武汉市乐其教育培训学校2017-2018年九年级数学相似三角形讲义第 三 讲平行与比例、相似（拔高）

1、.y知识要点：第 三 讲平行与比例、相似拔高一、平行线分线段成比例平行? 比例；二、平行于三角形一边的直线得截得的三角形与原三角形相似平行? 相似? 比例；三、共线比的平行构造：1公共点在端点? 构造平行 A 型；2公共点在中间? 构造平行 X 型.第一部分【才能进步】一、角平分线定理构造平行线证明“共线比（1） 如图 1，AD 为ABC 的角平分线，求证： AB = BD ；AACCDBDC（2） 如图 2，AD 为ABC 的外角平分线，求证： AB = BD .ACCDBCD二、梅涅劳斯定理如图，任意一条直线分别交ABC 的三边所在的直线于 D、E、F 三点，求证：AD ? BE ? CF

2、 = 1 .ADB EC FA三、塞瓦定理如图， O 为ABC 内任意一点，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F 三点，求证： AF ? BD ? CE = 1 .FB DC EAABDC四、如图，P 为ABC 内任意一点，AP、BP、CP 分别交对边于 D、E、F 三点，求证： PD + PE + PF = 1 .ADBECFABDC五、如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 AB 延长线上一点， E 是 AC 上一点，连接 DE 与 BC 相交于点 F ，求证：DFFE=DBCE.ACD六、如图，D、E 分别为 AB、AC 上一点，BD=CE，直线 DE、BC 交于点 F，求证

3、： DF = AC .EFABABCF七、如图，在ABC 中，D 为 BC 延长线上的一点， BC=CD，E 为 AC 的中点，直线 DE 交 AB 于点 F，AEF求的值.EDBCD八、如图，在ABC 中，ADBC 于点D，E 为边AC 的中点，延长ED 并交AB 延长线于点FABBF，求证：.ACDFAF第二部分【综合运用】九、：如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BA=BD，E 为 AC 的中点，AD、BE 相交于点 F，求证：ABAF=BCDF.ABDC十、如图，ABC 中，M 为 BC 的中点，P 为 AM 上任一点，延长 CP 交 AB 于点 Q，求证： AP= 2 AQ .

4、PMQBABMC十一、如图，在ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，点 P 在射线 EF 上，连接 BP 交 CE 于D 点，CBP 的平分线交 CE 于点 Q，设 BP= y ，PE= x .当 CQ= 1 CE n 为不小于 2 的常数时，n求 y 与 x 之间的函数关系式.十二、如图，ABC 中，BAC=120，AD 平分ABC，求证： 1 + 1 = 1 .ABACADABDC十三、如图，在ABC 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点，P 为 MN 上一点，BP 延长交 AC 于点 D，设 MP = x ，NPAD = y ，求 y 与 x 的函数关系式.ADNB

5、C十四、如图，ABC 中，M 为 AC 的中点，E 为 AB 上一点， AB = nAE ，延长 EM 交直线 BC 于点 D.（1） 假设n = 4 ，求 CD 的值；ABC（2） 假设 C 为 BD 的中点，求n 的值；CD（3） 请用n 的代数式表示BC的值.BCD十五、如图，等腰ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点， CD = nBD ，E 为 AD 的中点，延长 BE 交 AC 于点 F.A（1） 当n =2 时，求 AF 的值；FC（2） 假设CF = 2 AF ，求证：ADBC；（3） 恳求出 AF 的值.用 n 的代数式表示FCBDC十六、如图，在ABC 中，D、E 分

6、别为 AB、AC 的中点，P 为 DE 上一点，延长 BP 交 AC 于点 N，延长CP 交 AB 于点 M，求证： AN + AM = 1.ANCMBBC十七、如图，ABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AM 的中点，P 为 AB 上的一个动点，延长 PN 交 AC 于点Q，当 P 点运动时，求 BP + CQ 的值.AAPAQBMC十八、ABCD 的对角线交于点 O，M 为 OD 上一点，过点 M 的直线分别交 AD、CD 于 P、Q 两点， 与 BA、BC 的延长线于 E、F 两点.（1） 如图 1，假设 M 为 OD 的中点，EFAC，求证：PE+QF=2PQ；（2） 如图 2，假

7、设 M 为 OD 的中点，EF 与 AC 不平行时，1中的结论是否仍然成立？说明你的理由；（3） 如图 3，假设 BM= n DM，EF 与 AC 不平行时，请写出： PE + QF 的值为 .PQ请用含n 的式子表示你的结论并证明十九、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完好.原题：如图 1，在ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点 G，假设 AF = 3 ，求 CD 的值.EFCG（1） 【尝试探究】在图 1 中，过点 E 作 EHAB 交 BG 于点 H，那么 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH的数量关系是， CD 的值是；CGA DBEC图1（2） 【类比延伸】如图 2，在原题条件下，假设 AF = m m0 ，求 CD 的值；用含m 的代数式表示EFCGBEC图