微积分基本思想

1、第三章 微积分基本思想教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 §3.1 导数的概念 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。教

2、学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、问题提出：导数的背景. 背景：运动的瞬时速度；曲线的切线.二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义 设在)(0xU有定义，在自变量的改变量是，相应函数的改变量是)()()()(000xfxxfxfxfy-D+=-=D，若存在，称函数在可导，此极限称

3、为函数在的导数（或微商）。表为或。即。若此极限不存在，称函数在不可导。例1 求 例2 设函数 在点 可导, 求极限 2.单侧导数: 定义 若（）存在，称函数在右可导（左可导），极限称为右导数（左导数），记为（），有时也记为（）。 易见，在可导等价于在左、右可导都存在且相等。例3  考查 在点的可导情况.3.导数的几何意义:   可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4  求曲线 在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系: 定理 若在可导，则必在连续。反之不成立，例如在连续，但不可导。5.导函数: 定义 若函数在区间I的每一点都可导，则称函数

4、在区间I可导，称为在I的导函数，简称导数，记为或或。函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.   例5 求的导数。例6 求的导数。例7 求的导数。例8 求的导数。例9 设，求。注意: 等具体函数的导函数不能记为 应记为 练习P124 2 3 4 5 8 10 作业P124 7 9 §3.2 导数的性质教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点

5、：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法： 以问题教学法为主，结合课堂练习。一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课. 二、讲授新课： （一）.可导与连续的关系 定理2.1 如果函数在点处可导，则必连续.证:(略) 定理2.1的逆定理不成立。即连续不一定可导。如：.（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“”和“”)定理2.2 若函数与在可导，则函数在可导，且.例1 求 定理2.3若函数与在可导，则函数在可导，且。应用归纳法可将定理2推广到任意有限个函数乘积的导数。推论：若函数在都可导，则可导，且

6、。特别到常数与函数乘积的导数等于常数乘函数的导数。例2 求 ( 定理2.4若函数与在可导，且，则函数在可导，且。例3 求 例4 求正切函数与余切函数的导数。例5 求正割函数与余割函数的导数。例6 证明: .例7 求曲线 在点 处的切线方程.  练习P130 1（1,3,5,7,9） 2 3 5 作业P131 4 6§3.3 微分及其性质 重点与难点：微分定义及几何意义。基本内容：1、微分定义；2、微分的运算法则和公式；3、微分在近似计算上的应用。基本要求：1、掌握微分定义及几何意义；2、掌握微分与导数的异同及其不同功用；3、会求函数的微分。基本方法：求函数微分的方法。课时分

7、配：2学时。一、微分的概念定义 若函数在的改变量与自变量的改变量有如下关系，其中是与无关的常数，称函数在可微，称为函数在的微分，记为。也称为线性主部。例1 设，求定理3.1 函数在可微函数在可导。二、微分的运算法则和公式已知可导和可微是等价的，且。从而有：若函数与可微，则1. ，其中为常数；2. ；3. ；4. 求微分公式：1. ，其中c是常数。2. ，其中是常数；。3. ；4. ；5. ；6. ；。三、微分在近似计算上的应用1.  建立近似公式: 原理: 即 特别当 时, 有近似公式 具体的近似公式如: 等. 2. 作近似计算: 原理: 例2  求 和 的近似值

8、.例3 求 的近似值. 3估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： 例4 设已测得一根圆轴的直径为 ，并知在测量中绝对误差不超过 . 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 4. 求速度: 原理: 例5 球半径以的速度匀速增大.求时,球体积增大的速度. 练习P136 2 (1,3,5) 3(2,4) 5（1，3，5）作业P136 2(2,4) 3(1,3)  §3.4 定积分的概念 教学目的：1、定积分的实际背景和问题的提出；2、定积分概念的数学抽象及定积分定义；3、可积的必要条件。教学要求：了解定积分的背景及思想，基本掌握定积分的定义，掌握定积分的必

9、要条件。教学重点：定积分的定义及可积的必要条件。教学难点：定积分的定义及思想、定积分定义中的任意性。教学方法：极限的方法。课时分配：一、实例1、曲边梯形的面积2、物体运动的路程二、定积分的概念定义 设函数在有定义，在中插入个分点，此分法表为，分法将区间分成个小区间，第个区间的长度表为，作和式，称为在上的积分和或黎曼和，记。定义  设函数在有定义，任给的分法和一组，有积分和，若当时，积分和存在极限，设且与及无关，则称在可积，称为在的定积分，记做。定理4.1 若在可积，则在有界。注：有界是可积的必要条件而非充分条件。例如函数，则有界而不可积。定理4.2 若函数在闭区间a,b上连续，则在a

10、,b上可积.定理4.3若函数在闭区间a,b上有界，且只有有限个或可列多个间断点，则在a,b上可积.定理4.4若函数是闭区间a,b上单调函数，则必可积.例 计算定积分.练习P145 1 2 4§3.5 定积分的性质教学目的：1、定积分的性质（定积分的线性性、两种可加性，即关于区间的可加性和关于函数的可加性，积分不等式）及其证明； 2、积分中值定理（第一积分中值定理及其推广）及其证明。教学要求：基本上掌握定积分的性质及积分中值定理并能运用它们证明一些命题。教学重点：定积分的性质、积分中值定理及其它们的应用。教学难点：定积分的性质、积分中值定理的证明及其它们的应用。教学方法：应用积分的性质

11、和积分中值定理证明一些问题的方法。课时分配：一、定积分的性质规定：当时，有，当时，有。定理5.1 若，有（常数），则在可积，且。定理5.2 若在可积，则在也可积，且定理5.3  若在闭区间可积，则在闭区间也可积，且推论1 若个函数在闭区间可积，则在闭区间也可积，且定理5.4 若在闭区间可积，则在闭区间也可积，且。推论2 若在闭区间可积，则在闭区间也可积，且。定理5.5 若在闭区间可积，且，则。推论3 若在闭区间可积，则。定理5.6 若在闭区间可积，则在闭区间可积，且。推论4若在闭区间可积，且，则。例 证明 证明（略）。二、积分中值定理定理5.7 若在闭区间连续，则，有。练习P149

12、1 2 作业P149 2 3(1,2)§3.6 微积分基本定理教学目的：掌握微分与积分基本关系，能使用牛顿莱布尼兹公式；教学要求：基本上掌握牛顿-莱布尼兹公式；并能运用它们证明一些命题。教学重点：牛顿-莱布尼兹公式及其它们的应用。教学难点：微分与积分的互逆运算。教学方法：讲练课时分配：一、 微积分基本定理实例:速度与路程关系分析 定义：设，在区间I上有定义，如果那麽就称是在区间I上的原函数。 定理6.1（微积分基本定理） 设函数在闭区间a,b上的连续函数，是在区间I上的原函数，那么也称为牛顿-莱布尼兹公式。记作：例1 求例2求定积分二、 原函数的存在性定理6.2 如果函数在闭区间a,

13、b上的连续，那么在闭区间a,b上的原函数是练习P154 1 2 3 作业P155 3 4 三、习题讲解 （一）. 可导条件:例1 设在点 的某邻域内有 证明 在点 可导.例2 设函数 在点 可导, 则 在点不可导. 例3 设函数 定义在区间 内, 试证明: 在点 可导的充要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适合条件 并有  证 设 存在, 定义 易验证函数 在点 连续, 且 设 又 在点 连续. 则有 即 存在且 （二）. 求导数或求切线: 例4 求 和 （三）曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.   例5 设 确定 、 和 的值，使函数 在点 可导. )  （四）. 奇、偶函数和周期函数的导函数：  例6 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例7 设 是偶函数且在点 可导, 则 .证 即 由