惠州市2013届高三数学第三次模拟考试试题目理含解析新人民教育出版

1、广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013惠州模拟）复数 的共轭复数是（）A3+iB3iC3+iD3i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题分析：把的分子、分母同时乘以复数i，得到a+bi，由此能求出复数z的共轭复数解答：解：=（13i）i=3+i，所以复数的共轭复数是3i故选D点评：本题考查复数的代数运算，是基础题解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念2（5分）（2013惠州模拟）已知向量=（2，3），=（x，6），且，则|+|的值为（）ABC5D13考点

2、：平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用分析：根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模解答：解：由向量=（2，3），=（x，6），且，则2×6（3）x=0，解得：x=4所以，则=（2，3）所以=故选B点评：本题考查了两个平行的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题3（5分）（2013惠州模拟）已知集合A=1，1，B=x|ax+1=0，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（）A1B1C1，1D1，0，1考点：集合的包含关系判断及应用.专题：计算题分析：根据题中条

3、件：“BA”，得到B是A的子集，故集合B可能是或B=1，或1，由此得出方程ax+1=0无解或只有一个解x=1或x=1从而得出a的值即可解答：解：由于BA，B=或B=1，或1，a=0或a=1或a=1，实数a的所有可能取值的集合为1，0，1故选D点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题4（5分）（2013惠州模拟）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）ABC2D2考点：幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点.专题：函数的性质及应用分析：先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式

4、，再将x用2代替求出函数值解答：解：由设f（x）=xa，图象过点（，），（）a=，解得a=，log4f（2）=log42=故选A点评：本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值5（5分）（2009陕西）”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：椭圆的应用.专题：常规题型分析：将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断解答：解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即mn0反之，当mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”

5、mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C点评：本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导6（5分）（2013济宁一模）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A19、13B13、19C20、18D18、20考点：茎叶图；众数、中位数、平均数.专题：计算题；图表型分析：把两列数据按照从小到大排列，数据有11个最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来解答：解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中

6、间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A点评：本题考查茎叶图和中位数，解题的关键是把数据按照从小到大排列，最中间一个或最中间两个数据的平均数就是中位数7（5分）（2013惠州模拟）已知x、y满足约束条件，则Z=2x+4y的最小值为（）A15B20C25D30考点：简单线性规划的应用.专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+4y中，求出2x+4y的最小值即可解答：解：满足约束条件的平面区域如图：有图得当位

7、于点B（，）时，2x+4y有最小值2×）+4×（）=15故选A点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解8（5分）（2013惠州模拟）数列an 中，an+1+（1）nan=2n1，则数列an前12项和等于（）A76B78C80D82考点：数列的求和；数列递推式.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a12a11=21，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2

8、，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出an的前12项和解答：解：an+1+（1）nan=2n1，a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9a7+a9=11，a11+a10=19，a12a11=21a1+a3=2，a4+a2=8a12+a10=40从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列以上式子相加可得，S12=a1+a2+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3&#

9、215;2+8+24+40=78故选B点评：本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）(必做题:第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答,选做题:1415题，考生只能从中选做一题）9（5分）（2013惠州模拟）在等比数列an中，a1=1，公比q=2，若an前n项和Sn=127，则n的值为7考点：等比数列的前n项和.专题：计算题分析：由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n解答：解：由等比数列的前n项和公式可得，127=解可得，n=7故答案为：7点评：本题主要考查了等

10、比数列的前n项和公式的 简单运用，属于基础试题10（5分）（2013济宁二模）阅读如图的程序框图若输入n=5，则输出k的值为3考点：循环结构.专题：操作型分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出解答：解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，此时不满足退出循环的条件，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，此时不满足退出循环的条件，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，此时不满足退出循环的条件，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故答案为：3点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采

11、用写出前几次的循环结果找规律11（5分）（2013惠州模拟）已知双曲线=1的一个焦点与抛线线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程；圆锥曲线的共同特征.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，建立方程组，求出几何量，即可求得双曲线的标准方程解答：解：抛线线y2=4x的焦点（，0）c2=a2+b2=10，e=a=3，b=1则该双曲线的方程为 故答案为：点评：本题考查抛物线的性质、双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题12（5分）（2

12、013惠州模拟）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的有若m，n，则mn； 若，则；若m，m，则； 若m，n，则mn考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离分析：根据空间线面、面面的平行，垂直关系，结合线面、面面的平行，垂直的判定定理、性质定理解决解答：解：m，n，m与n的位置关系是相交、平行或异面故不正确；，与的位置关系是相交或平行，故不正确；m，m，与的位置关系是相交或平行，故不正确；垂直于同一平面的两条直线平行，正确；故答案是点评：本题考查线面平行关系的判定，要注意直线、平面的不确定情况13（5分）

13、（2013惠州模拟）已知函数f（x）=若f（x）在（0，+）上单调递增，则实数a的取值范围为1a2考点：函数单调性的性质.专题：函数的性质及应用分析：由f（x）在（0，+）上单调递增，得y=axa递增，且a1a，由此可得关于a的不等式组，解出即可解答：解：因为f（x）在（0，+）上单调递增，所以y=axa递增，且a1a，由y=axa递增，得a1，由a1a，得a2，综合得1a2故答案为：1a2点评：本题考查函数单调性的性质，考查二次函数、指数函数的单调性，注意体会数形结合思想在分析本题中的应用14（5分）（2013梅州二模）如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆

14、时针旋转60°到OD，则PD的长为考点：与圆有关的比例线段.专题：综合题；压轴题；综合法分析：解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可解答：解：法一：PA切O于点A，B为PO中点，AB=OB=OA，AOB=60°，POD=120°，在POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO22PODOcosPOD=法二：过点D作DEPC垂足为E，POD=120°，DOC=60°，可得，在RtPED中，

15、有点评：本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律15（2013惠州模拟）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则AOB（其中O为极点）的面积为3考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：应用题；压轴题；选作题；转化思想分析：首先由极坐标与直角坐标系转换公式，把点A、B的极坐标转化为直角坐标，再在直角坐标系下求三角形的面积解答：解：由极坐标与直角坐标系

16、转换公式又A、B的极坐标分别为（3，），（4，），可得到A，B的直角坐标分别为，O的坐标不变，则可求的AOB的面积为 3故答案为3点评：此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化公式的记忆与应用，有一定的计算量，在做题时需要很好的理解题意以便解答三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）（2013惠州模拟）已知函数f（x）=sinxcos+cosxsin（其中xR，0），且函数y=f（2x+）的图象关于直线x=对称（1）求的值；（2）若f（a）=，求sin2a的值考点：y=Asin（x+）中参数的物理意义；二分法求方程的近似解；两角和与差的正弦函数.

17、专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用两角和的正弦公式合并可得f（2x+）=sin（2x+），再用三角函数对称轴方程的公式建立关于的等式，结合题意可解出=；（2）将a代入（1）中求出的表达式，化简整理可得sin（a+）=，结合两角和的正弦公式可得sina+cosa=，再将此式平方，并结合二倍角公式和同角三角函数基本关系，即可算出sin2a的值解答：解：（1）f（x）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），（2分）函数f（x）的最小正周期为2（3分）函数y=f（2x+）=sin（2x+）+=sin（2x+），且函数y=sin（2x+）图象关于直线x=对称，（5分）x=满足2

18、x+=+k，kZ代入得+=+2k，结合0取k=1，得=（7分）（2）f（a）=sin（a+）=sin（a+），（9分）sin（a+）=（sina+cosa）=，可得sina+cosa=，（11分）两边平方，得（sina+cosa）2=，即sin2a+2sinacosa+cos2a=sin2a=2sinacosa1+sin2a=，解之可得sin2a=（14分）点评：本题给出三角函数图象关于直线x=对称，求的值并通过函数解析式求另一个角的正弦值着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，属于中档题17（12分）（2013惠州模拟）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学

19、成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40，50），50，60），90，100后得到如图所示的频率分布直方图（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在40，50）与90，100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布.专题：概率与统计分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低

20、于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（3）成绩在40，50）分数段内的人数，以及成绩在90，100分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可解答：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1（1分）解得a=0.03（2分）（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110×（0.005+0.01）=0.85（3分）由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校

21、高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 （5分）（3）解：成绩在40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B（6分）成绩在90，100分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F（7分）若从数学成绩在40，50）与90，100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种（9分）如果两名学生的数学成绩都在40，

22、50）分数段内或都在90，100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10如果一个成绩在40，50）分数段内，另一个成绩在90，100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种（11分）所以所求概率为（12分）点评：本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力18（14分）（2005江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=

23、AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题.分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1EA1D总是成立的（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂根据=

24、既可以求得点E到面ACD1的距离（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，则DHD1为二面角D1ECD的平面角解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置

25、即可（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，可求得，因为二面角D1ECD的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1ECD的大小为解答：解法（一）：（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1ECD的平面角设AE=x，则BE=2x在RtD1DH中，DH=1，在RtDHE中，EH=x，解法（二）：以D为坐标原点，

26、直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由令b=1，c=2，a=2x，依题意（不合，舍去），AE=时，二面角D1ECD的大小为点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力19（14分）（2013惠州模拟）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a0，且a

27、1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）c，数列bn（bn0）的首项为c，且前n项和Sn满足：SnSn1=+（n2）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列cn的通项cn=bn，求数列cn的前n项和Rn；（3）若数列前n项和为Tn，问Tn的最小正整数n是多少？考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合.专题：等差数列与等比数列分析：（1）由点（1，）是函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象上一点，求出函数解析式，根据等比数列an的前n项和为f（n）c，依次求出a1，a2，a3，然后由求出c，则首项和公比可求，所以通项公式可求，再由数列b

28、n（bn0）的首项为c，且前n项和Sn满足：SnSn1=+（n2）展开等式左边约分后可得数列为首项为1公差为1的等差数列，求出Sn后，由bn=SnSn1（n2）求数列bn的通项公式；（2）把数列bn的通项公式代入数列cn的通项cn=bn，然后运用错位相减法求数列cn的前n项和；（3）运用裂项相消法求出数列前n项和为Tn，代入Tn进行求解解答：解：（1）因为点（1，）是函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象上一点，所以，所以，因为等比数列an的前n项和为f（n）c，所以，a2=f（2）cf（1）c=，a3=f（3）cf（2）c=又数列an成等比数列，所以，所以c=1所以又公比q=所以由数列bn

29、的前n项和满足SnSn1=+（n2）则 （n2），又bn0，所以所以，数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，则，所以当n2时，满足b1=c=1所以，；（2）由，所以Rn=c1+c2+c3+cn=两边同时乘以得：+式减式得：化简得：=所以（3）=；由，得n，所以，满足的最小正整数为112点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法求数列的前n项的和，比较综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的计算能力，特别是（1）中求解两个数列的通项公式，需要有一定的灵活变化技巧，此题属于难题20（14分）（2013惠州模拟）（理科）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点

30、A，若（其中O为坐标原点）（1）求椭圆M的方程；（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x2+（y2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的性质及其运算律；椭圆的标准方程.专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）确定A，F1的坐标，利用建立方程，从而可求椭圆M的方程；（）利用向量的数量积运算，将求的最大值转化为求的最大值，利用配方法可求解答：解：（1）由题设知，F1（），a2=6椭圆M的方程为；（2）圆N：x2+（y2）2=1的圆心为点N=从而将求的最大值转化为求的最大值P是椭圆M上的任一点，设P（x0，

31、y0），则有，即x02=63y02，又N（0，2），=x02+（y02）2=2（y0+1）2+12，当y0=1时，取最大值12的最大值为11点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题21（14分）（2013惠州模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；压轴题分析：（1）先对函数

32、求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间3，+）上恒成立，当a=0时，容易检验是否符合题意，当a0时，由题意可得必须有2ax+10对x3恒成立，则a0，从而2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+0上恒成立考查函数g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域方法1：构造函数g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+xx2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x3x2由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x3x