数学九年级教材下册变式题

1、九年级下册·课本亮题拾贝261 二次函数题目 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC + BD =10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？（人教课本P1810题）分析 阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（ACBD）和数量关系（AC + BD = 10）去表达四边形ABCD的面积解 设AC与BD相交于O，AC = x，则BD = 10x（0x10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积=因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为 戊点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，

2、所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x，则BD = 10x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量演变变式1 （图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC + BD = 10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状ABC(D)ABCDBACDBACDCABDO分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况）如下：DBACO甲 乙 丙 丁解 如图甲、乙、丙、丁，问题显然如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC

3、= x，则BD = 10x，（0x10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积S = SABDSCBD =因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为CABD说明：如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得：变式2 （关系变式）已知 x、y都是正数，如果和x + y是定值S，那么当x = y时，积xy有最大值这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）由x + y = S，得y = Sx，代入xy中有，xy = x（Sx）=x2 + Sx =，结论正确变式3 （问题推广）如图，四边形的

4、两条对角线AC、BD所成的角为a，AC + BD = m，问当AC、BD的长等于多少时，四边形ABCD的面积最大？DBACEFOa解 过A、C作AEBD，CFBD，E、F是垂足，则四边形ABCD的面积为 S = SABD + SCBD =BD·AE +BD·CF =BD（AE + CF）=BD（AO· sina + CO· sina）=BD（AO + CO）sina =BD·AC·sina， 当BD = AC =m时，S最大，为26.2 用函数观点看一元二次方程题目 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、

5、B（3，0），求这条抛物线的对称轴（人教课本P23 4题）解 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0）， 解得 抛物线的方程为y = ax22ax3a = a（x22x3）=a（x1）24a（a0），因此，所求抛物线的对称轴为x = 1另法 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0）， 抛物线的方程可设为y = a（x + 1）（x3），a0，即 y =a（x22x3）=a（x1）24a（a0），所以，抛物线的对称轴为x = 1法三 由于抛物线是关于对称轴对称的，且其对称轴x = h与x轴垂直， 对称轴必过点A（1，

6、0）、B（3，0）的中点，为h（1）= 3h，得点评 本题已知简洁，结论明了，似乎没有什么可挖掘或拓广的其实题目乃平中见奇，内涵丰富，不但解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还需分a0和a0讨论适当改变条件，可得出许多新颖的题目来（如变式4这种开放题）演变变式1 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D（1）若ABC是直角三角形，则a = ；（2）若ABD是直角三角形，则a = 解 在草稿纸上画出大致图象，可知（1）若ABC是直角三角形，则直角顶点只能是C， C（0，c），即C（0，3a），于是

7、（3a）2 = 1×3，解得a =±1（2）若ABD是直角三角形，则直角顶点只能是D， D（0，4a），于是由 2（4a）= 4，解得a =±变式2 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D问是否存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上？解 假设存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上，则圆心E必在抛物线的对称轴x = 1上，于是令E（1，m），则DE=m + 4a，AE=BE=，CE=由E到A、B、C、D的距离相等，得m + 4a=，经求解知，不存在非零常数a，使上式成立，因此表明，不

8、存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上变式3 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D若四边形ABDC的面积为2，求抛物线的解析式解 作出示意图，设对称轴与x轴的交点为E则 BDE的面积为EB·DE =×2×4a= 4a；AOC的面积为AO·CO =×1×3a=a；直角梯形OCDE的面积为（CO + DE）· OE =（3a+4a）· 1 =a；从而四边形ABDC的面积等于 4a+a+a= 9a= 18， a =±2因此，抛物线

9、的解析式为y = 2x24x6 或 y =2x2 + 4x + 6变式4 已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图，你能根据图象所提供的信息得出哪些结论呢？试一试-1Oyxx=13-1Oyxx=13-1Oyxx=13（1）（2009丽水）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a0 该函数的图象关于直线x = 1对称 当x =1或x = 3时，函数y的值都等于0其中正确结论的个数是（ ）BA3 B2 C1 D0（2）（2009南充）抛物线y = a（x + 1）（x3）（a0）的对称轴是直线（ ）AAx = 1 Bx =1 Cx

10、 =3 Dx = 3（3）（2009南宁）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象-3Oyx1如图所示，有下列四个结论： b0 c0 b24ac0 ab+c0 其中正确的个数有（ ）CA1个B2个 C3个 D4个（4）（2009宁夏）二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误的是（ ）DAc0 B2a + b = 0 Cb24ac0 Dab + c0（5）（2009庆阳）如图为二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象，给出下列说法： ab0 方程ax2 + bx + c = 0的根为x1 =1，x2

11、 = 3 a + b + c0 当x1时，y随x值的增大而增大 当y0时，1x3-1Oyxx=13其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）（6）（2009内江）如图所示，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，t），且t0，tanBAC = 3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y = k（x + 1）的一个交点 求抛物线的解析式； 对于动点Q（1，n），求PQ + QB的最小值； 若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求AMP的边AP上的高h的最大值（限于篇幅，解答略去，下同）OACBxy（7）（2009武汉）如图，抛物线y = ax2 + bx4a经过A（1

12、，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B 求抛物线的解析式； 已知点D（m，m + 1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； 在的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP = 45°，求点P的坐标（8）（2009安顺）如图，已知抛物线与x交于A（1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3） 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由OABExyDOACBxy1（9）（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（3，0）（0，3）

13、，过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点 求抛物线的解析式； 求当AD + CD最小时点D的坐标； 以点A为圆心，以AD为半径作A）证明：当AD + CD最小时，直线BD与A相切）写出直线BD与A相切时，D点的另一个坐标：_（10）（2009牡丹江）如图二次函数y = x2 + bx + c的图象经过A（1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C 试确定b、c的值； 过点C作CDx轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定MCD的形状（11）（2009十堰）如图，已知抛物线y = ax2 + bx + 3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点

14、C 求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由OBCAxyM 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标OBCAxy26.3 实际问题与二次函数题目 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（人教课本P25探究1）分析 调整价格包括涨价和降价两种情况看看涨价的情况

15、：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（30010x）件，销售额为（60 + x）（30010x）元，买进商品需要付40（30010x）元，因此所得利润y =（60 + x）（30010x）40（30010x）解 （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：y =（60 + x）（30010x）40（30010x），自变量x的取值范围是0x30 y =10x2 + 100x + 6000 =10（x5）2 + 6250，因此当x = 5时，y的最大值为6250（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：y =（60

16、x40）（300 + 20x），自变量x的取值范围是0x20 y =20x2 + 100x + 6000 =20（x2.5）2 + 6125，因此当x = 2.5时，y的最大值为6125（3）每件60元销售（即不涨不降），每星期可卖出300件，其利润y =（6040）×300 = 6000元综上所述，当商品卖价定位45元时，一周能获得最大利润6250点评 本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要采用分情况讨论，建立函数关系式，在每个不同情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，考查函数的性态（最大最小，变化情况，对称性，特殊点等）和图象，然后比较选择

17、，作出结论演变变式1 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支付20元的各种费用房间定位多少时，宾馆利润最大？（课本28页第6题）解 设每个房间每天的定价增加10x元，则有x个房间空闲，于是宾馆利润y =（180 + 10x）（50x）20（50x），其中0x50 y =10（x234x800）=10（x17）2 + 10890当x = 17时，y取得最大值10890元，即房价定为350元间时，宾馆利润最大变式2 （2008绵阳）青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修

18、建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建据测算，若每个房间的定价为60元天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元天时，就会有一个房间空闲度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元天·间（没住宿的不支出）问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？ 解 设每天的房价为60 + 5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30x个房间于是度假村的利润 y =（30x）（60 + 5x）20（30x），其中0x30 y =（30x）· 5 ·（8 + x）= 5（240 + 22xx2）=5（x11）2 + 1805因此，当x = 11时，y取得最大值

19、1805元，即每天房价定为115元间时，度假村的利润最大另法 设每天的房价为x元，利润y元满足=（60x210，是5的倍数）法三 设房价定为每间增加x元，利润y元满足=（0x150，是5的倍数）变式3 （2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润

20、恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解 （1）y =（21010x）（50 + x40）=10x2 + 110x + 2100（0x15且x为整数）（2）y =10（x5.5）2 + 2402.5， 当x = 5.5时，y有最大值2402.5 0x15，且x为整数，当x = 5或x = 6时，y = 2400（元） 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元（3）当 y = 2200时，10x2 + 110x + 2100 = 2200，解得x = 1或x = 10 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为22

21、00元当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）变式4 （2009黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1

22、、y2与x之间的函数关系式（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由解 （1）y1 = 100 + x，（2）y =（100 + x）（100），即 y =（x50）2 + 11250，因为提价前包房费总收入为100×100 = 10000当x = 50时，可获最大包房收入11250元，因为1125010000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元变式5 （2009烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均

23、每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？解 （1）根据题意，得，即（2）由题意，得，整理，得 x2300x + 20000 = 0解这个方程，得x1 = 100，x2 = 200要使百姓得到实惠，取x = 20

24、0，所以，每台冰箱应降价200元（3）=，当每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元变式6 （2009济宁）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？解 （1）（130100）×80 = 2400（元）（2）设应将售价定为x元，则销售利润=4x2 + 1000x60000 =4（x125）2 + 2500当x = 125时，y有最

25、大值2500， 应将售价定为125元，最大销售利润是2500元变式7 （2009滨州）某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图象27.1 图形的相似题目 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸再如此对折下去，得到的

26、矩形都相似吗？（人教课本P41 8题）解 设矩形纸片的较长边为a，较短边为b，则ab，且b沿较长边的中点对折，得到了两个矩形都和原来的矩形相似，从而有两个小矩形是全等的，和原来的矩形相似的比为:b = b:a，所以a:b =:1，为原来矩形的长宽比再折下去，得到的矩形都相似点评 矩形是有一个角为直角的平行四边形（长方形）它具有平行四边形的所有性质（它既然是特殊的平行四边形，那么它就应该有自己特有的性质）；矩形是轴对称图形，有2条对称轴（非正方形）；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分演变变式1 已知一个矩形长与宽的比为，如果将矩形沿较长边的中点对折，得到的两个全等的小矩形，那么它们

27、都和原来的矩形相似变式2 将一张矩形纸片沿过其中心的直线对折，得到两个图形（直角三角形或直角梯形）全等（相似，相似比等于1）说明 此种情况的折法不需要长宽比的限制变式3 （2009济宁）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）CA2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm2变式4 mnnn（2009山西）如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（mn）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）AA Bmn C D变式5 （2009济南）如图

28、，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（ D ）A1.6 B2.5 C3D3.4变式6 （2009凉山）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C 处，BC 交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ C ）AAD = BC BEBD =EDBCABECBD DBAECDCOBAECDABCDP甲乙丙丁变式7 （2009台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP:PC =AD:AB = 4:3下列对于矩形是否相似的判断，何者正确？（ ）AA甲、乙不相似 B甲、丁不相似C丙、乙相似 D丙、丁相

29、似变式8 （2009杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）BA只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有无数个变式9 xyxyyxxy（2009安徽）如图，将正方形沿图中虚线（其中xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求的值解 （1）说明：其它正确拼法可相应赋分（2）由拼图前后的面积相等得：，因为y0，整理，得 ，解得 （负值不合题意，舍去）另法 由拼成的矩形，可知，以下同解法一272 相似三角形CABD题目 如图，RtABC中，CD是斜边上的高，ACD和CB

30、D都和ABC相似吗？证明你的结论（课本49页练习第2题）分析 利用它们的对应角分别相等，证明它们相似证明 略点评 这个问题可以表述为：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三形相似，这也是直角三角形相似的常用判定方法该图形是平面几何中最基本的图形之一，称为母子三角形演变CABD变式1 如原题目和图形，求证：解 由 RtACDRtABCRtCBD 得AC2 = AD · AB，BC2 = BD · AB，CD2 = AD · BD， ，因此 变式2 如图，ABC中，CD是边AB上的高，且，求C的大小（课本P57页15题）解 由已知条件可得 RtACDRtCB

31、D，从而A与BCD互余，BCD与ACD互余，故 C = 90°PDCABO变式3 如图，CD是O的弦，AB是直径，CDAB，垂足为P，求证：PC2 = PA · PB（课本P72页8题）证明 连结AC，BC， AB是O的直径，CDAB， CPABPD，可得 ，从而 PC2 = PA · PB变式4 （2009牡丹江）如图，ABC中，CDAB于D，一定能确定ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）C 1 =A B +2 = 90° BC:AC:AB = 3:4:5 AC · BD = BC · AD21DACBA1 B2 C3 D4变式5

32、 （2009梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则等于（ ）DOECDAFBA B C D变式6 （2009山西）在RtABC中，ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）BA B C D2变式7 CEDOAB（2009呼和浩特）如图，AB是O的直径，点C在圆上，CDAB，DEBC，则图中与ABC相似的三角形的个数有（ ）AA4个 B3个 C2个 D1个变式8 （2009东营）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知AB = AC = 3，BC

33、= 4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 或2变式9 BAEDFC（2009长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABEDEF，AB = 6，AE = 9，DE = 2，求EF的长解 四边形ABCD是矩形，AB = 6， A =D = 90°，DC = AB = 6又 AE = 9， 在RtABE中，由勾股定理，得 BE = ABEDEF， ，即 ， 解得 EF =变式10 （2009常德）如图，ABC内接于O，AD是ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连接BE，ABE与ADC相似吗？请证明你的结论解 ABE 与ADC相似在ABE与

34、ADC中，CBEDOAE AE是O的直径， ABE = 90°， AD是ABC的边BC上的高， ADC = 90°， ABE =ADC又 同弧所对的圆周角相等， BEA =DCA， ABEADC变式11 （2009泰安）如图，ABC是直角三角形，ACB = 90°，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F（1）求证：FD2 = FB · FC；（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由GBEADCF证明 （1） E是RtACD斜边中点， DE = EA， A =ADE BDF =ADE， BDF =A FDC

35、=CDB +BDF = 90° +BDF，FBD =ACB +A = 90° +A， FDC =FBD F是公共角， FBDFDC， ， FD2 = FB · FC（2）GDEF DG是RtCDB斜边上的中线， DG = GC， CDG =DCG由（1）得 DCG =BDF， CDG =BDF CDG +BDG = 90°， BDG +BDF = 90°， DGEF27.3 位似2DABCCAOxyBD2题目 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（6，6），B（8，2），C（4，0），D（2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为的位似图

36、形分析 问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标根据位似图形的坐标规律性，点A的对应点A 的坐标为（6×，6×），即（3，3）类似的，可以确定其它顶点的坐标解 如图，利用位似图形中对应点的坐标的变化规律，分别取点A（3，3），B（4，1），C（2，0），D（1，2）依次连接点A、B、C、D，则四边形ABCD就是要求四边形ABCD的位似图形点评 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k演变变式1 试判断四边形ABCD的形状，并说明理由解 在平面直角坐标系中，作出四边形ABCD，知点A、B、C、D分别在四条直线y =

37、 6，x =8，y = 0，x =2所构成的一个正方形四边上，且对应排列，可知四边形ABCD是正方形，边长为，中心在（5，5）变式2 求四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积（答案：20平方单位和5平方单位）变式3 求四边形ABCD的对角线的交点坐标到原点的距离？解 四边形ABCD的对角线的交点的横坐标为5，纵坐标为3，于是它到原点的距离为变式4 试作出四边形ABCD关于原点、点（0，2）、x轴、直线y = x的对称图形（略）变式5 求过点B、C的一次函数的解析式 （答案：）变式6 求过点A、B、D的二次函数的解析式 （答案：）变式7 求过点D的反比例函数与线段BC的交点坐标（答案：（，

38、）变式8 （2009舟山）ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0）以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的象是ABC设点B的对应点B 的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）DA B C D变式9 （2009宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）AA8 B6 C4 D2281 锐角三角函数CAB5题目 在RtABC中，C = 90°，BC = 5，sinA = 0.7，求cosA、tanA的值（课本P85页8题）解 作出示意图，把已知和图形结合起来 C = 90&#

39、176;， ， 即 从而 ， ，点评 （1）解答直角三角形的边角关系题目时，首先要抓住在哪一个直角三角形中（为防止出借，常常要根据题意作出图形，并由图想式），然后联想锐角三角函数的定义，写出边角关系式；最后结合勾股定理、直角三角中锐角互余和已知条件求解在运算过程中，要注意因数分解、约分等策略，不要急着化简（2）根据锐角三角函数的定义，可知sin2A + cos2A = 1，据此可立得结论所以本题在锐角三角形前提下，已知条件C = 90°，BC = 5是多余的演变变式1 在RtABC中，C = 90°，BC = 5，sinA = 0.7，解这个直角三角形（见上）变式2 已知A

40、BC是锐角三角形，且sinA = 0.7，求cosA、tanA的值ED1CAB解 画出满足sinA = 0.7一个ABC（示意图），在AB上取AD = 1，过D作DEAC于E，则在RtADE中，得 DE = AD sinA = 0.7， ，因此 ，变式3 （2009湖州）在RtABC中，ACB = Rt，BC = 1，AB = 2，则下列结论正确的是（ ）DAB C D变式4 （2009益阳）先锋村准备在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）BA B C D变式5 （2009温州）ABC中，C = 90°，AB = 8，cosA

41、 =，则AC的长是 628.2 解直角三角形题目 多年来，很多船只、飞机都在大西洋的一个区域内神秘失踪，这个区域称为百慕大三角根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（精确到100 km2，sin64° = 0.8988，cos64° = 0.4384）（课本97页第10题）分析 解决这个问题的难点在于如何构造直角三角形结合文字和图形，理解、区分 “百慕大岛”与“百慕大三角”，弄清楚方位角的大小和关联解 由图中所标的有关数据，可知，AB = 1700，AC = 2720，ÐA = 62° + 54° = 116°，延长CA

42、，过B作BDCA，D为垂足，则 ÐBAD = 180°116° = 64°在RtABD中，BD = AB sinÐBAD，ABCD 百慕大三角ABC的面积= SBCDSBAD=ABCE=（km2）另法 同上法，延长BA，过C作CEBA于E，则 =ABCGF法三 过A作FG直于南北走向线（如图），则在RtABG中，AB = 1700，AC = 2720，ÐABG = 62°，所以 AG = AB = sin 62°，BG = AB cos 62°同理，AF = AC sin 54°，CF = AC

43、 cos 54°于是百慕大三角ABC的面积 S = S直角梯形BCFGSRtABGSRtACF=（km2）点评 利用解直角三角形的知识解决实际问题的基本思路为：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题（常常需要作垂线），选用锐角三角函数解有关量，得出答案（注意验证）演变BACDacb变式1 如图，ABC的面积为 ，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半解 作三角形的高BD在RtBDA中，则 BD = AB sinA ， 同理，变式2 ABC中，已知两边AC = b，BC = a和夹角C，试用a、b、C来表示AB2解 过B作BDAC，垂足为D，则D在AC或其延长线上不妨设D

44、在AC上BACDab在RtBCD中，有 BD = a sinC，CD = a cosC， AD = ba cosC在RtABD中，由勾股定理，得 AB2 = AD2 + BD2， AB2 =（ba cosC）2 +（a sinC）2 = b2 + a2（cos2C + sin2C）2ab cosC= a2 + b22ab cosC变式3 （2009宁波）在坡屋顶的设计图中，AB = AC，屋顶的宽度为10米，坡角a 这35°，则坡屋顶的高度h为 米3.5变式4 （2009成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测CBDA量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度（计算过程和结果均不取近似值）（答案：30 + 30）60°北东CDAEBl76°变式5 （2009江苏）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2 km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10 km处现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5 min后该轮船行至点北东A的正北方向的D处