数学分析教案

1、教 案2006-2007学年第 1 学期 课 程 名 称： 数学分析3 课 程 编 号： 4081103学院、专业、年级： 数学科学学院、数学与应用数学专业、05级 任 课 教 师： 姜子文教 师 所 在 单 位： 数学科学学院山东师范大学数学分析3 教案-课程简介数学分析课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具极限的思

2、想与方法研究函数的分析特性连续性、可微性、可积性。本课程所讲授的这些内容和方法是现代应用数学的基础，是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练，是实现数学类专业培养目标的重要基础课。数学分析课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力

3、与意识。通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。数学分析课程授课时间为三个学期，各学期课程名称分别为：数学分析(1)、数学分析(2) 、数学分析(3) 。其中数学分析(1)主要包括如下内容：函数；数列极限；函数极限；函数连续性；实数连续性的基本定理；导数与微分。授课学期：第一学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。数学分析(2) 主要包括如下的内容：不定积分；定积分；定积分的应用；级数理论。授课学期：第二学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。数学分析(3) 主要包括如下的内容：多元函数偏导数，多元函数可微性，多元函数Taylor公

4、式，多元函数极值，多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。授课学期：第三学期；授课总时数：98学时；学分：6学分。现用教材：数学分析课程现在所用教材为面向21世纪课程教材和国家九五重点教材华东师范大学主编的数学分析（上、下册）（第三版）。同步参考教材：数学分析学习指导书（上、下册），吴良森等编著；数学分析学习指南（自编）（上、下及下下册）；数学分析研究，马顺业编著；数学分析讲义（第三版）（上、下册），刘玉琏等等编著等教材或教学参考书。数学分析3 教案-教学大纲1、说明数学分析（3）的教学内容为多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、隐函数定理及其应用、含参量正常积分、

5、曲线积分、重积分、曲面积分等七章内容。通过教学，可使学生了解到多元函数与一元函数的差异与联系，理解到积分学多方面的应用。另外，由于学期的差异所造成的原因，本学期的数学分析3这门课程还将讲述傅立叶（Fourier）级数这一章内容。本课程授课学期：第三学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。2、课程内容及课时分配一、傅立叶（Fourier）级数（11学时）三角级数，三角函数系的正交性，傅立叶级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼勒贝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立叶级数的部分和公式，按段光滑且以2为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅立叶级数，以为周期的函

6、数的傅立叶级数，一致收敛性定理，傅立叶级数的逐项积分与逐项微分，维尔斯特拉斯的函数逼近定理*。二、多元函数的极限与连续（13学时）平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等），平面点集的基本定理一区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限，累次极限，二元函数连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。n 维空间与n元函数（距离、三角形不等式、极限、连续性等）*。注：建议用映射观点定义多元函数。三、多元函数的微分学（19学时）偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数

7、与全微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值。注：在极值举例中可介绍“最小二乘法”。四、隐函数定理及其应用（13学时）隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，函数行列式，函数相关*。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。注：建议用映射观点阐述函数组、反函数组与坐标变换的概念。五、含参量积分（13学时）含参量积分概念，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换*。函数与B函数。六

8、、曲线积分（10学时）第一型和第二型曲线积分概念与计算，格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。七、重积分（16学时）平面图形面积，二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等）。n 重积分*。无界区域上反常二重积分的收敛性概念，无界函数的反常二重积分。注1：用微元法讲重积分应用。注1：在讲授无界区域上非正常二重积分时，介绍的计算。八、曲面积分（13学时）曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，奥斯特罗

9、格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。场论初步（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。楔积、微分形式、外微分与一般斯托克斯公式*。注1：本单元最后的*号部分仅作形式的处理。注2：为了与数学分析其它分支联系的更紧密，我们建议主要介绍康托尔的基本序列说，对戴德金德分割说仅介绍其大意。数学分析3教案 授课时间 2006.9.12 第 1 次课 授课章节第十五章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社200

10、4年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理.教学重点，难点：重点: 将一个函数展开成Fourier级数；难点: Fourier级数的收敛性的判别.教学内容：一、傅立叶级数1三角级数三角级数的定义 形如的函数项级数称为三角级数，它是由三角函数列（也称为三角函数系）所产生的函数项级数.注：是由三角函数列（或三角函数系）所产生的函数项级数一般形式，之所以表示为为，是为了讨论该级数一致收敛时系数

11、与其和函数之间关系表述方便.数学分析3教案三角级数的应用背景在自然界中周期现象是很多的，如单摆运动、无线电波等，都可以用周期函数正、余弦函数来表示，这是因为周期现象的数学描述就是周期函数.但是较复杂的周期现象如热传导、电流传播、机械振动等不仅需要正、余弦函数表示，而且需要很多以至于无穷多个正、余弦函数叠加来表示，这在数学上就是将周期函数展开成无穷多个正、余弦函数之和的问题.因此要研究由三角函数列所产生的级数即三角级数，特别必须研究由一个函数做出的三角级数即傅立叶级数.2正交函数系定义 设函数与定义于区间上.若有，且，则称函数与定义于区间上是正交的.若定义于区间上的函数列满足（），且，则称函数列

12、在区间上具有正交性，或称函数列在区间上是正交函数系.例如，三角函数系是区间上的正交函数系.事实上，（），（），而，.容易看出，三角函数系中所有函数具有共同周期，故容易验证若三角级数收敛，则它的和函数一定是一个以为周期的函数.3三角级数收敛定理及其性质定理15.1 若级数收敛，则三角级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证明：利用优级数判别法.性质：定理15.2 若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则则有如下关系式：，数学分析3教案，.证明：利用一致收敛函数项级数的逐项可积性、第十三章第一节习题4、三角函数系的正交性即可.二、以为周期的函数的傅立叶级数1傅立叶级数的定义设是上以为周期的函数，且在

13、上可积，称形如的函数项级数为的傅立叶级数(或的傅立叶展开式)，其中， 称为的傅立叶系数，记为.注：1）在未讨论收敛性，即证明一致收敛到之前，不能将“”改为“=”；此处“”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的傅立叶级数，或者说的傅立叶级数是. 2) 求上的傅立叶级数，只需求出傅立叶系数.例1 设是以为周期的函数，其在上可表示为 ,求的傅立叶展开式.三、收敛定理 1按段光滑的定义 设函数定义于区间上.若函数在上至多有有限个第一类间断点，其导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称在区间上按段光滑.（注：导函数的间断点只能是第二类间断点.）数学分析3教案注：

14、区间上的按段光滑函数具有性质：（1）在区间上可积.（2）在区间上没一点都存在左右极限，且有，.（3）补充定义在区间上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为），则在区间上可积.2收敛定理 定理15.3 以为周期的函数在区间上按段光滑，则在每一点，的傅立叶系数收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即，其中，为的傅立叶系数.(证明放到以后进行)推论 若函数是以为周期的连续函数，且在区间上按段光滑，则的傅立叶级数在上收敛于.注：3）计算的傅立叶系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如， 例2 设是以为周期的函数，其在上等于，求的傅立叶级数.注： 4) 在具体讨论函数的傅立叶级数展开式时，通常只给出在长

15、为的区间上的解析表达式，例如在上的解析表达式，此时我们应对作解析延拓，即定义，使其以为周期，它有下述性质：a)时，；b) 以为周期.因此的傅立叶级数就是指的傅立叶级数. 例3 把函数展开为Fourier级数.数学分析3教案 解 参阅例1, 有 例4 展开函数.解 ； .函数在上连续且按段光滑, 又，因此有. ( 倘令, 就有,) 例5 在区间内把函数展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法一 ( 直接展开 ) ； . 函数在区间内连续且按段光滑, 因此有, .数学分析3教案由于, 该展开式在上成立.( 在该展开式中, 取，得; 取,得. ) 解法二 ( 间接展开: 对例3中的展开式作积

16、分运算 ) 由例3, 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有.为求得, 上式两端在上积分, 有, 因此, , .注：若题目中给定的函数只是在长度为的区间上，解题时一定要先延拓，再按收敛定理判断傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判断函数是否按段光滑，即傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.数学分析3教案复习思考题、作业题：1（1）， 2（2）， 3（1）， 7（1）， 8下次课预习要点15.2 以为周期的函数的傅立叶级数实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签

17、字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.14 第 2 次课 授课章节第十五章第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握以为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法 教学重点，难点：重点:

18、 将一个以为周期的函数展开成Fourier级数；难点: 理解将一个函数展开为正弦级数或余弦级数.教学内容：一.以为周期的函数的Fourier级数: 设函数以为周期, 在区间上(R )可积. 作代换, 则函数以为周期. 由是线性函数,在区间上(R )可积. 函数的Fourier系数为, ，, , 数学分析3教案还原为自变量, 注意到, 就有 其中 , ，, ,当函数在区间上按段光滑时, 可展开为Fourier级数.注 三角函数系是区间上的正交函数系.例1  把函数展开成Fourier级数. P72例1 二. 正弦级数和余弦级数: 1. 区间上偶函数和奇函数的Fourier级数

19、:设函数以为周期的偶函数，或是定义于上的偶函数，则的傅立叶级数为，.同理，设函数以为周期的奇函数，或是定义于上的齐函数，则的傅立叶级数为，.数学分析3教案特别，时有，.2. 奇展开和偶展开:在实际应用中，有时需把定义在（或）上的函数展开成余弦级数或正弦级数.可先把定义在（或）上的函数作偶式延拓或作齐式延拓到（或）上，然后求延拓后函数的傅立叶级数.也可不必做延拓，直接按公式，或，直接计算出的傅立叶系数和傅立叶级数.把定义在（或）上的函数展开成余弦级数或正弦级数通常称为偶展开和奇展开.例2  设.求的Fourier级数展开式. P74 例2例3  把定义在上的函数 （

20、其中之一)展开成正弦级数. 例4  把函数在内展开成: 1） 正弦级数; 2） 余弦级数.P76 例 4 数学分析3教案复习思考题、作业题：1（1）、（2）， 2， 4， 5， 6.下次课预习要点15.3 收敛定理的证明实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.19 第 3 次课 授课章节第十五章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版

21、吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点(2)理解收敛定理的证明教学重点，难点：重点: 贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理、预备定理2.难点: 收敛定理的证明.教学内容：定理15.3（Dini定理） 以为周期的函数在区间上按段光滑，则在每一点，的傅立叶系数收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即，其中，为的傅立叶系数.证明思路: 设，对每一点，我们要证明. 即证明数学分

22、析3教案.方法是把该极限表达式化为积分, 利用RiemannLebesgue定理证明相应积分的极限为零. 施证方案: 1.      写出的简缩形式. 称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 即. 利用该表示式, 式可化为, 于是把问题归结为证明, 和 . 数学分析3教案这两式的证明是相同的, 只证第一式.  2.为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分, 利用该式把 表示为积分, 即把表示为Dirichlet积分 . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为. 3.利用所谓Riem

23、ann Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此, 先证明Bessel不等式(P78预备定理1 ), 再建立Riemann Lebesgue定理. 4. 把上式化为应用Riemann Lebesgue定理的形式, 即令 ，,数学分析3教案则 . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在. 预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式,其中，为的傅立叶系数. 证

24、 P78 . 推论1 ( Riemann Lebesgue定理 ) 若函数在区间上可积, 则有, .证 P79 . 推论2 若函数在区间上可积, 则有, . 证 P79. 预备定理2 若函数是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourier级数部分和有积分表示式数学分析3教案. 当时, 被积函数中的不定式由极限 来确定. Dirichlet积分: . 证 由三角公式 , . Dini定理的证明: P8182 .  数学分析3教案复习思考题、作业题：1 Fourier级数与三角级数的区别与联系.2 设可积函数的Fourier级数在区间上一致收敛于, 则

25、成立Parseval等式.下次课预习要点16.1 平面点集与多元函数实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.21 第 4 次课 授课章节第十六章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等

26、教育出版社1982年版教学目的与要求：1了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义2了解的完备性教学重点，难点：重点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义难点：掌握的完备性定理教学内容：§1 平面点集与多元函数在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数.但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数.例如，矩形的面积，描述了面积和长、宽这两个变量之间的函数关系.又如，烧热的铁块中每一点的温度与该点的位置之间有着确定的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标表示时，温度由这三个变量所确定.如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度还与时间有关，即的值由这四个

27、变量所确定.这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多了，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意.对于多元函数，我们将着重讨论二元函数.在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去.一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集.因此，在讨论二元函数之前，有必要了解有关平面点集的一些基本概念.一 平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）数学分析3教

28、案之后，所有有序实数对与平面上所有的点之间建立了一一对应.因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的.这种确定了坐标系的平面,成为坐标平面.坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集,并记作例如全平面上的点所组成的点集是 平面上以原点为中心，为半径的圆内所有的点的集合是而集合则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作.平面点集与分别称为为以点为中心的圆邻域与方邻域（图16-1）.由于点的任一圆邻域可以包含在点的某一方邻域之内（反之亦然），因此，通常用“点的邻域”或“点的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号或来表示，点的空心邻域是指或 并用记号或来表示

29、.下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一：(i) 内点若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的内点；的全体内点构成的集合成为的内部，记作. (ii) 外点若存在点的某邻域，使得,则称是点集的外点. (iii) 界点若在点的任何邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称是集合的界点.即对任何正数，恒有 数学分析3教案，其中是关于全平面的余集,的全体界点构成的边界，记作.的内点必定属于；的外点必定不属于；的界点可能属于，也可能不属于. 点与点集的上述关系是按“点在内或在外”来区分的.此外，还可按在点的近旁是否密集着中无穷多个点而构成另一类关系： (i)

30、 聚点若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称是的聚点，聚点本身可能属于，也可能不属于.(ii) 孤立点若点，但不是的聚点，即存在某一正数，使，则称点是的孤立点.显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.例 1 设平面点集. 满足的一切点都是的内点；满足的一切点是的界点，它们都属于；满足的一切点也是的界点，但它们都不属于；点集连同它外圆边界上的一切点都是的聚点.根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集. 开集若平面点集所属的每一点都是的内点（即 ），则称 为开集. 闭集若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集.若点集没有聚点，这时也

31、称为闭集.在前面列举的平面点集中，(2)所表示的点集是开集；(3)所表示的点集是闭集；(4)所表示的点集既非开集，有非闭集；而且(1)所表示的点集既是开集又是闭集.此外，还约定既是开集又是闭集.可以证明，在一切平面点集中，只有 与是既开又闭的点集.开域若非空开集具有连通性，即中任意两点之间都可用一条完全含于的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称为开域（或称连通开集）. 闭域开域连同其边界所成的点集称为闭域. 区域开域、闭域、或者开域连同其边界点所成的点集，统称为区域. 在上述诸例中，(2)是开域，(3)是闭域，(1)既是开域又是闭域. 又如虽然是开集，但因象限之间不具有连通性，

32、所以它不是开域，也不是区域.有界点集对于平面点集，若存在某一正数，使得，其中是坐标原点（也可以是其他固定点），则称是有界点集.否则就是无界点集.上述(2)、(3)、(4)都是有界点集，(1)、(5)则是无界点集.数学分析3教案为有界点集的另一个等价说法是：存在矩形区域. 点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集的直径，就是，其中表示与两点之间的距离，当的坐标分别为和时，则于是，当且仅当为有限值时是有界点集. 根据距离概念，读者不难证明如下的三角形不等式，即对上任何三点和，皆有二 上的完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到，它们同样是二元

33、函数极限理论的基础.为此，先给出平面点列的收敛性概念. 定义 1 设为平面点列,为一固定点.若对任给的正数，存在正整数，使得当时，有，则称点列收敛于点,记作 或 .在坐标平面中，以与分别表示与时，显然等价于.同样地，当以表示点与之距离时，也就等价于.由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理 16.1 (柯西准则) 平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数，使得当时，对一切正整数，都有 （6）证 必要性 设，则由三角不等式及点列收敛定义，对所给，存在正整数，当（也有）时，恒有数学分析3教案， 应用三角形不等式，立刻得到（6）式.充分性 当（6）式

34、成立时，则同时有这说明数列和都满足柯西收敛准则（定理 2.10），所以它们都收敛.设.从而由点列收敛概念推得收敛于点 （本节习题5）.定理 16.2 (闭域套定理) 设是中的闭域列，它满足；(i) (ii) 则存在惟一的点 证 任取点列由于,因此,从而有(图16-2)由定理16.1知道存在,使得 .任意取定，对任何正整数有再令，由于是闭域，从而必定是闭集(本节习题4).因此作为的聚点必定属于，即最后证明的惟一性.若还有则由得到即闭域套定理显然是中闭区间套定理(定理7.1)的直接推广.定理 16.3 (聚点定理) 设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点.证 现用闭域套定理来证明.由于是平面有界集

35、合，因此存在一个闭正方形包含它.连接正方形对边中点，把分成四个小的闭正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有中无限多个 点. 数学分析3教案记这个小闭正方形为 .再对正方形 如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个小闭正方形含有的无限多个点.如此下去得到一个闭正方形序列(图16-3)：容易看到这个闭正方形序列的边长随着趋向于无限而趋向于零.于是由闭域套定理，存在一点 现在证明 就是的聚点.任取的邻域，当充分大之后，正方形的边长可小于，即有.又由的取法知道中含有的无限多个点，这就表明是的聚点. 推论 有界无限点列必存在收敛子列. 证明可仿照中的相应命题(定理7.2推论) 定

36、理 16.4 (有限覆盖定理) 设 为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了(即),则在中必存在有限个开域 ，它们同样覆盖了(即). 本定理的证明与中的有限覆盖定理(定理7.3)相仿，在此从略.在更一般的情况下，可将定理16.4中的改设为有界闭集，而 为一族开集，此时定理结论依然成立. 数学分析3教案复习思考题、作业题： 1(1)(3)(5)(7) ，3下次课预习要点16.2 二元函数的极限实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.26 第 5 次课 授课章节第十六章第一节

37、 第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：（1）掌握二元及多元函数的定义（2）掌握二元函数的极限的定义（3）熟悉判别极限存在性的基本方法教学重点，难点：重点：二元函数的极限的定义难点：判别极限存在性的方法教学内容：三 二元函数 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系

38、.实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数. 定义 2 设平面点集，若按照某种对应法则，中每一点都有惟一确定的实数与之对应，则称为定义在上的二元函数(或称为到的一个映射)，记作 (7)且称为的定义域；所对应的为在点的函数值，记作或；全体函数值的集合为的值域，记作.通常还把的坐标与称为的自变量，而把称为因变量.在映射意义下，上述称为的象，称为的原象.当把和它对应的象数学分析3教案一起组成三维数组时，三维欧氏空间中的点集便是二元函数的图象.通常的图象是一空间曲面，的定义域便是该曲面在平面上的投影.为方便起见，由(7)式所确定的二元函数也记作 或 且当它的定义域不会被误解的情况下，也简单地说

39、“函数”或“函数” . 例 2 函数 的图象是中的一个平面，其定义域是，值域是. 例 3 函数 的定义域是平面上的单位圆域，值域为区间，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分(图16-4). 例 4 是定义在整个平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物面(图16-5). 例 5 是定义在上的函数，值域是全体非负整数，它的图形如图16-6所示. 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数，如例3中函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如例2、4、5中的函数. 四 元函数 所有个有序实数组的全体称为维向量空间，简称维空间，记作.其中每个有序实数组称为中的一个点；个实数是这个点的坐

40、标.设为中的点集，若有某个对应法则，使中每一点 ，都有惟一的一个实数与之对应，则称为定义在上的元函数(或称为到的一个映射)，记作 (8)也常把元函数简写成或 (9)对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数学分析3教案数的办法来处理多元函数中的许多问答；同时还可把二元函数的某些论断推广到 元函数.§2 二元函数的极限一 二元函数的极限 定义 1 设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某正数，使得当时，都有，则称当时，以为极限，记作 (1)在对于不致产生误解时，也可简单地写作当分别用坐标表示时

41、，式也常写作例 1 依定义验证 证 因为先限制在点的的方邻域内讨论，于是有所以数学分析3教案设为任给的正数，取，则当 时，就有. 例 2 设 证明 证 对函数的自变量作极坐标变换 ，这时等价于对于任何都有.由于因此，对任何，只须取，当时，不管取什么值都有即 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相似).读者可通过它们进一步认识定义1中“”所包含的意义. 定理 16.5 的充要条件是：对于的任一子集，只要是的聚点，就有 推论 1 设,是的聚点，若不存在，则 也不存在. 推论 2 设,是它们的聚点，若存在极限 ，但，则不存在.推论 3 极限存在的充要条

42、件是：对于中的任意满足条件 且的点列，它所对应的函数列都收敛.数学分析3教案下面两个例子是它们的应用.例 3 讨论 当时是否存在极限.解 当动点沿着直线而趋于定点时，由于此时 ， 因而有 这一结果说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在. 例 4 二元函数 如图167所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的都趋于零，但这并不表明此函数在时极限存在.因为当点沿抛物线趋于点时，将趋于，所以极限不存在. 数学分析3教案复习思考题、作业题：16.1 6 (2),8 (2)(4)(6)16.2 1 (1)(3)下次课预习要点16.2 二元函数的累次极限以及重极限与累次极

43、限的关系实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.28 第 6 次课 授课章节第十六章第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 掌握二元函数的

44、累次极限的定义(2) 了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法(3) 熟悉判别极限存在性的基本方法(4) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题教学重点，难点：重点：二元函数的累次极限的定义难点：重极限与累次极限的区别与联系教学内容：上一次课我们讲了当时， 极限存在的概念，接下来献给出当时，趋于(非正常极限)的定义. 定义 2 设为二元函数的定义域，是的一个聚点，若对任给正数，总存在点的一个邻域，使得当时，都有，则称当时，存在非正常极限，记作或仿此可类似定义： 与 数学分析3教案例 5 设 证明 证 因为 ，对任给正数，取，就有 由此推得 即

45、 这就证得结果（该函数在原点附近得图像参见图16-8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出.二 累次极限在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于.这种极限也称为重极限.在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限.定义 3 设是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义，若对每一个存在极限由于此极限一般与有关，因此记作而且进一步存在极限则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作或简记作 类似地可以定义先对后对的累次极限 数学分析3教案累次极限与重极限是两个不

46、同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系.下面三个例子将说明这一点. 例 6 设 由例3已经知道时的重极限不存在.但当时有从而有 同理可得 即的两个累次极限都存在而且相等.例 7 设 它关于原点的两个累次极限分别为与 当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同.因此该函数的重极限不存在(下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果). 例 8 设 它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何当时的第二项不存在极限.同理，对任何当时的第一项也不存在极限.但是由于故按定义1知道的重极限存在，且定理16.6 若在点存在极限与累次极限 ，则它们必相等.数学分析3教案证 设则对任给的正数，总存

47、在正数，使得当时，有 (2)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 (3)的，存在极限 (4)回到不等式(2),让其中，由(4)可得 (5)故由(3) ，(5)证得，即由这个定理可导出如下两个便于应用的推论. 推论 1 若累次极限，和重极限 都存在，则三者相等. 推论 2 若累次极限 与 存在但不相等，则重极限必不存在. 请注意，定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等.(本节习题3则给出较定理弱一些的充分条件.)但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2(5). 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存在性(如例7).数学分析3教案复习思考题、作业题：1(5), 2(2)(4)(6), 3下次课预习要点二元函数的连续性实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.9.30 第 7 次课 授课章节第十六章第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版