数学建模综合分析法案例

1、数学建模竞赛论文论文题目：全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价（甲组）参赛队员：姓名： 系别：经管系 年级：姓名： 系别：计算机 年级： 姓名： 系别：数学系 年级： 2011年8月12日目录一、摘要.3二、问题重述.4 2.1)问题背景.4 2.2)涉及材料背景.4 2.3）问题提出.4三、问题分析与假设.4 3.1）对“质量”的定性及定量分析.4 3.2）问题的假设.4四、符号说明.5五、模型的建立与求解.6 5.1）模型的建立.6 问题一.6 问题二.7 5.2）模型的求解.9 5.3）模型的检验与分析.17六、模型的评价与改进.18 6.1）模型的不足.18 6.2）模型的优点.186

2、.3）模型的推广.18七、参考文献.18全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价一、摘要近年来，全国大学生数学建模竞赛受到社会各界的关注，为了进一步提高数学建模竞赛命题质量，促进数学建模竞赛活动更快、更好地发展，以1992年-2010年全国大学生数学建模竞赛甲组命题质量为研究对象，对命题质量进行综合评价。本文运用模糊综合评判法对命题质量进行综合评价，以层次分析法为基础，建立三级评判矩阵以及评语向量，用matlab进行矩阵间的运算求出二级评判矩阵及评语向量，最终求出综合评价指标。最终的综合评价指标能够比较准确的综合评价1992-2010年甲组38道命题的质量。运用excel对评价结果进行统计与整理，

3、首先画曲线图，能够直观的看出每年命题的质量趋势，然后画出解决方法的统计，并进行相应分析，还做出题型特点的图，并对其进行分析。关键字：模糊综合评价法 MATLAB EXCEL统计法 命题质量 因素集 评价集二、问题重述2.1问题背景全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是面向全国大学生的群众性科技活动，1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速

4、度发展，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。竞赛的目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。2.2涉及材料背景数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。三人共同完成题目，既能增强学生解决问题的能力，还能加学生的合作意识。参加数学建

5、模同学的共鸣是一次参赛，终生受益。近年来数学建模受到各界的关注。2.3问题提出为了进一步提高数学建模竞赛命题质量，促进数学建模竞赛活动更快、更好地发展，（1）给出全国大学生数学建模竞赛命题的综合评价指标体系（分甲组、乙组任选一）；（2）根据你给出的综合评价指标体系给出评价模型，并给出相应的甲组（或乙组）1992年-2010年全国大学生数学建模竞赛所有命题的评价结果。三、问题分析与假设3.1对“质量”的定性及定量分析“质量”仅仅是一个广泛而模糊的概念，因此在实际生活中将质量转化成有参考价值的数据时，往往需要用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。本文在评价数学建模命题质量时，用综合模糊评判方法

6、对命题质量给出一种综合评价方案。3.2问题的假设考虑到各因素之间的关系，按因素的不同性质分为三个因素集（即主要因素集）：题目的特点：A=(1),(2),(3),(4),(5);实际的意义：B=（6），（7），（8），（9）；解决的方法：C=（10），（11）。根据问题的实际情况，对三个因素集中的11个二级因素，又可以分成27个三级因素（如表1即综合评价指标），对每个三级因素都可以给出一个评判集，相应的可以构造出二级因素模糊矩阵和各个因素的权向量，确定出各个主要因素的隶属度，从而可以求出命题质量的评价指标，对命题质量给出客观的评价。表1评价命题质量的各级因素及其权值主要因素二级因素权重模糊矩阵三

7、级因素权重(A)题目特点(0.3)综合性(A)0.3RA1(A11)方法融合0.6(A12)学科交叉0.4开放性(A)0.1RA2(A21)方法开放性0.6(A22)思路开放性0.4实用性(A)0.3RA3(A31)问题数据来自实际0.4(A32)解决方法切合实际0.2(A33)模型结果应用于实际0.4即时性(A)0.1RA4(A41)国内外大事0.3(A42)社会热点0.2(A43)生活焦点0.5数据结构复杂性(A)0.2RA5(A51)数据的冗余性0.4(A52)数据的海量性0.6(B)实际意义0.4工业(B)0.3RB1(B11)电子通信0.5(B12)机械设计与制造0.5农业(B)0.

8、4RB2(B21)农业增收0.6(B22)农业管理0.4经济(B)0.2RB3(B31)市场管理0.5(B32)经济增长0.5社会(B)0.1RB4(B41)社会秩序维护0.3(B42)社会发展0.7(C)解决方法0.3几何学(C)0.4RC1(C11)几何模型0.6(C12)几何理论0.4高等数学(C)0.6RC2(C21)统计分析0.2(C22)规划方法0.2(C23)插值与拟合0.2(C24)差分方法0.1(C25)微分方法0.3 四、符号说明A、B、C、：主要因素；A、B、C：二级因素；A、B、C：三级因素；r：第i个三级因素第j个等级的隶属度；R，R，R：二级因素的模糊评判矩阵（其中

9、i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4；k=1，2；）；V，V，V：对应于二级因素的模糊评判矩阵的相应的评语向量；R,R，R：三个主要因素的模糊评判矩阵；V,V,V:对应与三个主要因素模糊矩阵相应的评语向量；，：主要因素A、B、C、D的隶属度；D：对命题质量的综合评价指标。五、模型的建立与求解5.1模型的建立问题1） 数学建模命题质量受很多因素的影响，不能就单一的方面进行评价，应担综合考虑各个因素对命题的影响来评价命题质量，根据因素集建立命题质量综合评价体系（如表2）表2数学建模命题质量综合评价体系主要因素二级因素权重模糊矩阵三级因素权重(A)题目特点(0.3)综合性(A1)0.3RA1(

10、A11)方法融合0.6(A12)学科交叉0.4开放性(A2)0.1RA2(A21)方法开放性0.6(A22)思路开放性0.4实用性(A3)0.3RA3(A31)问题数据来自实际0.4(A32)解决方法切合实际0.2(A33)模型结果应用于实际0.4即时性(A4)0.1RA4(A41)国内外大事0.3(A42)社会热点0.2(A43)生活焦点0.5数据结构复杂性(A5)0.2RA5(A51)数据的冗余性0.4(A52)数据的海量性0.6(B)实际意义0.4工业(B1)0.3RB1(B11)电子通信0.5(B12)机械设计与制造0.5农业(B2)0.4RB2(B21)农业增收0.6(B22)农业管

11、理0.4经济(B3)0.2RB3(B31)市场管理0.5(B32)经济增长0.5社会(B4)0.1RB4(B41)社会秩序维护0.3(B42)社会发展0.7(C)解决方法0.3几何学(C1)0.4RC1(C11)几何模型0.6(C12)几何理论0.4高等数学(C2)0.6RC2(C21)统计分析0.2(C22)规划方法0.2(C23)插值与拟合0.2(C24)差分方法0.1(C25)微分方法0.3问题2）因为影响命题质量的有A、B、C三个主要因素，11个二级因素，27个三级因素，根据实际可以给出个因素的权值（如表1）。对于每个三级因素都可以给出由5个元素组成的评判集，例如很强，强，一般，弱，很

12、弱、很多，多，一般，少，很少、非常严重，严重，一般，轻，很轻、很，大，一般，小，很小、很好，好，一般，差，很差、100%，95%,100%,90%,95,80%,90%.<80%等（如表3）。表3各因素的评判集因素等级一等级二等级三等级四等级五A11A12很强强一般弱很弱12345A21A22A23很高高一般低很低很高高一般低很低A31A32A33很多多一般少很少很强强一般弱很弱很广广一般窄很窄 A41A42A43A44很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少A51A52100%95%-100%90%-95%80%-90%<80%100%95%-100%90%-95%80%

13、-90%<80%B11B12非常大大一般小很小非常大大一般小很小 B21B22非常多多一般少很少很好好一般差很差 B31B32很好好一般差很差很大好一般差很差B41B42很好好一般差很差很大大一般小很小C11C12很多多一般少很少很强强一般弱很弱C21C22C23C24C25很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少实际中，通常是由专家组根据评价集对命题质量进行评价，由评价结果构造出每个因素的评判模糊矩阵。例如：记第i个三级因素的评判为（ri1，ri2，ri3，ri4，ri5）(i=1,2,m),则相应的二级因素的模糊评判矩阵为 r11 r12 r1

14、3r21 r22 r25r31 r32 r35 rm1 rm2 rm5 R=其中 为第i个三级因素第j个等级的隶属度。于是可得11个二级因素的模糊评判矩阵R,R，R，则相应的评语向量分别为V=WAi*RAi，V=WBj*RBj，V=WDk*RDk其中，i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4；k=1，2，3.故三个主要因素的模糊评判矩阵为RA=（VA(1),VA(2),VA(3),VA(4),VA(5)）TRB=(VB(1),VB(2),VB(3),VB(4)TRC=(VC(1),VC(2)T则相应的评语向量为VA=(a1，a2，a3，a4，a5)*RA=(va1，va2，va3，va4,v

15、a5),VB=(b1,b2,b3,b4)*RB=(vb1,vb2,vb3,vb4,vb5),VC=(c1,c2)*RC=(vc1,vc2,vc3,vc4,vc5).令,则，分别是主要因素为A、B、C的隶属度，其评价向量记为（，）T.于是可得对命题质量的综合评价指标为D=W*5.2模型求解首先，由专家组根据评判集对2010年全国大学生数学建模命题质量进行评判，再由评判结果构造出每个因素的评判和模糊矩阵。记第i个三级因素的评判为(ri1,ri2,ri3,ri4,ri5)(i=1,2,m),则相应的二级因素的模糊评判矩阵为0 0 0.1 0.5 0.40 0 0 0.6 0.4 0.3 0.4 0.

16、3 0 00.4 0.4 0.2 0 0 RA1= RA2=0 0 0 0.2 0.80 0 0 0 10 0 0.1 0.3 0.60.7 0.3 0 0 00.6 0.4 0 0 00.6 0.3 0.1 0 0RA3= RA4= 0 0 0.6 0.3 0.10 0 0 0 10.6 0.3 0.1 0 00.6 0.2 0.1 0.1 0RA5= RB1= 0 0 0 0.1 0.90 0 0 0 10 0 0 0.9 0.1 0 0 0 0 1RB2=RB3=0.7 0.3 0 0 00.7 0.2 0.1 0 00 0 0 0.5 0.50 0 0 0.4 0.6RB4=RC1=

17、0 0 0.1 0.3 0.60.1 0.3 0.4 0.2 00 0 0 0 10 0 0 0.1 0.90.8 0.2 0 0 0RC2=（注：为第i个三级因素第j个等级的隶属度，假设评委人数为20人） 然后，求出相应的评语向量，公式为V=WAi*RAi，V=WBj*RBj，V=WDk*RDk用MATLAB求，编码为R=aij;%其中是为第i个三级因素第j个等级的隶属度W=w;%w为第三级因素的第j个因素的权重B=W.*RVA(1)=(0 0 0.06 0.54 0.4);VA(2)=(0.34 0.4 0.26 0 0);VA(3)=(0.64 0.32 0.04 0 0);VA(4)=

18、(0 0 0.05 0.23 0.72);VA(5)=(0.6 0.24 0.1 0.06 0);VB(1)=(0 0 0.3 0.15 0.55);VB(2)=(0 0 0 0.06 0.94);VB(3)=(0 0 0 0.05 0.95);VB(4)=(0 0 0 0.43 0.57);VC(1)=(0.74 0.26 0 0 0); VC(2)=(0.26 0.12 0.1 0.1 0.42).故可求三个主要因素的模糊评判矩阵，公式为RA=（VA(1),VA(2),VA(3),VA(4),VA(5)）TRB=(VB(1),VB(2),VB(3),VB(4)TRC=(VC(1),VC(2

19、)T0 0 0.06 0.54 0.40.34 0.4 0.26 0 00.64 0.32 0.04 0 00 0 0.05 0.23 0.72 0.6 0.24 0.1 0.06 0带入数据得RA=0 0 0.3 0.15 0.550 0 0 0.06 0.940 0 0 0.05 0.950 0 0 0.43 0.57RB=0.74 0.26 0 0 00.26 0.12 0.1 0.1 0.42RC=再求相应的评语向量，公式为VA=(a1，a2，a3，a4，a5)*RA=(va1，va2，va3，va4,va5),VB=(b1,b2,b3,b4)*RB=(vb1,vb2,vb3,vb4,

20、vb5),VC=(c1,c2)*RC=(vc1,vc2,vc3,vc4,vc5).带入数据得VA=(0.17 0.06 0.06 0.11 0.52); VB=(0 0 0.09 0.122 0.781); VC=(0.252 0.172 0.006 0.006 0.202)根据三个主要因素模糊评判矩阵相应的评语向量求A、B、C三个因素的隶属度，公式为带入数据得，即评价向量记为最后求命题质量的综合评价指标，公式为D=W*带入数据得D=0.3*0.92+0.4*0.993+0.3*0.746=0.897.综合指标为0.897说名质量比较好，但还是有一定的缺点，例如没有即时性，方法单一等。对199

21、2-2010年甲组命题质量的评价统计到如下表中（表4）表4历年数学建模题目得分 题目年份A题B题19920.2780.52519930.3010.6319940.6930.5319950.43250.6419960.42680.7419970.73690.6219980.85660.5219990.45210.4320000.73650.75520010.65980.6420020.65840.5920030.69630.6620040.60010.6420050.73710.5720060.92560.6720070.28660.720080.73670.6920090.99260.7520

22、100.88970.615用EXCEL根据上表（表4）做出逆命题趋势图（图1） 从历年的题目总体质量看，质量并不是逐渐提升的，而是不断的波动变化，然而A题的质量变化较为明显，而B题相对较为稳定。这是由于每年根据收集对每年的题目水平并且适合学生的方面出发，而做的不断调整，是很有意义的。由图中还可看出A题2009年题目质量最好，0992年质量最差。B题是2003年质量最好，2002年质量最差。表（5）数学建模方法统计表优化方法概率统计插值拟合插值拟合其他2216663注：有些题目是混合型的，兼备多种方法。根据上表（表5）做出相应的图2图2 从表格中可以看出，优化问题是这些年出题的趋势，适应了社会对

23、资源等的充分利用，有利于可持续发展。促进资源和谐社会的建设；同时概率统计所占比例也非常大，适应生活统计决策问题的需要；然而同时也会造成在考试方面，学生只专注于这两个方面去研究题目，造成学生建模知识水平的下降，不利于高素质人才的选拔。所以建议数学建模命题老师平均分配建模解决方法，尽可能涉及更多的方法，以利于全面的高素质人才的选拨。图3 由上表的数据能够看出题型的种类分布还算均匀，稍微偏重于实用性，更加贴合实际问题，利于实用性人才的培养；同时综合性问题也相对比较突出，更能考验考生对实际问题的综合性思考及跨多学科做业的能力；即时性，开放性，复杂性的题目所占比例相当，整体题型的质量比较合理，全面。数学

24、建模问题分类汇总表（表6）工业农业工程设计交通运输 经济管理生物医学社会事业8255666图4 图中可以看出，题目设计明显对工业高度重视，所有题目中工业所占比例远远高于其它行业，正适合我国目前现状对工业发展的需求。为“工业兴国”提供知识储备，减小与发达国家的差距；然而明显的是农业方面的题目太少，不利于我国农业知识人才的挖掘，中国有7亿多农民，“民以食为天”只有提高我国农业水平才能保证其他行业稳固前进，因此建议出题工作者加强对农业增收等有助农业发展相关题目的命制，来选拨出利于我国农业发展的高素质人才。对于其他行业较为均匀，体现了对各行业的重视，利于各行业齐头并进，和谐发展。除农业方面题目较少外，

25、整体去看这些年来命题在推进各行业发展方面质量还是相对不错的。表7 题目A年份题目特点n1实际意义n2解决方法n319920.60.70.619930.70.60.719940.50.40.619950.60.50.4519960.650.70.619970.70.750.619980.60.850.719990.50.80.420000.70.60.720010.60.80.620020.70.80.620030.70.750.6520040.60.70.520050.60.650.520060.50.60.620070.70.50.720080.60.650.620090.70.60.720

26、100.60.280.15图5表8 题目B年份题目特点n1实际意义n2解决方法n319920.60.50.6519930.70.60.619940.50.50.619950.70.60.519960.70.80.619970.40.80.619980.70.40.519990.30.40.620000.70.80.7520010.60.70.620020.70.50.620030.50.70.620040.60.70.620050.50.60.620060.70.70.620070.70.70.720080.60.750.720090.70.70.6520100.60.60.65图65.3模型的检验与分析 我们对该模型在计算机上分别以20名和26名专家组成的评委会随机的对1992-2010年甲组38道命题进行评判检验，结果表明都能客观地给出综合评价指标，为此这一模型是可以应用与实际的，而且具有相当广泛的通用性。在模型中关于各因素的权重主要是依据实际背景以及专家对命题的评价主观上给定的，可能带有片面性，实际中可以根据侧重点进行适当的调整，不影响整体效果。如果能详细能详细的分析各个因素之间的关系，利用AHP方法通过两两比较矩阵确定权向量，结果可能会更加客观，但工作量会增大。关于各因素隶属度的确定，采用专家组评判的方法是切合实际的，当然，实际操作中专家组成员可以有相关个