数学建模论文奶牛场问题

1、奶牛场计划摘要本文是对农场生产计划进行最优化建模，首先要求制订未来五年的生产计划, 计划应贷款的金额、应卖的小母牛、以及用来种植粮食的土地，使成本降到最低。其中农场的收入包含卖牛的收入，卖牛奶的收入，和卖粮食甜菜的收入（当粮食和甜菜充足的情况下），农场的支出包括劳动力的消费，买牛的费用，承包农场的费用，以及购买粮食甜菜的费用（当粮食和甜菜不足的情况下）。通过迭代计算可以把本模型简化成一个收入和支出的关系表达式，将银行贷款利息结合到收支上，建立一个非线性规划模型，同时考虑到粮食的充和不足情况，运用0-1规划方法解决建模问题。最后我们利用LINGO编程得到最终结果。关键词：收入 支出 迭代计算 0

2、-1规划 LINGO一、 问题重述1.1问题背景某公司计划承包有200亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进行奶牛养殖经营。由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产经营。现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公司盈利最大。1.2相关信息开始承包时农场有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖300元；另一半为母牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖400元，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖1200元。现在有20头

3、幼牛， 0岁和1岁 各10头；100头产奶牛，从2岁至11岁，每一年龄的都有10头。应该卖掉的小母牛都已卖掉。所有20头是要饲养成产奶牛的。 一头牛所产的奶提供年收入3700元。现在农场最多只能养130头牛。超过此数每多养一头，要投资2000元。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每亩产甜菜1.5吨。只有80亩的土地适于种粮食，产量平均0.9吨。从市场购粮食每吨900元，卖出750元。买甜菜每吨700元，卖出500元。 养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一亩粮食每年需20

4、小时；种一亩甜菜每年需30小时。 其它费用：每头幼牛每年500元，产奶牛每头每年1000元；种粮食每亩每年150元，种甜菜每亩每年100元。劳动力成本为每小时费用为10元。 承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年6万元（每年底付清），另一部分用于支付开始承包时农场已有的120头牛的费用。平均产奶牛每头4000元，小牛每头400元，到承包结束时，农场的牛按此价折价抵卖。 任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为12%，每年偿还本息总共的1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。1.3待解决的问题（1）试分析承包人

5、有无盈利的可能性。若有，应如何安排5年的生产，使得五年的净收益为最大？ （2）更进一步讨论，若遇到银行利率波动（例如上下波动2个百分点），还贷方式改变（如规定每年还息，改变还本的方式），由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等将会对你的五年生产计划及收益产生怎样的影响。二、题设分析2.1问题分析问题一的分析表1开始承包时每个年龄的奶牛以及承包费用表牛种幼牛产奶牛岁数01234567891011牛数101010101010101010101010承包费用400元/头4000元/头表2每年养牛所需费用表牛种幼牛产奶牛费用粮食0.6*2/30.6吨/头甜菜0.7*2/3

6、0.7吨/头劳动力100元/头420元/头其他500元/头1000元/头表3粮食甜菜清单种植产量劳动力费用其他费用购入价格卖出价格土地数粮食0.9吨/亩200元/亩150元/亩900元/吨750元/吨080亩甜菜1.5吨/亩300元/亩100元/亩700元/吨500元/吨0200亩本题要求分析农场主5年后能否盈利，并制定5年的生产计划设法使净收益最大，我们认为这是一个研究资源的合理配置和优化问题。农场投资最少收益为最大，要合理生产计划，减少不必要的成本。 1. 由题意可知，第四年和第五年产出的小牛到第五年末都不可以产奶，所以第四年第五年不饲养刚出生的小奶牛，全部饲养产奶牛盈利最大。 2.种粮食

7、和甜菜均有利可图，种粮食平均盈利比种甜菜平均盈利大，故可以先满足粮食产量再考虑甜菜的产量。 问题二的分析1.使用穷举法求解，先不考虑贷款及还款做出最优解，然后通过每年运营所需费用以及贷款所需费用计算出贷款金额。2.贷款问题 任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为10%，每年偿还本息总共的1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。3. 劳动力市场的价格变化可能对不同的牛（12岁母牛，0岁母牛）的养殖数目，种植饲料的亩数，以及间接地对贷款额造成一定影响。此题我们将结合模型中利率，农产品产量和价格，及劳动力价格这几个变量来进行分

8、析。三、模型假设3.1 问题一中的假设方法一的假设：假设一：年初幼牛出生，年末损失。小牛刚出生就卖掉，即刚出生的小牛无损失，12岁的老母牛在年末被卖掉。假设二：假设年初的奶牛消耗食物，也就是说即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假设三：先收益再还贷款钱，而且固定资产如：地皮钱，第一年买的牛的钱，种地钱，养牛的固定费用等这些消费设在年初，种地和养奶牛劳动力时长消费统一设在年末。假设四： 第五年末的老牛将以一定折扣1200元/头卖出。方法二的假设：假设一：年初幼牛出生，年末损失。小牛刚出生就卖掉，即刚出生的小牛无损失，12岁的老母牛在年末被卖掉。假设二：粮食是在每年末才能成熟并收割，第一年的牛的全部

9、饲料都从市场上购买，以后每年的牛吃上一年种的粮食，不够的再到市场上购买。假设三：不考虑价格指数CPI。3.2 问题二中的假设1.银行按照复利计息，即农场每年归还1/5(1+r)5M2.银行贷款利率稳定。3.每年等额还款。四、符号说明方法一的符号说明 为0-1变量 为判断系数 为第i年生育的母牛留下来数量 为第i年年初幼牛数量 为第i年年初奶牛数量 为第i年年末幼牛数量 为第i年年末奶牛数量 为第i年幼牛消耗粮食量 为第i年幼牛消耗甜菜量 为第i年奶牛消耗粮食量 为第i年奶牛消耗甜菜量 为第i年种植粮食吨数为第i年种植甜菜吨数 为第i年种植粮食亩数（甜菜为200-） 为第i年总消费 为第i年的固

10、定投资 为第i年养牛固定费用 为第i年种地固定消费为第i年种地劳动力时长消费为第i年养奶牛劳动力时长消费为第i年年末还款数额 为第i年总收益 为第i年种地总收益卖幼牛和奶牛收益奶牛产奶收益 为第i年净利润 为五年内的总利润 贷款总额 五年内应还总钱数（也就是本息） 第i年年初贷款剩余钱五、模型的建立及求解51问题一的求解5.1.1 模型准备（1）运筹学0-1规划只取0或1的变量，称为0-1变量，若纯整数规划决策的变量都是0-1变量，则称为0-1规划。在讨论线性规划时，如果研究对象可以归结为互相对立的两种可能情况，那么引入0-1变量，就能够将它进一步化成0-1规划。数学模型为0-1规划的标准型：

11、 如果0-1规划模型不是标准型，总可以通过适当变换，使其化为标准型。方法一5.1.2.1模型的建立设每年出生留下来的小母牛为，每年年初所饲养的小母牛，成熟奶牛，可分别表示为=20+=100=+0.95(10+)=100.95+900.98 =97.7=0.95+=0.90+ 95.14=0.95=0=用表格可表示为：年初奶牛分布表（单位：头）年龄0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第一年初10+L110.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 第二年初L20.95(10+L1)9.50 9.8

12、0 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 第三年初L30.95L20.952(10+L1)9.31 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 第四年初0.00 0.95L30.952L20.93(10+L1)9.12 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 第五年初0.00 0.00 0.952L30.953L20.954(10+L1)8.94 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 根据农场主的想法我们知道要保持每年养的数量保持在（60210）即满足 接下来我们计

13、算卖掉的幼牛与奶牛的数量我们记为第i年卖的幼公牛数量，我们记为第i年卖的幼母牛数量我们记为第i年末卖的奶牛数量则有如下关系： =0.55=-于是我们就可以求出第i年卖奶牛收益：=300+400+1200（1）我们知道幼牛与奶牛的分布，可以求出每年需要的粮食和甜菜数量= = （2）（3）已知需求的食物量，我们还想知道我们种植的粮食是否够吃，当然不管是否够吃我们都会把地种完，根据前面假设 为第i年种植粮食亩数，故甜菜亩数为200-。于是可以求出每年产的食物量分别为：（粮食）=0.9，<=80（甜菜）=1.5（200-）接下来求种地的固定消费 种地劳动力时长消费 我们接下来把其他消费也求出来第

14、i年的固定投资为 第i年养牛固定费用为 第i年养奶牛劳动力时长消费 第i年年末需要偿还贷款数额为 接下来我们求第i年的总消费，但是有一件事我们需要先提前声明，由于农场场地的限制，我们在养的数量超过130头时，要额外投资2000元，知道了这一点，我们需要引入运筹学中的01变量，具体做法如下： 接下来我们计算收益，先计算奶牛产奶收益，我们前面求出年初的幼牛和奶牛的分布，根据实际情况可以知道，每年年末产奶的奶牛数量与每年年初的奶牛数量相同，因为年末的幼牛虽然有部分达到了2岁，可是还没有开始产奶，所以根据分析我们可以求出产奶收益为 上面我们已经把卖幼牛和奶牛的收益求出来了，也求出来了产奶收益，我们接下

15、来分析最后一种收益，也就是第i年种地总收益。我们由于事先不完全知道每年年初养的具体的奶牛和幼牛数量，所以我们不知道种的食物是否够用，如果够用我们可以把多余的卖掉，也就是收益，如果不够，我们需要购买，原则上属于消费部分，我们只需要加上负号就可以了，也就是负收益。此时也很复杂，我们同样引入0-1变量，具体做法如下： （此时 ）所有收益均以求出，我们算第i年总收益： 每年年收益以及消费求出之后，我们求出第i年净利润表达式为：而我们文中最后说到消费的所有资金是从银行借贷，利率为r=12%，作为农场主我们肯定希望借的越少越好，也就是说如果我们第一年利润已经足够偿还，我们可以不进行借贷.我们通过前面的分析

16、已经写出第i年的净利润的表达式，但我们不知道净利润具体为多少，所以我们需要根据这些表达式进行一些处理，具体做法如下： 可以这样理解，前i年通常情况下为负收益，故贷款数额应该保证把这些负收益足够抵消，根据假设三，我们也不难理解第二个式子。上面的式子用到了 ，而且题中也给出了贷款利率，还款方式，我们在前面也已经假设了贷款数额，所以接下来我们很容易把文中的最后一个贷款问题分析出来，具体如下： 模型的求解第一问已经全部分析完毕，由于变量和等式很多，而且此问题属于最优化问题，并且第二问是敏感度问题，为了是模型简单明了化，我们做出如下假设：假设一：假设奶牛每年年初出生，年末卖掉老奶牛，并且损失率都发生在年

17、末假设二：假设年初的奶牛消耗食物，也就是说即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假设三：先收益再还贷款钱，而且固定资产如：地皮钱，第一年买的牛的钱，种地钱，养牛的固定费用等这些消费设在年初，种地和养奶牛劳动力时长消费统一设在年末我们选择利用lingo软件求解，具体做法见附录，这里我们只给出lingo运行结果如下： 5.1.3方法二.1模型的建立（一）目标函数： ，（二）约束条件： 设贷款总额M，卖掉的0岁母牛的头数 ，卖掉的粮食吨数，卖掉的甜菜吨数买入的粮食吨数Wmj，买入的甜菜吨数Wej，六个变量作为决策变量，并用(W3j+1+WsjWmj)/O1 表示种植粮食的土地面积S1j，用(Wsj+W4

18、j+1Wej)/O2表示种植甜菜的土地面积S2j，则（1）14年末收益：卖奶收益Wkj=F1j*3700 卖牛收益 Wcj=Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400 卖粮食和甜菜的收益Wqj=Wrj*Pr1+Wsj*Ps1总收益Wj=Wkj+Wcj+Wqj= F1j*3700+ Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400+ Wrj*750+Wsj*50014年末花费：劳动力花费 Clj=(F1j*42+F2j*10+S1j*20+S2j*30)*P1 养牛花费Csj= F1j *1000+ F2j *500+Wmj*

19、Pr2+Wej*Ps2 地租 Rsj=60000+S1j*150+S2j*100 贷款本利和Cbj = 1/5M*(1+r)5 r=12%(年利率) 超过130头年的额外投资 第一年超过130头牛的额外投资 总花费注：W3j = (F1j + F2j *2/3)*0.6，W4j =（F1j + F2j *2/3）*0.7) （2）第五年净收益 （211岁成年母牛总数）， （12岁母牛总数） 是卖的0岁公牛总数 N1(Am=0)=55,N1(Af=12)=9.8.2模型的求解将已知数代入LINGO解得结果如下：Global optimal solution found. Objective va

20、lue: 324122.3 Objective bound: 324122.3 Infeasibilities: 0.2546585E-10 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 24 Variable Value Reduced Cost Z1 6815.184 0.000000 Z2 4582.757 0.000000 Z3 199.7376 0.000000 Z4 226131.4 0.000000 Z5 235050.0 0.000000 Z6 572320.0 0.000000 S1 410546.6 0.000000 X

21、1 100.0000 0.000000 X2 98.00000 0.000000 X3 102.0000 730.5750 R1 47.75457 0.000000 X4 125.0000 -242.3823 R2 15.72613 0.000000 X5 146.0000 -2743.061 R3 19.84107 0.000000 X6 174.0394 0.000000 R4 34.44598 0.000000 Y1 27.24543 0.000000 S2 392002.5 0.000000 Y2 54.55703 0.000000 S3 413261.0 0.000000 Y3 72

22、.52411 0.000000 S4 316200.0 0.000000 Y4 0.000000 1360.000 S5 361360.0 0.000000 Y5 0.000000 0.000000 R5 80.30000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 324122.3 1.000000 2 0.000000 -9710.240 3 0.000000 9839.288 4 0.000000 7871.723 5 0.000000 4733.518 6 0.000000 3301.939 7 0.000000 0.000000 8 0.00

23、0000 -1.762342 9 0.000000 -1.000000 10 0.000000 -1.000000 11 0.000000 -1.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 1.000000 14 0.000000 1.000000 15 0.000000 1.000000 16 0.000000 1.000000 17 0.000000 1.000000 18 0.000000 1.000000 19 47.75457 0.000000 20 15.72613 0.000000 21 19.84107 0.000000 22 7.2454

24、29 0.000000 23 38.17387 0.000000 24 36.25893 0.000000 25 34.30402 0.000000 26 0.000000 400.0000 27 0.000000 -2267.546 28 0.000000 -960.0000 29 0.000000 -960.0000 30 0.000000 400.0000 31 0.000000 -960.0000 32 124.0394 0.000000 33 0.9606225 0.000000截图如下绘制成表格如下：年份年初产奶牛头数年初卖出的幼年母牛年初卖出后剩余的幼母牛数年初牛总数卖出的12岁

25、母牛头数年初卖牛后超过130头的牛的数目年末支出的费用当年一年的年末净利润第一年10048271279.80410546.66815.184第二年9816541329.62392002.54582.757第三年10220731759.445413261199.7376第四年1253401259.20316200226131.4第五年146800146016361360235050六、模型评价模型优点模型缺点模型改进七、参考文件1谢金星 薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005年。2 杜栋 庞庆华， 现代综合评价方法与案例精选，清华大学出版社。八、附录附录一Li

26、ngo程序如下：model:max=z1+z2+z3+z4+z5+Z6-100*4000-20*400-(1+0.12)5-1)*s1;x1=100;x2=x1*0.98;x3=x2*0.98-10*0.98*0.98+10*0.95*0.95+(x1*0.55-r1)*0.95*0.95;x4=x3*0.98-10*0.98*0.98*0.98+(x2*0.55-r2)*0.95*0.95;x5=x4*0.98-10*0.98*0.98*0.98*0.98+(x3*0.55-r3)*0.95*0.95;x6=x5*0.98+(x4*0.55-r4)*0.95*0.95;s1=(0.6*x1+0.4*y1)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y1*100+y1*500+x1*42*10+x1*1000+(x1*0.55-r1-10)*2000+60000+(0.7*x1+0.7*2/3*y1)*700;s2=(0.6*x2+0.4*y2-72)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y2*100+y2*500+x2*42*10+x2*1000+(x2*0.55-r2)*2000+60000;s3=(0.6*x3+0.4*y3-72)