计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周（取逆时针方向） 解：设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为4、计算其中L是平面与柱面的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.（-24）5计算曲面积分 其中是曲面 的上侧。 （-） 6计算曲面积分其中S是由曲面与两平面围成立体表面的