数学家的故事：北宋数学家贾宪

1、.北宋数学家贾宪贾宪，北宋人，约于1050年左右完成?黄帝九章算经细草?，原书佚失，但其主要内容被杨辉约13世纪中著作所抄录，因能传世。杨辉?详解九章算法?1261载有“开方作法根源图，注明“贾宪用此术。这就是著名的“贾宪三角，或称“杨辉三角。?详解九章算法?同时录有贾宪进展高次幂开方的“增乘开方法。数学成就贾宪的老师楚衍是北宋前期著名的天文学家和数学家，“于?九章?、?缉古?、?缀术?、?海岛?诸算经尤得其妙。当时人王洙997-1057有记载：“世司天算，楚，为首。既老昏，有，子贾宪、朱吉著名。宪今为左班殿直，吉隶太史。宪运算亦妙，有书传于世。根据记载贾宪著有?黄帝九章算经细草?九卷、?算法

2、斅古集?二卷及?释锁?，可惜均已失传。杨辉著?详解九章算法?1261年中曾引用贾宪的“开方作法根源图即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形和“增乘开方法求高次幂的正根法。前者比帕斯卡PascalBlaise，1623-1662三角形早600年，后者比霍纳WilliamGeogeHorner，17861837的方法1819年早770年。此外，“立成释锁开方法的给出，“勾股生变十三图的完善，以及“增乘方求廉法的创立，都说明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要奉献。数学方法论虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完好，但从杨辉缉录的细草中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主

3、要有以下两点。一抽象分析法在研究?九章?过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，等而为变，为乘，为段，自乘为积，为幂。十三名指勾a、股b、弦c、勾股较b-a、勾弦较c-a、股弦较c-b、勾股和a+b、勾弦和a+c、股弦和b+c、弦较和c+b-a、弦和和c+a+b、弦和较a+b-c、弦较教c-b-a。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之，说明他已经抛开?九章?算题本身而对勾股问题进展抽象分析了。例如“出南北门测邑方问，?九章?的方法是：术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之为实

4、，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才使他可以使用纯数学的方法改写?九章?术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。二程序化方法程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法和“增乘方求廉法尤其集中地表达了这一方法，比方少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，问：为立方几何？这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：1实上商置第一位得数一百。2以上商乘下法置廉一百，乘廉为方一万，除实，

5、讫。3复以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。4又乘下法入廉共三百。5其方一、廉二、下三退定十。6再于第一位商数之次，复商第二位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百，命上商除实，讫贾宪余一十三万二千八百六十七。7复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四万三千二百尺。8又乘下法入廉共三百六十。9其方一、廉二、下三退，如前。10上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四万四千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。地位及影响?九章算术?是十一世纪以前中国最著名的数学著作，在其流传过程中，为其做草的人很多。而在数学理论上有突出奉献的主要是三位数

6、学家-刘徽论根底的奠定、贾宪理论程度的进步和杨辉理论的根本完善，贾宪起着承前启后的作用。另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数学方法论又激发了宋元的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。详细表如今以下两个方面。一数学思想的影响贾宪对于?九章算术?中提出的问题，抽象分析，提醒数学本质；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注重知识系统化，防止产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很深的影响。杨辉著?详解九章算法?借鉴了贾宪的抽象和探究成果，对?九章?各题重新纂类?九章算术?李冶著?测圆海镜?就继承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的演绎体系。朱世杰著?四元玉

7、鉴?也用到这些思想方法，成就了我过古代数学史上的巅峰之作。秦九韶著?数术大概?即?数学九章?作术而不言详细数字更是师法贾宪，可见其方法论的生命力。当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述、研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。二数学成就的影响首先，贾宪的“增乘开方法创始了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术一元一次或高次方程到朱世杰的四元术四元一次或高次方程组的建立，终于在十四世纪初建立起一套完好的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。其次，贾宪三角的给出，创始了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱世杰从“三角的每条斜线上发现了“三角垜、“撒星形垜等高阶等差级数求和公式。第三，“增乘开方法事实