数学分析例题

1、一、极限论例1.6 证明 ，其中a>0为常数.例1.7 设为例1.5所得的数列，即证明.例1.8 证明.例1.9 求.例1.10 求.例1.11 求.例1.12 例1.13 证明.例1.14 求.例1.16 设求.例1.17 证明极限存在.例1.18 若，则数列收敛.例1.19 证明.例1.20 证明 （1）（2）例1.21 证明.例1.22 证明.例1.23 证明例1.24 证明 （1） （2）.例1.27 求极限.例1.28 求极限例1.29 求证例1.32 例1.33 例1.34 例1.35 求例1.36 例1.37 例1.38 例1.39 求例1.40 求极限例1.41 求极限例

2、1.42 考查函数在点x=0处的连续性.例1.48 x=0是的第二类间断点.例1.49 是的第二类间断点.例1.56 例1.57 例1.58 根据初等函数的连续性与复合函数连续性，有（1）（2）（3）例1.60 求例1.61 证明方程在区间（0，1）内至少有一个根.一致连续性 例1.63 例1.64 例1.5 书上49页.1.9 实数的连续性、上下极限 书上51页.补充：部分例子仍在书中，看书为准.二、一元函数微分学例2.1 求函数在点x=1处的导数.例2.2 设.例2.3 证明函数例2.4 设,确定函数f(x)在点x=0处的可导性.例2.5 求等边双曲线在点(1,1)处的切线方程和法线方程.

3、例2.6 求导(1) (2)例2.7 证明(1) (2)例2.8 证明例2.9 证明：（1） （2）例2.10 求导数（1）（2）例2.11 求导数（1）（2）例2.12 求导数（1） （2） （3）（4）例2.13求导（1）（2）例2.14 求椭圆所确定的参数变量函数的导数，并求出该椭圆在的对应点处的切线方程。例2.15 在不计空气阻力的情况下，以发射角a及初速度射出的炮弹，其运动轨迹由参数方程给出，其中t为时间参数，试求炮弹在任意时刻t的速度和方向。例2.16 设方程确定了一个隐函数例2.17求方程所确定的隐函数在x=0处的导数例2.18 试求曲线在点处的切线方程例2.19 地面上空2km

4、处有一架飞机作水平飞行，时速为每小时200km。机上观察员正在瞄准前方矿山，用航空摄影进行地面测量。因为飞机的位置在改变，必须转动摄影机才能保持矿山在镜头之内，试问当俯角为90°时，摄影机的角速度是多少？例2.20 曲柄连杆机如图，当曲柄OC绕点O旋转时，连杆BC在OS轴的上下摆动，且推动滑块B作往复直线运动，由三角知识可得，滑块B的位移s与的关系为：例2.23 （1）求函数在点x=0的微分 （2）求函数例2.24 求下列函数的微分（1）（2）例2.25 求由方程确定的隐函数的导数.例2.26求曲线在点（2，1）处的切线方程.例2.27 设已经测得圆钢的直径为43cm，且已知绝对误差

5、不超过0.1cm，求由此所引起的圆钢截面积的绝对误差.例2.28 钟表原来的周期是1s，冬季摆长缩短了0.01cm，试问这个钟每天大约快多少？（）例2.29 求的近似值.例2.30 求的近似值.例2.31 例2.35 .例2.36 旋轮线的参数方程为.例2.37 设隐函数方程为，试求二阶导数.例2.39 证明对一切x>-1,都有成立.例2.40 如果f（x）的导函数在区间a，b上连续，试证函数f（x）在a，b上满足利布希茨条件，即存在常数L>0，使对一切，都有.例2.41 例2.42 P91例2.43 讨论函数在点x=0处的可导性.例2.44 确定函数的单调区间.例2.45 讨论函

6、数的单调性.例2.46 证明例2.47 求的极值点和极值.例2.48 求函数在区间-1，2上的最大值和最小值例2.49 有一张长方形不锈钢薄板，长为a，宽为，将它的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起来，做成一个屋改的小方盒，试问截去的小正方形边长为多少时，盒子的体积最大？并求该最大值.例2.50 如图2-22所示，铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km，AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里货运的费用之比为3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,试问D点应选在何处?例2.51 设函

7、数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b），则，使得.例2.52 由洛必达法则得 例2.53 由洛必达法则得例2.54由洛必达法则得例2.55由洛必达法则得例2.56 由洛必达法则得例2.57 由洛必达法则得例2.58求极限例2.59 求极限例2.60 求极限例2.61 求极限例2.62 求极限例2.63 求极限例2.64求极限例2.65 求极限注意：和不能用洛必达法则算出。泰勒公式：例2.66 求函数的麦克劳林公式（带皮亚诺余项）例2.67 求函数的麦克劳林公式（带皮亚诺余项）例2.68 求函数lnx在点x=2处的泰勒公式（带皮亚诺余项）例2.69 求函数tanx的四阶麦克劳林公式（

8、带皮亚诺余项）例2.70 设 ，求.例2.71 求不定式极限 例2.72 求不定式极限例2.73 求不定式极限例2.74 求函数的极值.例2.76（1）求e的近似值，使其误差小于（2）证明e是无理数关于凹凸函数：不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。 另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(x1+(1-)x2)<=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即V

9、型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(x1+(1-)x2)>=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）例2.77 考察函数的凸性.例2.80 求曲线的渐近线.例2.81 作出例2.80函数图像.例2.82 试作出函数的图像.例2.83 书本P120例3.1 设曲线通过点（1,2），且该曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方的3倍，求该函数的方程.例3.2 试求函数在区间上的不定积分.例3.3 例3.4 例3.5 例3.6 例3.7 例3.8 例3.9 例3.10 例3.11

10、 例3.12 例3.13 例3.14 例3.15 例3.16 求不定积分例3.17 求不定积分例3.18 求不定积分例3.19 求不定积分例3.20 求不定积分例3.21 求不定积分例3.22 例3.23 例3.24 例3.25 求不定积分例3.26 求不定积分例3.28 求不定积分.例3.29 求不定积分.例3.30 求不定积分.例3.31 求不定积分.例3.32 求不定积分.例3.33 求不定积分例3.34 求不定积分例3.35 求不定积分例3.36 运用配方法和欧拉变换法求不定积分例3.37 按定义计算定积分.例3.38 按定义计算定积分.例3.39 证明狄利克雷函数D(x)在区间0,1

11、上不可积.例3.40 应用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分(1) (2) (3) (4)例3.41 求和式极限例3.42 设为有界数列，令，则f(x)在0,1上可积.例3.43 证明黎曼函数R(x)在0,1上可积，且.例3.45 设例3.46 计算定积分例3.47 计算定积分例3.48 计算定积分例3.49 计算定积分例3.50 计算定积分例3.51 计算定积分例3.52 计算和例3.54 求由抛物线与直线所围成区域的面积例3.55 求椭圆的面积例3.56 求心形线所围成区域的面积例3.57 求两圆柱面与所围成的立体体积例3.58 3.59（旋转体与圆环体体积）P175例3.60 求曲边梯形绕y轴旋转所得到旋转体体积.例3.61 求旋轮线的长例3.62 求悬链线的长.例3.63 求抛物线上曲率最大的点.例3.64 设元件内表面截线为抛物线，如图2-35所示，要用砂轮打磨其内表面，试问用半径多大的砂轮才比较合适？例3.65 计算圆在一段弧绕x轴旋转所得球带面积.例3.66 如图3-77所示，求星形线绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积.例3.673.69 P184例3.72 讨论无穷积分的敛散性.例3.72 例3.74 例3.75 计算瑕积分的值.