拉格朗日中值定理教学设计

1、教 学 设 计第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。二、教学重点与难点：1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石

2、牢固，大厦才能建的高。2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：类比学习，理解定理引出定理，探究案例知识回顾 课堂小结作业升华、理解新知六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数在的某领域内有定义，且在可导。若为的极值点，则必有。它的几何意义在于：若函数在可导，那么在该点的切线平行于轴。2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉

3、格朗日定理的预备定理罗尔定理。 定理6.1 (罗尔()中值定理) 若函数满足如下条件： (i)在闭区间上连续； (ii)在开区间内可导； (iii)，则在内至少存在一点，使得 . 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图61) 证 因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论： (1)若，则，在上必为常数，从而结论显然成立 (2)若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点由条件(ii)，在点处可导，故由费马定理推知 注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图62)。

4、 例1 设为R上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多有一个实根证 这可反证如下：倘若有两个实根和(设)，则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证3、类比学习，理解定理 定理6.2 (拉格朗日()中值定理) 若函数满足如下条件：在闭区间上连续； 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 . 显然，特别当时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形 证 作辅助函数 显然，且在上满足罗尔定理的另两个条件故存在 使 移项后即得到所要证明的（2）式。拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在

5、该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB，（如图63所示 ）。 定理的结论称为拉格朗日公式。4、升华、理解新知注解 Note 1.定理的几何意义：在上至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。Note 2.定理只论证了的存在性，不知道的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式： （3） （4） （5）值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论为何值，总可为小于1的某一正数。 例题讲解 例2 证明对一切成立不等式 。 证 设，则 当>0时，由

6、0<<1可推知 1<. 当1<<0时，由0<<l可推得 1>从而得到所要证明的结论。推论 推论1 若函数在区间上可导，且，则为上一个常量函数 证 任取两点 (设)，在区间上应用拉格朗日定理，存在，使得 这就证得在区间上任何两点之值相等 由推论1又可进一步得到如下结论：推论2 若函数和g均在区间上可导，且，则在区间上与只相差某一常数，即 (c为某一常数) 推论3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域U()内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且 . (6) 证 分别按左右导数来证明(6)式成立 (1) 任取，在上满足拉格朗日定理条件，则存在，使得 (7) 由于，因此当 时，随之有 ，对 (7)式两边取极限，得到 (2) 同理可得 因为存在，所以 从而 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数 例题讲解 例3 求分段函数 的导数。 解 首先易得 进一步考虑在 处的导数在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理由于 因此在处连续，又因 所