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文档简介

1、讲 授 内 容备 注第二十八讲§5.2 幂级数一、幂级数的收敛半径与收敛范围1公式法的收敛半径可按如下公式计算i）若存在或为则；若，则ii）若存在或为则注：求收敛区间时，要检验级数在区间端点的收敛性例1求级数的收敛区间解令，级数变为当时，级数发散；当时，级数收敛故原级数当且仅当时收敛解不等式知，收敛区间为例2求级数的收敛区间解 收敛，在上收敛解不等式得原级数的收敛区间为：2缺项幂级数的收敛范围（此时不能用上述公式）例3求级数的收敛范围解 看作函数项级数，用根式判别法 其收敛范围为（时，破坏级数收敛的必要条件）注：时， 充分大时例4 求级数的收敛范围解 看作函数项级数，用根式判别法按根

2、式判别法知，原级数的收敛范围为二、初等函数展为幂级数 直接展开法：求高阶导数，带入公式间接展开法：熟记5个基本初等函数的展开式其收敛域情况如下：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为间接展开法主要是通过变形、转换、利用已知的展开式例5 把下列函数展成的幂级数，并说明收敛范围1）； 2）解1）2）例6设，求证：证变量替换令，则 例7 试求的幂级数展开式解显然同样方法：将函数展成关于的幂级数例8 求函数按的幂的展开式至三次项解三、求和问题1利用逐项求导与逐项求积分利用逐项求导与逐项求积分，将级数化为已知级数的展开式求和例9 计算无穷级数之和解I两边从0到积分得 再积一次 左边级数正是原级数

3、解II设则 例10 求级数的和函数解该级数收敛区间为设则由逐项积分定理得于是例11 求级数的和解，上式两端微分并乘以，有再微分并乘以，有在上式中取，有2方程式法例12 证明：若函数在上连续，令则在上一致收敛于证先证明该级数一致收敛在上连续，在上有界，使得由此可知，用数学归纳法知而级数在上处处成立原级数在上一致收敛从而在上绝对一致收敛（证明和函数满足微分方程）记原级数之和为此式两端同时加上两边在上积分由此求导得而，解此微分方程，得例13 若的收敛半径为且收敛则也收敛，且证其中（1）且收敛，故在上一致收敛，可逐项积分（2）已知收敛，因此关于在上一致收敛，故可逐项求极限例14 设求证：当时， 有 证的收敛半径时，而级数在内可逐项微分，有连续的导数因此令，得即例15 证明：证 考察幂级数收敛半径为2，收

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