数学建模竞赛答案

1、输油管道的铺设设计符号约定m 炼油厂A到铁路线L的距离n 炼油厂B到铁路线L的距离b 炼油厂A、B间水平距离F 输送管道的总费用f 铺设管道的附加费用W 铺设费用的权重系数 A厂铺设非共用管线每千米的费用 B厂铺设非共用管线每千米的费用 共用管线每千米的费用问题一分析与模型建立最短路径的存在性论证 如图4.1，假设C点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在中，存在费尔马点P，使点P与三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有 PA+PB+PC<AC+BC 图4.1且时，费尔马点P在内部而当时，费尔马点P与C点重合。 为此有如下结论：当时，铺设公用管道的输送费用比不铺设公用管道费

2、用低；当时，不需要铺设公用管道，即公用管道=0。问题一分析与模型建立如图4.1，以炼油厂A、B间铁路线所在直线为轴，以过炼油厂A且垂直于铁路线L直线为轴，建立平面直角坐标系。设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米个单位（下同），根据实际意义易知。根据参考文献1，点P不可能在A的上方，故。易得，A点关于过点P平行于轴的直线的对称点（0，2t-m）。 由费尔马点的应用及平面几何对称性有 为此，得到铺设管道的最优模型 4-1问题一模型求解对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A、B的坐标不同的取值，进行A、B不同位置

3、时管道铺设设计。1公用管道与非公用管道费用不同，即时模型的求解已知A点关于对称点（0，2t-m）求一阶导数，令求解： 或（舍去）又可得： （1）如图4.2，在时，易判断，即为单调递减。图4.2此时，易得点P坐标为（0，m）, 即点P与点A重合时，最优管道铺设方案为折线BA-AC。亦即车站建在（0，0），费用最小，且。特别的，当b=0时，两个炼油厂同位于垂于铁路线的直线上，车站建在点（0，0）点，最优管道铺设方案如图4.3，且输送管道铺设费的最优解为。 图4.3（2）如图4.4,当 时，易判断在上单调递减,在上单调递增。 由可知的坐标为 图4.4 直线AB的方程为；直线y=t的方程联立方程组得：

4、 P的坐标点为（），最优管道铺设方案如图4.5所示。图4.5且。特别的，如图4.6所示，当m=n时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A、B所成的时，P点为（），车站建在点。图4.6最优管道铺设方案如图4.6所示，费用最小值为。（3）如图4.7，在时，易判断，即单调递增。此时的坐标为，直线B的方程为令y=0 得 图4.7 所以，点P的坐标为（，0）时，亦即车站建在（，0），且。特别的，如图4.8所示，当m=n时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A、B所成的时，车站建在点（，0）点。图4.82 公用管道与非公用管道费用相同，即时模型求解根据.1的结论，将代入有：（1）如图4

5、.2，在时，点P坐标为（0，m）, 即点P与点A重合时，最优管道铺设方案为图4.2折线BA-AC。亦即车站建在（0，0），且。特别的，当b=0时，两个炼油厂同位于垂于铁路线的直线上，车站建在点（0，0）点，最优管道铺设方案如图4.3，且输送管道铺设费的最优解为。（2）如图4.4,当 时，P的坐标点为（），车站建在（）时，费用最小，且。特别的，如图4.6所示，当m=n时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A、B所成的时，车站建在点（，0）点。最优管道铺设方案如上图4.6所示，且。（3）当时，如图4.7所示，由于不铺设公用管道，车站建设位置及最优铺设方案与图4.7相同。问题二求解 针对实

6、际问题，根据参考文献2,可根据层次分析法（AHP）可得 图4.11 依据图4.11建立目标层（资质评价），准则层和方案层关系，表4.1，城市管道铺设权重系数运算 4-5根据参考文献2，依中华人民共和国法令以及号令，对甲级资质和乙级资质公司各相关回来分析对比分析，有相关的数据表：表4.3公司资质数据表序号名称甲级乙级A1注册资金100万元50万元A2技术人员20人12人A3负责人工作年限15年10年A4专职专业技术经济职员12人8人根据工程装价咨询的性质，对于工程总价目标的重要性，用表4.3数值表示 表4.4元素标度规则1以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有同样重要3以上一层某

7、个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有稍微重要5以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有明显重要7以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有强烈重要根据表4.3建立一致正互反矩阵（逆称矩阵）运用MATLAB软件，求解矩阵A的权重w(具体编程运算见附件一)：W=(0.5966,0.1989,0.1193,0.0852)表4.5A1A2A3A4甲级100/15020/3215/2512/20乙级50/15012/3210/258/20如表4.4，运用模型4-5对甲级城市管道铺设权重系数 0.6447同理，乙级城市管道铺设权重系数 0.3553易判断=0.6447运用

8、4-4模型，铺设管道的附加费为 f=21.5243图4.15如图4.15，设x轴上有一点C使得中最大。构造圆的方法，来求解；因此，在图4.15的基础上，以AB为直径构造圆，如图4.16图4.16图4.16中,A(0,5),B(20，8)，可得圆方程： 4-6圆交于x轴于点D，E，运用模型4-6 解得C(2.2540,0),D(17.7460,0)X轴上线段CD以外的点与点A,B组成的均小于，如因此，若线段CD间存在最大角且小于120 ，则证明存在费尔马点；做CD的中垂线，连接AF,BF，可知CD间的最大角,证明如下：=同理，可得运用 =-0.395486故直线CD外存在费尔马点。图4.12方案

9、一，如图4.12，已知b=8 , a=5 , c=15 , l=20 ; 则可得A（0，5） ； B（20，8）根据问题一模型4-3的方案设计 已知， 由此可得点P坐标为（7.4019，0.7265）运用斜率式求解得直线的方程 又点F在直线，确定点F（15，5.1125）由两点间的距离公式得附加费的路径 5.7739 =23.8205方案一的相应铺设管道费用： *f+*7.2=295.78方案二，为了使铺设管道费用减少，在减少附加费用的基础上，来减少附加费用的路径，因此我们在区域I和区域II之间的分界线上引入一个拐点,如图4.13图4.13由图4.13，可知铺设管道费用的目标函数： 由lingo软件（步骤见附件二）运算得 282.8197对比方案一与方案二的铺设费用 295.78> 282.8197因此，方案设计如图4.14 图4.14则此时，最省的铺设费用为 282.8197问题3 根据已知条件，则可建立问题的线性规划数学模型： s.t. 利用LINGO软件求解（见附件3）得： 252.091