整式的乘除讲义整章

1、 一 整式的乘除 一、同底数幂的乘法1同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：（m，n都是正整数）。这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展：= 。【典型例题】例1：计算：（1）； （2）； （3）例2：计算：（1） （2）（3） （4）总结 例3、计算： 例4：已知，用含m的代数式表示。【变式练习】 (1) 2·(-3)

2、 (2) ·(-)2·3 (3) 2·(-)2·(-)3 (4) ·(-2)·(-)2·(-3)·(-)3(5) (6)x4m ·x4+m·(-x)(7) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3 (8) -3·(-)4·(-)52 逆用同底数幂的法则逆用法则为：（m、n都是正整数）【典型例题】1（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n。 （2）：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；（3）：已知xm=3，x2m+n=36，求xn。【变式练习】1、已知，

3、 ，试求的值。2、已知，则，3、若为正整数，且求的值。二幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方。幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（m，n都是正整数）。【典型例题】例1、填空：例2、计算： 例3、已知则例4、例5、，则，例6、将化成指数相同的幂的形式，并比较它们的大小。 若，试利用上述方法比较大小例7、已知，试求的值。例8、已知【变式练习】1、 填空： 2、 若，则3、 ，则4、 计算：5、 试比较的大小。三积的乘方（重点）1.积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相

4、乘。如：注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式；运用该法则时，注意系数为-1时的“-”号的确定；三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质；该法则可逆用，即 ，逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算。法则的推导【典型例题】例1、填空：例2、计算： 2. 逆用公式和推广（1）公式可以逆用，（m，n是正整数），例如：（2）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即（n是正整数）（3）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。【典型例题】例3、已知，求的值例4、计算： 例5、已知例6、计算： 【变式练习】1：计算（1）； （2）； （3）2：已知，求的值。3：计算 （

5、1）； （2）四单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：1.单项式与单项式相乘时，要先把各个单项式的系数相乘，作为积的系数，要注意系数的符号2.相同字母相乘时，实际上就是按照同底数幂的乘法法则进行，即底数不变，指数相加3.对于只在一个单项式里含有的字母，一定要把它连同指数写在积中，作为积的因式，切记不要将它漏掉4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用5.单项式乘单项式的结果仍然是单项式【典型例题】例1：计算（1）; (2) ;(3) 【变式练习】1. 计算：（1） （2）

6、4y（2xy2）； （3）（2m2n）2+（mn）（m3n） （4）.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)（5）.(2×105)2·(4×103) （6）.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)（7） .(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b) （8）.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)（9） x2y·（3xy2z）·（2xy2） （10）（x3）2·（3xy）·（2y2）3 五.单

7、项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）。注意：1.法则中的每一项的含义是不重不漏的2.在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是负号的情形3.非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同【典型例题】例1.计算 （1） （2）（3） 例2.化简 例3.已知：，求代数式的值. 例4.已知：，求m. 【变式练习】1.(1)(3a5b-4a2b3-6ab4)·； (2) ；（3）(3x2myn-3-5xmy2n+1)·(-4xm-2y5)；2化简求值：-

8、ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。6；多项式乘多项式（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。（2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。如： =ac+bc+ad+bd。项数为2×2=4项。（3）对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(

9、x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。注意：1.必须做到不重不漏，计算时按一定的顺序2.应确定积中每一项的符号3.多项式与多项式相乘时，如有同类项要合并【典型例题】例1 计算：( a- b)( a+ b)例2化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .例3当(x2+mx+8)(x2-3x+n)展开后，如果不含x2和x3的项，求出(-m)3n的值。 例4计算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)【变式练习】1.计算：(1) ； (2)

10、；(3)； (4) ； (5)； (6) .2先化简，再求值：，其中3.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-0.5x+1，那么正确的计算结果是多少？4.已知：，且 异号，是绝对值最小的负整数，求3A·B-A·C的值.5若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展开式中不含x3和x2项，求m和n的值二、乘法公式1平方差公式（重点）平方差公式：即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(

11、-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m) 增项变化，(x-y+z)(x-y-z) =(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2 =x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2 =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2 =x2y2-z2-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2) 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x2-y2)(x2+

12、y2) = (x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =x4-y4 =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz一、：平方差公式及其逆用【典型例题】1：求解下列各式.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 （8）（9）例题2：1949²-1950²+1951²-1952²+1999²-2000²【变式练习】1 计算: (1)； (2)； (3)； (4) ； (5) ； (6) ；7） （8） ； (9) 402398； (10) 79.980.1.2.如果，

13、且，则= 2完全平方公式（重点）完全平方公式即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积得2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式1：完全平方公式其逆用【典型例题】例题1：求解下列各式.（1）位置变化： （2）符号变化：（3）数字变化： （4）方向变化：（5）项数变化： （6）公式变化2完全平方公式的运用例题4：已知：，求：；例题5例题6已知=0， 求的值； 求的值.例题7若，则 .【变式练习】1234563逆用1、若，则.2、若是关于的完全平方式，则.3、多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .4、已知， 求的值.5、已知，求的值4配方法例题1：已知：x

14、78;+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值.【变式练习】1.已知x²+y²-6x-2y+10=0，求的值.2.已知x²+y²+6x+8y+25=0，求x²-y²的值.3.已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值.4.已知：x²+y²+=2x+y,求：的值. 5解方程 6如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.7已知：，求：的值.考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：题型二：应用完全平方公式求值设m+n

15、=10，mn=24，求的值。题型三：巧用乘法公式简算计算：（1）； （2）题型四：利用乘法公式证明对任意整数n，整式是不是10的倍数？为什么？题型五：乘法公式在几何中的应用已知ABC的三边长a，b，c满足，试判断ABC的形状。整式的除法1.同底数幂的除法法则: 同底数幂相除,底数 ,指数 . 即 (a0,m,n都是正整数,并且mn) 零指数幂: 任何不等于0的数的0次幂都等于 . 即 ，其中要求a不能为 。【经典例题】（1）. . . . 若，则x= .（2）. （3）. （4）. （5）. （6）2.若，求。2单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商式的因式，对于只在被除式里含有的

16、字母，则连同它的指数作为商的一个因式注：系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏要注意运算的顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里特别是同级运算一定要从左至右，【经典例题】(1)14a3÷2a （2)-8ab3÷2ab2 (3)-16a3c÷4a3 (4)-2a2b2c 3÷（-3ab）2 (5)（6×106) ÷（2×104） (6)【变式练习】(1) (2)(-0.5a2bx2) 3÷(-ax2) 2； (3)(4×109)÷(-2×103) (4