无穷级数A同步测试卷

1、第十二章 无穷级数同步测试A卷题 号一二三总分得 分一、单项选择题(每小题3分，共15分)1下列级数中，收敛的是（ ） 2设为数项级数，下列结论中正确的是（ ），级数绝对收敛.，级数发散.，级数绝对收敛.，级数条件收敛.3已知幂级数的收敛半径，则对幂级数而言，下列的值不能确定收敛或发散的是（ ）4. 设常数，则级数（ ）. 发散. 条件收敛. 绝对收敛. 收敛性与有关.5. 周期为的函数，在一个周期上的表达式为，设它的傅里叶级数的和函数是，则（ ）.二、填空题(每小题4分，共20分)6. 级数的和为 . 7. 幂级数的收敛半径为 . 8. 已知级数，则级数 .9将展开为的幂级数时，其收敛域为

2、.10将展开为余弦级数时， . 三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在.因为，因此取得.12. （8分）讨论级数的敛散性.13. （8分）求级数的和函数.14. （8分）将展开为的幂级数.15. （8分）求极限.16. （8分）利用对展开式逐项积分，求在内的傅里叶级数.17. （8分）已知，求.18. （9分）设有级数，验证此级数的和函数满足微分方程，并求幂级数的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A答案及解析一、单项选择题题号12345答案BCDBA答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于是常数，发散，因此发散.由于是常数，收敛，因

3、此收敛.由于 这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此发散.同理，发散.故选.方法技巧 本题考查无穷级数的性质.特别提醒 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以不正确.事实上，令，但级数发散.令，但级数收敛，所以不正确.若，则级数收敛，因此绝对收敛.故不正确，选.方法技巧 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.特别提醒 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于的收敛半径，则幂级数在，即内绝对收敛，在或处发散，在不能确定，故选.方法技巧 本题考查幂级数的阿贝尔定理.特别提醒 阿贝尔定理经常出现在各

4、类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于 由比较审敛法 ，得绝对收敛；而条件收敛，则级数 条件收敛，故选.方法技巧 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于 故选.方法技巧 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点，级数收敛到；在函数的间断点，级数收敛到.特别提醒 首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6. 7. 8. 9. 10. 答案详细解析6. 解 由于级数均为等比级数，且公比，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收

5、敛，故方法技巧 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.特别提醒 等比级数的和为，一定记住分子为第一项.7. 解 由比值审敛法知：当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散，因此级数的收敛半径为.方法技巧 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数收敛时，原级数绝对收敛；而级数发散时，原级数也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即，此时，故级数也发散.特别提醒 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令）.8. 解 由题设方法技巧 本题考查收敛级数的性质收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.

6、特别提醒 一些同学不熟悉符号，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于，则当 ，即时，函数可以展开为的幂级数，故收敛域为.方法技巧 本题考查形如的函数展开式及收敛域.若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式方法技巧 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：则 （在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为，而是在区间上，故运算错误.方法技巧 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域.12. 解 当时，又 ，由夹逼准则知，故级数发散.方法技巧 本题考查级数收敛的必要条件： 收敛.即若，则发散.特别提醒

7、解题过程中用到了结论，证明如下：由于 故 一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如；等.13. 解 方法技巧 本题考查函数的展开式：.展开式 中，三处的要相同.特别提醒 若对符号不熟悉，可以将每一项直接写出. 在中，从0开始取，但在中，从1开始取.14. 解 （即） （）故 （）方法技巧 本题考查形如的函数展开式及收敛域.首先利用分式的性质，将化为标准形式.15. 解 所求极限实际上是级数的和，所以考虑幂级数. 令 （）故 方法技巧 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当时，有，而在内连续，对展开式逐项积分得故 由傅里叶系数公式知 ，因此方法技巧 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的计算比较复杂）.17. 解 方法技巧 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为的幂级数，逐项积分再求和.特别提醒 18. 解 当时，记，则，且，则 ，故满足微分方程.由于幂级数的和函数为，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程的满足条件的特解. 其特征方程为，特征根为，对应的齐次方程的通解为，观察知是