整环上的多项式环理论

1、本科生毕业论文(设计)开题报告 题 目 整环上的多项式环理论 学生姓名 学 号 学 院 数学与统计学院专 业 数学与应用数学指导教师 时间不确定二一 六 年 4 月 日毕 业 论 文（设 计）开 题 报 告1选题的目的和意义整环作为抽象代数中最基本的概念之一，在数学和自然科学其他分支中都有着广泛的应用。前人已经有了许多关于整环的研究和探讨，在整环的整除方面有了一系列定理和结果，但是在多项式扩展方面没有进行完整的梳理和研究；所以我依据高等代数中数域P上的多项式理论，讨论在整环上的多项式环理论，以期望能找到高等代数和近世代数之间更深层联系；确立整环上的多项式理论能够帮助我们更深的去探讨多项式在环中

2、的地位和作用。2国内外研究现状聂灵沼，丁石孙提出了整环都满足带余除法；唯一分解整环可以进行因式分解，多项式扩张后依然是唯一分解整环，满足高斯引理和艾森斯坦判别法；提出了主理想整环和欧几里德整环，但并未将其进行多项式扩张。刘绍学提出了Euclid算法，并由此推出分解的唯一性，且对整环的整除性质进行了研究。王萼芳和石生明主要是对于在数域上多项式进行了研究，郭世乐给出了域与主理想整环的相关定理。邢伟主要讨论了多项式的因式分解，着重在根和唯一分解整环上多项式的性质。杨子胥,宋宝和对各种特殊的整环进行了探讨。这些结果对我们研究整环上多项式理论奠定了扎实的基础。毕 业 论 文（设 计）开 题 报 告3研究

3、内容第1部分，参照数域，定义了整环上多项式及性质、唯一分解整环、主理想整环、欧几里德整环等本文会使用的一些重要概念。第2部分，给出整环上多项式满足带余除法的定理及其证明，同时介绍根的性质。第3部分，首先给出反例表明整环上多项式不能全部满足唯一因式分解，其次引入唯一分解整环，得到多项式性质。第4部分，对三种不同的整环进行研究，找出多项式环中任意两个元素最大公因子的性质。第5部分，得到唯一分解整环上多项式环的重因式的性质，给出了多项式与导数之间关于重因式的关系。4实施方案、进度安排及预期效果到：开始查阅与论文有关的资料；2.1到2.15：初步确定论文的研究思路；2.16到2.28：确定论文的研究内

4、容和研究进度；3.1到3.15：张孝金老师对不懂的部分进行讲解和梳理，讨论论文的研究内容和思路；3.16到3.31：论文的撰写；4.1到4.15：论文的翻译与中期检查；4.16到4.30：论文的进一步优化，完成初稿；5.1到5.15：论文的进一步完善，定稿；5.16到5.30：准备论文答辩。毕 业 论 文（设 计）开 题 报 告5、已查阅参考文献：1 聂灵沼，丁石孙.代数学引论第二版M.北京：高等教育出版社，2000.9.2 刘绍学. 近世代数基础M. 北京：高等教育出版社，1999.10.3 王萼芳，石生明.高等代数第三版M.北京：高等教育出版社，2003.7.4 郭世乐. 整环上的一元多项

5、式环J.福建师范大学福清分校学报，2004年第 2期.5 邢伟.近世代数M.北京：科学出版社，2010.9.6 杨子胥,宋宝和.近世代数习题集M.济南山东科学技术出版社,2002.7 张禾瑞.近世代数基础M.北京：高等教育出版社，2011.8 辛林.近世代数M.北京: 当代中国出版社, 2000.指导教师意见（可参照如下模板填写）该开题报告选题（基本符合/符合/完全符合）本专业毕业论文(设计)大纲要求,具有一定的（理论/应用/理论和应用）价值，在查阅文献等基础上，对国内外研究现状进行了（一定/较详细/详细）的论述，毕业论文（设计）目标（较明确/明确），研究（设计）内容有（一定/较好）的新意，研究方案和进度安排（较