插值法的推导过程

1、插值法生产实践中常常出现这样的问题：给出一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。因为由函数的表格形式不能直接得出表中未列点处的函数值，也不便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在

2、某种意义下他在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。1、 拉格朗日（Lagrange）插值1. Lagrange插值多项式 先讨论只有两个节点,的插值多项式。由前所述，插值多项式应设为，且满足插值条件解此方程组得 ，0所以，两个节点的一次插值多项式为 （5-6）这是用过两点，的直线近似曲线，故这种插值又称为线性插值。如果将式（5-6）改写成以下形式 (5-7)式（5-7）中，被表成两个线性函数的线性组合。记，显然，它们满足，即在对应的插值点处的取值为1，在其他点处取值为0，不难想象，以对应点处的函数值为系数对它们作线性组合所得的函数，不仅仍是线性的，且必定满足插值条件。由此得到

3、启发，当节点增多到个时，可以先构造次多项式，它们满足 （5-8）然后以对应点处的函数值为系数作线性组合，即得所要求的插值多项式。下面推导的表达式。由式（5-8），多项式有个根，且，故它必定是以下形式 （5-9）这些函数称为Lagrange插值基函数。利用它们立即得出插值问题的解 （5-10a）事实上，因为每个插值基函数都是次多项式，故是至多次多项式。由式（5-8）又得即满足插值条件式（5-2）。式（5-10a）称为次Lagrange插值多项式。为了以后便于区别，常用代替，以突出表示这是由Lagrange插值所得到的插值多项式，即 （5-10b）由前面讨论的结果，个节点的次Lagrange插值多

4、项式存在唯一，式（5-5）为插值余项。式（5-10b）形式对称，容易编制程序。2、牛顿（Newton）插值如果将直线用点斜式方程表示，即把线性插值公式改写成以下形式 （5-13）由此导出插值多项式的又一种表示形式牛顿插值公式。2.1 差商定义5.1 设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点的一阶差商（也称均差），记为，即类似于高阶导数的定义，称一阶差商的差商 为关于点的二阶差商，记为。一般地，称为关于点的阶差商，记为 （5-14）2.2 Newton插值公式按定义5.1线性插值公式（5-13）可表示成 （5-17）式（5-17）称为一次Newton插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得

5、将以上各式分别乘以1，,然后相加并消去两边相等的部分，即得 （5-18）记 （5-19） （5-20）则 显然，是至多次的多项式。而由 得。这表明满足插值条件式（5-2），因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。3、 埃尔米特（Hermite）插值如果对差值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite插值问题。3.1 Hermite设已知函数在个互异节点上的函数值和导数值，要求一个至多次的多项式，使得 （3-1）满足条件（3-1）的多项式称为Hermite插值多项式。我们仍采用构造插值基函数的方法

6、来求Hermite插值多项式。可以设想，如果有两组函数，它们满足：（1）都是至多次多项式； （2） （3-2） 则多项式 必定满足插值条件式（3-1），且次数不超过。按条件式（3-2），在处函数值与导数值均为0，故它们应含因子，因此可以设为 （3-3）其中为Lagrange插值基函数。由条件式（3-2），还应满足 代入式（3-3），得 其解为。所以 （3-4）同理，由于在处的函数值与导数值均为0，而，故可设 代入条件式（3-2）得 于是，因此 （3-5）所以Hermite插值多项式为 （3-6）特别地，当时，有 所以，两个节点的三次Hermite插值多项式为 （3-7）4、 样条插值许多工程技

7、术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率 ，即二阶导数连续。这就导致了样条插值的产生。4.1 三次样条插值利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如，分段线性插值是一次样条插值。下面只介绍三次样条插值，即已知函数在区间上的个节点 上的值，求插值函数，使得 （1）； （2）在每个小区间上是三次多项式，记为； （3）在上二阶连续可微，则函数称为的三次样条插值函数。可以证明，在一定的边条件下，三次样条插值问题的解是存在唯一的。下面讨论三次样条插值函数的求法。由于在

8、每个小区间上都是三次多项式，故共有个参数。为简化计算，取节点上的导数值或二阶导数值为参数，来导出三次样条插值函数的表达式。4.2 以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数设。因为在小区间上是三次多项式，故为线性函数，由Lagrange插值公式得 （4-1）其中。将上式积分两次，并代入插值条件，得 （4-2）求导得 （4-3）因为在节点处一阶导数连续，故应有 即 化简得 （4-4）令 （4-5）则式（4-4）改写成 （4-6）式（4-6）给出了含个参数的个方程，称为三次样条的关系式，或按其力学意义，称为三弯矩方程。为完全确定这些参数，需要根据问题的具体情况，在区间的两个端点处给出条件，称为边

9、界条件。常用的边界条件有以下三种：（1） 给定两端点处的导数值。特别地，当时，样条曲线在端点处呈水平状态。（2） 给定两端点处的二阶导数值。特别地，当时，称为自然边界条件。（3） 如果是以为周期的周期函数，则也应是具有同样周期的周期函数，在端点处需满足 将这三种边界条件中的任意一种与三弯矩方程（4-6）联立，即可求出参数。 如果问题要求满足边界条件（1），由式（4-6）得 化简的 （4-7）式（4-7）和式（4-6）联立，即得关于参数的阶线性方程组，其矩阵形式为 其中。这是三对角方程组，可用追赶法求解。如果问题要求满足边界条件（2），即 此时方程组（4-6）中实际只有个未知数，其矩阵形式的 （4-8）这仍是三