数列极限归纳法

1、上海文2.计算=23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；（2）数列中有多少项不是数列中的项？请说明理由；（3）求数列的前项和.23、解： 三项分别为。 分别为 ， 。四川理8数列的首项为3，为等差数列且，若则，则（A）0 （B）3 （C）8 （D）11答案：B解析：为等差数列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，选B11定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则（A）3 （B） （C）2 （D）答案：D解析：，当时，当时

2、，；当时，；当时，则，选D20（本小题共12分）设d为非零实数，（）（）写出a1，a2,，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；（）设bn=ndan（），求数列bn的前n项和Sn本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力，分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想解：（）由已知可得，当，时，因此由此可见，当时，故an是以为首项，为公比的等比数列；当时，（），an不是等比数列（）由（）可知，从而，当时，当时，两边同乘以得，式相减可得：化简即得综上，四川文9数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n 1），则a6=（A）3 × 4

3、4 （B）3 × 44+1 （C）44 （D）44+1答案：A解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn1（n 2），相减得an+1an =3(SnSn1)= 3an，则an+1=4an（n 2），a1=1，a2=3，则a6= a2·44=3×44，选A20（本小题共12分）已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和（）当、成等差数列时，求q的值；（）当、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、也成等差数列本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力解：（）由已知，因此，当、成等差数列时，可得化简得解得（）若，则的每项

4、，此时、显然成等差数列若，由、成等差数列可得，即整理得因此，所以，、也成等差数列天津理6已知是首项为的等比数列，是的前项和，且则的前项和为（）或或【解】设数列的公比为，由可知于是又，于是，即，因为，则数列的首项为，公比为，则前项和故选22（本小题满分分）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为（）若，证明成等比数列；（）若对任意，成等比数列，其公比为() 设,证明是等差数列;() 若,证明.【解】（）解法1由题设可得，所以因为，所以从而由成等差数列，其公差为得于是因此，所以，于是当时，对任意， 成等比数列解法2用数学归纳法(1) 当时，因为成公差为的等差数列，及，则当时，因为成公差为的等差数列

5、，及，则由，所以成等比数列所以当时，结论成立；(2) 假设对于结论成立，即成公差为等差数列，成等比数列，设，则，又由题设成公差为等差数列，则，因此，解得于是，再由题设成公差为等差数列，及，则因为，所以，于是成等比数列于是对结论成立，由(1)，(2)，对对任意,结论成立（）()证法1由成等差数列，成等比数列,则 ,即因为,可知,从而，即，所以是等差数列，且公差为证法2由题设,所以.因为,可知,于是所以是等差数列，且公差为() 证法1由（）得解法1和解法2均可得从而，因此，(1) 当为偶数时，设若，则，满足；若，则所以，所以，(2) 当为奇数时，设所以，所以，由(1)，(2)可知，对任意，证法2由

6、（）得解法1和解法2均可得从而所以，由，可得于是由（）知，以下同证法天津文15设是等比数列，公比，为的前项和记，设为数列的最大项，则【解】设，则，因为函数在时，取得最小值，所以在时取得最大值此时，解得即为数列的最大项，则22（本小题满分分）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为（）证明成等比数列；（）求数列 的通项公式；（）记证明【解】（）由题设可知， ，所以因此成等比数列（）由题设可得，所以=因为，所以从而由成等差数列，其公差为得所以，数列 的通项公式为（或（）由（）可知，下面对分为奇数和偶数讨论(1) 当为偶数时，设若，则，满足；若，则所以，所以，(2) 当为奇数时，设所以，所以，由(1

7、)，(2)可知，对任意，浙江理19（本小题满分14分）已知数列满足：且（）（）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）证明：（）。19（本小题满分14分）（）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即故 即数列为等比数列， 3分， 7分（）由上知 8分。浙江文（17）若数列中的最大项是第项，则=_。4（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小（19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。（）解：设等差数列的公差为，由题意可知即，从而因为 故通项公式（）解：记所以从而，当时，；当重庆理（3）已知，则 D（A） (B) 2 (C) 3 (D) 6（11）在等差数列中，则_ 74（21）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）设实数数列的前项和，满足（）若成等比数列，求和；（）求证：对有解：（）由题意，因为所以；由；（）易见，所以；从而时有：因为，且，所以；要证，只要证，即证此式显然成立，所以时有。最后证，若不然，又，故即，矛盾，所以（）。重