思维特训(四)　反比例函数规律性问题

1、.思维特训四反比例函数规律性问题方法点津 ·反比例函数的规律性问题主要表达在求反比例函数图象中图形的面积和点的坐标变化规律，此类问题主要是利用反比例函数的图象和性质结合几何图形的性质加以解决其中反比例函数中k的几何意义极为重要典题精练 ·1如图4Y1，每个底边长为2的等腰三角形顶角的顶点都在反比例函数yx0的图象上，第1个等腰三角形顶角的顶点横坐标为1，第2个等腰三角形顶角的顶点横坐标为3，以此类推，用含n的式子表示第n个等腰三角形底边上的高为图4Y1A. B.C. D.2如图4Y2，在x轴正半轴上依次截取OA1A1A2A2A3An1Ann为正整数，分别过点A1，A2，A3

2、，An作x轴的垂线，与反比例函数yx0的图象交于点P1，P2，P3，Pn，连接P1P2，P2P3，Pn1Pn，过点P2，P3，Pn分别向P1A1，P2A2，Pn1An1作垂线段，构成的一系列直角三角形图中阴影部分的面积和是图4Y2A. B.C. D.3两个反比例函数y，y在第一象限内的图象如图4Y3所示，点P1，P2，P3，P2019在反比例函数y的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2019，纵坐标分别是1，3，5，共2019个连续奇数，分别过点P1，P2，P3，P2019作y轴的平行线，与反比例函数y的图象的交点依次是Q1x1，y1，Q2x2，y2，Q3x3，y3，Q2019x2

3、019，y2019，那么y2019_图4Y34在反比例函数x>0的图象上，有一系列点A1，A2，A3，An，An1，点A1的横坐标为2，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，An，An1作x轴与y轴的垂线段，构成假设干个矩形，如图4Y4所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，Sn，那么S1_，S1S2S3Sn_用含n的代数式表示图4Y45如图4Y5，正比例函数ykxk0的图象与反比例函数y1，y2，y2019的图象在第一象限内分别交于点A1，A2，A2019，点B1，B2，B2019分别在反比例函数y1，y2，y2019的图象

4、上，且A2B1，A3B2，A2019B2019分别与y轴平行，连接OB1，OB2，OB2019，那么OA2B1，OA3B2，OA2019B2019的面积之和为_图4Y56在平面直角坐标系xOy中，对于点Px，y，其中y0，我们把点Px1，1叫做点P的衍生点点A1的衍生点为A2，点A2的衍生点为A3，点A3的衍生点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，An，.假设点A1的坐标为2，1，那么点A3的坐标为_；假如点A1的坐标为a，b，且点A2021在双曲线y上，那么_.7如图4Y6，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，Pn都在函数yx&g

5、t;0的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，An1An都在x轴上1求点A1，A2的坐标；2猜测点An的坐标直接写出结果即可图4Y68如图4Y7，直线yxk和双曲线yk为正整数交于A，B两点1当k1时，求A，B两点的坐标；2当k2时，求AOB的面积；3当k1时，AOB的面积记为S1，当k2时，AOB的面积记为S2，依此类推，当kn时，AOB的面积记为Sn，假设S1S2Sn，求n的值图4Y7详解详析1A解析 每个等腰三角形的底边长为2，顶角的顶点在反比例函数yx>0的图象上，第1个等腰三角形底边上的高；第2个等腰三角形底边上的高；第3个等腰三角形底边上的高；第n个等腰三角形底边上的高.2

6、A解析 设OA1A1A2A2A3An1An1，那么P11，y1，P22，y2，P33，y3，Pnn，yn点P1，P2，P3，Pn在反比例函数yx0的图象上，y12，y21，y3，yn.设自左向右每个阴影三角形的面积依次为S1，S2，S3，Sn1，那么S1×1×y1y2×1×211，S2×1×y2y3，S3×1×y3y4×，Sn1，S1S2S3Sn111.32019.5解析 由反比例函数y图象上点的纵坐标为连续奇数，可知点P2019的纵坐标为4037，由此求出对应的横坐标依次为：x16，x22，x3，x20

7、19.又过点P1，P2，P3，P2019分别作y轴的平行线，所以点Q1，Q2，Q3，的横坐标与点P1，P2，P3，的横坐标一样，由此可知点Q2019的横坐标为，把其代入y中，便可得出y2019的值为2019.5.45解析 点A1，A2，A3，An，An1在反比例函数yx0的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，A12，5，A2，S12×5；由题目中的图象知，An2n，An12n2，S22×，Sn2×n1，2，3，S1S2S3Sn10×10×1.51009解析 延长A2B1，A3B2，A4B3，分别与x轴交于

8、点C1，C2，C3，如下图y1，y2，SOA2B1SA2OC1SB1OC1.y2，y3，SOA3B2SA3OC2SB2OC21，依此类推，可知SOA2019B2019，那么OA2B1，OA3B2，OA2019B2019的面积之和为1009.62，1解析 根据衍生点的定义，点A12，1的衍生点A2的坐标为1，2；点A21，2的衍生点A3的坐标为2，假设点A1的坐标为a，b，那么点A1的衍生点A2的坐标为a1，1，即A2a1，；点A2的衍生点A3的坐标为a，；点A3的衍生点A4的坐标为a1，b；点A4的衍生点A5的坐标为a，；点A5的衍生点A6的坐标为a1，；点A6的衍生点A7的坐标为a，b；而2

9、021336×65，所以点A2021的坐标与点A5一样，即为a，因为点A2021在双曲线y上，所以a·1，那么a，所以1.7解：1过点P1作P1C1x轴于点C1，过点P2作P2C2x轴于点C2，因为P1OA1，P2A1A2是等腰直角三角形，所以P1C1OA1OC1，P2C2A1A2A1C2.点P1在函数yx>0的图象上，P1C1·OC14，即OC124，OC12，OA14.设P2C2A1C2x，那么OC2x4，OA242x.又点P2在yx>0的图象上，xx44，即x24x40，解得x122 舍去，x222 ，OA242×2 24 ，点A1的坐标为4，0，点A2的坐标为4 ，02过点P3作P3C3x轴于点C3，设点P3的纵坐标为y，那么点P34 y，y，于是有y4 y4，解之得y2 2 负值已舍去，A34 ，0由点A1，A2，A3的坐标可以归纳发现，点An的坐标为4 ，0n1，n为整数8解：1当k1时，直线yxk和双曲线y可化为yx1和y，由可得或A1，2，B2，12当k2时，直线yxk和双曲线y可化为yx2和y，由可得或A1，3，B3，1设直线AB的函数解析式为ymxn，解得直线AB的函数解析式为yx2，直线