新建模过程与几何相似性建模讲义版概况

1、第1讲 建模过程与几何相似性建模1、数学模型1.1 数学建模的一般过程为了解数学建模的过程，考虑图1所示的两个世界。假设我们要了解现实世界中的某些行为和现象，以便对该行为的未来作出预测并分析各种情境对该行为的影响。现实世界 数学世界模型数学运算及法则数学结论系统观察到的行为或现象 图1 现实世界与数学世界例如，当研究两个相互作用的物种的种群量时，我们需要知道在它们的环境中物种能否共存，或者是一个物种最终占支配地位而迫使另一个物种灭绝；在用药管理中，要知道正确的剂量以及保持在血液中药物的安全与有效水平的剂量之间的时间。怎样构建数学世界中的数学模型并利用数学模型帮助我们更好地了解现实世界中的系统呢

2、？在讨论怎样把两个世界联系起来之前，先考虑什么是现实世界中的系统以及我们为什么对构建系统的数学模型感兴趣。一个系统就是由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系联结在一起的对象的集合体。建模者希望了解一个特定的系统是怎样工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感。建模者还希望预测系统会发生什么样的变化以及何时发生变化。怎样获取这些信息呢？例如，假定目标是要从现实世界所观察到的现象中得出结论。一种方法就是对某些实际行为做试验或实验，然后观察它们对实际行为的影响。如图2所示。实际问题的数据实际行为模型模型 观察 简化 简化 试验 分析 验证 分析实际的预测或解释现实世界的结论数学的结论数

3、学的结论 解释 解释 阐明 图2 获取有关系统的行为结论 图3 作为封闭系统的建模过程尽管这种过程可能降低由不那么直接的方法所引起的保真性的丧式，但是某些情况下我们不希望遵循这种过程。例如，在诸如决定药物的致命溶度水平或者研究核电厂故障对附近人口密集地区的辐射影响时，即使是单个试验的成本也可能高得令人不敢问津。或者，研究有人操纵的宇宙飞船的热屏蔽不同设计的时，我们甚至可能不愿意接受单次试验的失败。此外，在研究电离层组成的特殊的变化及其对极地冰帽相应的影响时，甚至不可能做实验。对图2的考察提示获取有关现实世界的结论的另一种方法，首先对所研究的行为做特定的观察并识别看来是有关联的因素。通常不可能考

4、虑，或者甚至是识别行为所有有关联的因素，所以做出消去某些因素的假设。例如，当研究来自核电厂故障造成的辐射影响时，至少开始时可以选择忽略湿度。其次，猜测所选择的因素之间的一些暂时的关系，从而创建一个有关该行为的粗略的模型。有了所建立的模型，应用适当的数学分析来导出有关该模型的结论。注意这些结论只属于该模型，而不属于所研究的真正的实际系统。考虑到在构建模型时做了某些简化以及基于该模型的观察误差和局限总是会有的，因此，在做出有关实际行为的任何推断之前，必须仔细考虑这些异常。综上所述，就得到如下粗略的建模步骤：（1）通过观察，识别有关实际行为的主要因素，可能要做些简化；（2）猜测因素之间的暂时的关系；

5、（3）将数学分析用于所得到的模型；（4）借助实际问题来解释数学结论。1.2 数学模型的概念与性质数学模型是为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，包括图示、符号模拟和实验结构等。数学模型可以进以步加以区分。有些现有的数学模型与某个特定的实际现象是一致的，从而可以用来研究该现象。有些数学模型是专门来构建并研究一种特定的现象的。图4说明了模型之间的这种区分。从某个实际现象出发，可以通过构建一个新的模型或选择一个现有的模型数学地表示该现象。另一方面，可以通过实验或模拟来重复该现象。图4 模型的类型行为重复有直接重复与间接重复之分。直接重复就是通过做各种实验性的实验来直接地重复该行为。从这些试验

6、中收集数据并以某种方式分析数据（如统计的方法、曲线拟合的方法等），从而得出某些结论。例如，预测种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响等。间接重复就是试图间接地重复该行为，可以利用诸如对力学系统进行建模的电流模拟器、风洞中缩小了尺寸的超因素飞机模型那样的缩微模型，或者试图利用计算机重复一种行为，例如计算机模拟种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响或早上高峰期电梯系统的运行等。图4所示的各种模型之间的区别只是为了易于讨论而做的，现实中一个主要的模型可以从现有的模型、模拟和实验中选取若干模型作为子模型。通过对比这些类型的模型并比较它们描绘现实世界的各种能力可以提供有益的信息。模型具有以下

7、性质：（1）保真性：模型表示现实的精确性。为了证明最大的保真性，我们会期望来自现实世界的直接观察，即使会产生某种检验的偏差和测量的误差。我们会期望实验模型具有仅次于现实的保真性，因为行为是在诸如实验室那样得到更好控制的环境下直接观察到的。由于模拟融入了间接的观察，所以进一步失去了保真性。只要构建了数学模型、简化了现实世界的条件，结果就会失去更多的保真性。最后，任何选择的模型都是基于附加的简化，而这些简化甚至不适合特定的问题，从而意味着还会进一步失去保真性。可见保真性的次序如下：实际观察实验模拟构建的数学模型选择的数学模型。（2）成 本：建模过程的总费用。一般地，我们期望所选择的模型成本最小。构

8、建数学模型要简化所研究的现象，就要承担相应的附加费用。实验的确立和操作通常是昂贵的。模拟要用到研制起来十分昂贵的间接设备，而且要包括大量的计算机空间、时间和维护费用。可见成本的次序如下：实际观察模拟实验构建的数学模型选择的数学模型。（3）灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。构建的数学模型通常是最灵活的，因为可以相对容易地选择的建设和条件；选择的模型是不那么灵活的，因为它们是在特定的条件下研制的。不过，特定的条件常常可以在广泛的范围内变化。为了略微改变假设和条件，模拟通常需要研发一些另外的设备。实验就更不灵活了，因为某些因素在超过特定条件时是很难控制的。可见灵

9、活性的次序如下：构建的数学模型选择的数学模型模拟实验实际观察。1.3 数学模型的构建 构建数学模型，一般有如下几个步骤：（1）甄别问题 这一步通常是困难的，因为在现实生活中，没有人会只是简单地给你一个有待解决的数学问题。通常你必须从大量的数据中搜索和甄别所研究问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描述问题的口头陈述翻译成数学的符号表示，因此在阐明问题时要足够精确，重要的是要认识到对问题的回答可能不会直接导致合用的问题识别。（2）做出假设 一般来说，不能指望在一个合用的数学模型中抓住影响问题识别的所有因素。关键是通过减少所考虑的因素的数目来进行简化。因此，必须确定余下的变量之间的关系。再次是通过

10、假设相对简单的关系，就能够降低问题的复杂性。因此做出假设主要有两方面：(a) 变量分类：是什么影响到（1）所识别的问题的行为？把他们作为变量列出来。模型要解释的因变量（可能有多个），剩下的变量中一部分是自变量。每个列出的量被分为因变量、自变量或两者都不是。有两个理由可以忽略某些变量。首先，相对于与该行为有关的其他因素，这个变量的影响可能较小。其次，以几乎相同的方式影响各种选择的因素可能可以忽略，即使这个因素对所研究的问题有很重要的影响。例如，考虑确定演讲厅最佳形状的问题，其中黑板或投影仪的易读性是支配准则。照明肯定是关键因素，但可能会以几乎同样的方式影响所有可能的形状。通过忽略这种在以后可能会

11、融合进一个分开的、改进的模型中的因素，分析就可能大大简化。(b) 确定研究中的所选择的变量之间的相互关系：在能够假设变量之间的关系之前，一般必须做出某些进一步的简化。问题可能十分复杂，以至于看不出一开始确定的所有变量之间的关系。在这种情况下，可能要研究子模型，即分别研究自变量中的一个或几个。最后再把子模型合在一起。（3） 求解或解释模型 把所有的子模型合在一起看看该模型告诉我们什么。在某些情况，模型可能包含为得到我们正在寻求的信息，必须要求解的数学方程或不等式。问题的陈述常常要求模型的最好的或最优的解。常常会发现，为完成这一步我们的准备是很不够的，或者可能会得到一个不会求解或不会解释的难于处理

12、的问题。碰到这种情况，我们也许应该回到（2）并做出另外的简化假设，有时甚至要回到（1）去重新定义问题。（4）验证模型 在能够利用模型之前，必须检验模型。在设计检验和收集数据之前，要先问几个问题。首先，该模型是否回答了（1）中甄别的问题，或者是否偏离了我们构建该模型的关键问题？其次，该模型有实用价值吗？既我们确实能收集必要的数据来运作模型吗？第三，模型有普遍意义吗？一旦通过了这种常识性的检验，就要利用由经验观察得到的实际数据来检验模型。要谨小慎微地以如下方式来设计检验，即在实际应用模型时预期会碰到的各个自变量的取值范围内观察结果。在（2）中所做的假设在一个限定的自变量的范围之内是合理的，但对这个

13、范围之外的值却是很不合理的。例如，牛顿第二定律的常用解释为“作用在物体上的力等于物体的质量乘以物体的加速度”，直到物体的速度趋于光速之前这个定律都是合理的模型。从任何检验中得出的结论都要小心。正如不能简单地用支持定理的许多特殊情形来证明定理一样，也不能根据模型收集到的特殊的证据来推出广泛的一般结论。一个模型不能成为一条定律，就是因为定律是在一些特定的情形下重复得到验证的，而模型的合理性要通过收集到的数据来证实。（5）实施模型 首先要用决策者和用户能懂的术语来解释模型是否对他们有用。其次模型要处于用户看来是好的状态，如经济实用。最后也要包括推进模型运作所必须的数据。（6）维修模型 注意模型是从（

14、1）甄别的特定的问题和（2）中所做的假设推出来的。原先的问题会有变化吗？某些先前忽略的因素会变得重要吗？子模型需要修改吗？如果回答是，就可能要对模型进行修改。1.4 构建模型的迭代性构建模型是一个迭代的过程。从考察一些系统和甄别我们希望预测或解释的特定行为开始，再识别变量和简化假设，到最后生成一个模型，一般是从一个相当简单的模型开始，再根据我们确认过程所指示的结果来修改模型。如果我们不能提出一个新的模型或求解我们已有的模型，就必须简化模型。这是通过把某些变量当作常量处理、忽略或者集成某些变量、在子模型中假设简单的关系或者进一步限制所研究的问题来完成的。另一方面，如果结果不够精确，就必须改进模型

15、。改进一般与简化相反。它是通过引进额外的变量、假设变量之间的更为复杂的关系或者扩展问题的范围来完成的。通过简化和改进，我们确定了模型的一般性、现实性和精确性。不能过分强调这种过程，但是这种过程构成了建模的艺术。 表1 数学建模的艺术：根据需要简化或改进模型 模型简化 模型改进 1 限制问题的识别 1 扩展问题2 忽略一些变量 2 考虑额外的变量3 若干变量合并的效果 3 仔细考虑每个变量4 令某些变量为常数 4 允许某些量的变化5 假设简单的（线性）关系 5 考虑非线性关系6 融入更多的假设 6 减少假设的数量 2、利用比例性建模定义 与成正比例（反比例），记作（）存在常数，使得（）。性质 （

16、1）反身性 ；（2）对称性 ；（3）传递性 ，。几何意义 由比例的定义可知，因此定义了平面上一条通过坐标原点且倾角的直线。因此，并非所有的直线都表示正比例关系：轴上的截距为零且倾角。当应用比例模型时，没有认识到这一点可能会导致错误的结果。例如，假设我们有兴趣预测已载货物船只的排水量。因为浮体排出的水量等于排出的水量，所以可以试着假设排出的总水量与已装货物的重量成正比。可是，因为未装货物的船只早已排出了相当于它自身重的水量，所以这个假设是有缺陷的。尽管排出的总水量对已装货物的重量是一条直线，但它不是一条通过原点的直线，所以比例性不正确。比例性模型实际关系a）实际关系b） 图5 比例性作为一种简化

17、的假设实际上，这个比例关系可能是一个依赖于轴上的截距的大小以及直线的斜率的合理的简化假设。因为对较小的来说，它还可能在自变量的定义域之内，但相对误差更大，如图5所示。如果斜率几乎为零，那么比例性可能是一个很差的假设，因为与初始的排水量相比，载货重量的影响显得小了。另一方面，如果初始的排水量比较小而斜率很大，那么初始的排水量的影响很快就会变小，从而比例性就是一个好的简化假设。 表2 著名的比例性 虎克定律：，其中是恢复力，是被拉长或压缩弦的距离。 牛顿定律：或，其中是作用力，是加速度，是物体的质量。 欧姆定律：，其中是电流，是电压，是导线的电阻。 波义耳定律：，其中气体的体积，是压力，是反比例系

18、数。 爱因斯坦的相对论：，其中是光速，是能量，是物体的质量。 开普勒第三定律：T=CR3/2，其中T是周期（天），R是行星到太阳的平均距离。 例1 开普勒第三定律1601年，德国天文学家开普勒成为布拉格天文台的台长。开普勒曾经帮助第谷收集了13年的有关火星的相对运动的观察资料。到1609年，开普勒已经形成了他的头两条定律：（1）每个行星都沿条椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点处。（2）对每个行星来说，在相等的时间里，该行星和太阳的联线扫过相等的面积。开普勒花了许多年来验证并形成了表2中的第三定律，它建立了轨道周期与从太阳到行星的平均距离之间的关系。表3中的数据来自1993年的世界年鉴。 表3

19、 轨道周期与太阳到行星的平均距离 行星 周期（天数） 平均距离（百万英里）水星 88.0 36金星 224.7 67.25地球 365.3 93火星 687.0 141.75木星 4331.8 483.80土星 10760.0 887.97天王星 30684.0 1764.50海王星 60188.3 2791.05冥王星 90466.8 3653.90 图6画出了周期对平均距离的3/2次方的图形。该图形近似于一条通过原点的直线。任取过原点的这条直线上的两点，很容易地估计其斜率（比例常数）：斜率=（90466.8-88）/（220869.1-216）0.410，估计其模型为。 图6 作为比例性的

20、kepler第三定律3、利用几何相似性建模 3.1 几何相似性的概念 几何相似性是一个与比例性有关的概念，而且有助于简化数学建模的过程。定义 如果两个物体各点之间存在一个一一对应,使得对应点之间的距离之比对所有可能的点对都不变（等于一个常数），则称这两个物体是几何相似的。例如，考虑图7中画的两个盒子。令表示图7(a)中的两点和之间的距离，而表示图7(b)中的两点和之间的距离。在这两个图形中其他相应的点以及相应的点之间的距离都以同样的方式表示。对几何相似的盒子，对某个常数，下式必真。这是因为，如果在图7中的两个盒子是几何相似的，那么三角形和必定相似。同样的讨论适用于诸如和那样相应的三角形对。因此

21、，对应角相等的物体是几何相似的。换言之，对于两个几何相似的物体来说，它们的形状是一样的，且一个物体只是另一个物体的简单放大复制而已。我们可以把几何相似的物体设想为相互按比例确定的复制品，就像建筑制图中所有的尺寸都是按某个常数因子按比例确定的。当两个物体是几何相似时，其结果就是诸如体积和表面积那样的量的某些计算的简化。对于图7中所画的盒子，它们体积之比为，表面积之比为。图7 两个相似的几何物体一旦规定了比例，不但立即知道这些量的比，而且可以把表面积的比例性通过某个选定的特征量表示出来。如果选择长度作为特征量，那么由于，有 ，于是常数，即表面积和特征量长度的平方成正比：。类似地，体积和长度的立方成

22、正比：。所以，如果我们对依赖于一个物体的长度、表面积和体积的某个函数，例如感兴趣，就可以把所有变量用某个选择好的、诸如长度那样的特征量表示出来，得出。几何相似性是一种强有力地简化假设。3.2 检验几何相似性几何相似性的原则提供了确定所收集的对象之间是否有比例性的一种方便的检验方法。因为几何相似性的定义要求对所有相应的点对之间的距离之比是一样的，所以我们可以检验这种要求来看看给定集合中的物体是否是几何相似的。例如，我们知道圆都是几何相似的。如果表示圆的周长，是其直径而是给定的圆心角所对应的弧长，由几何学知道 和 。因此，对任何两个圆 及 。即当我们沿任何两个圆周行走时，它们相应点之间的距离之比总

23、等于它们的直径之比，这种观察支持了圆是几何相似性的合理性。3.3 建模实例例2 从不动的云层落下的雨滴。假定我们对从不动的云层落下的雨滴的终极速度感兴趣。考察图6有关自由落体的图解，作用在雨滴上的力仅有重力和阻力。假设作用在雨滴上的空气阻力与雨滴的表面积和雨滴速度的平方的乘积成正比，雨滴的质量和雨滴的重量成正比：。在终极速度处有，所以牛顿第二定律简化为。假设以及和重量成正比。因为，有。其次我们假设所有的雨滴都是几何相似的。这个假设使我们能把面积和体积联系起来使得对任何特征维数有 和 。因此。因为重量和质量与体积成正比，由比例的传递性得。记终极速度为，由方程得。对终极速度求解，得 或 。所以雨滴

24、的终极速度与其质量的六分之一次方成正比。例3 钓鱼比赛中的建模（1）情景 出于保护的目的，垂钓俱乐部想鼓励会员在钓到鱼后马上把它们放生。该俱乐部还希望根据钓到欲的总重量来给予以下奖励：100磅俱乐部的荣誉会员、大奖赛期间钓鱼总重量冠军，等等。如果不用称，垂钓者怎样确定所钓到的鱼的重量呢？（2）识别问题 我们可以如下地识别该问题：根据某个容易测量的量来预测鱼的重量。（3）假设 容易识别出许多影响鱼的重量的因素。根据不同种类的鱼的不同的部位和肉、骨头的密度等，它们会有不同的形状和不同的密度。性别也起着重要的作用，特别是在产卵季节，不同的季节可能对重量有相当大的影响。因为要寻求垂钓的一般法则，所以一

25、开始只考虑单一鱼种，例如鲈鱼，并且假定这种鱼的平均密度是不变的。以后，如果发现结果不满意或者确定密度的巨大变化确实存在的话，那么改进模型可能是值得的。此外，还忽略性别和季节因素。因此，一开始我们预测鱼的重量只是其大小（体积）和密度的函数。假设所有的鲈鱼都是几何相似的，任何鲈鱼的体积都是和某个特征量的立方成正比。注意我们没有假定任何特定的形状，而是假定鲈鱼是互相成比例的模型。当对于所有可能的点对，两条不同的鲈鱼相应的点对之间的距离之比保持常数时，鲈鱼的基本外型可以是很不规则的。这种思想体现在图8中。总长度总长度总长度 图8 几何相似的鱼只是简单地成比例的数学模型现在选择鱼的长度作为特征量。因此，

26、鲈鱼的体积具有比例性。因为重量等于体积乘以平均密度，并且我们假定平均密度是常数，由此立即得到。（4）验证模型 考虑在垂钓大奖赛期间收集到的数据：长度l(英寸): 14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625重量w（盎司）：27 17 41 26 17 49 23 16如果模型是正确的，那么对的图形应该是一条过原点的直线。图9给出了展示为近似直线的图形（注意这里这种判断是定性的，可以用所收集到的数据的最佳拟合模型的解析方法求解）。根据迄今给出的少量数据，至少是为了进一步检验该模型，我们接受该模型。因为数据点（14.53，26）位于所画直线之上，可

27、以估计得到该直线的斜率为26/3049=0.00853，从而得出模型 （1）当然，如果把直线画得稍微不同一些，那么就会得到稍微不同的斜率。（用数据拟合的方法可以求得使模型和给定数据点之间的平方的偏差之和极小的系数为）。模型（1）的图形如图9所示。图9如果模型是正确的，那么对的图形应该是一条过原点的直线模型（1）提供了一种方便的普遍法则，以下是根据模型计算得出的数据：长度l（英寸）：12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 重量w（盎司）：15 19 23 29 35 42 50 59 68 79 91 104 118 133 150即使根据所得到

28、的有限的数据来看，模型似乎是合理的，但垂钓者也可能不喜欢这个法则。因为该法则并不奖励钓到肥鱼：该模型以同样的方式来对待肥鱼和瘦鱼。我们来讨论一下，用鱼的横截面是相似的假设来代替鱼都是几何相似的假设。这并不意味着鱼的横截面要有特殊的形状，而只是要求满足几何相似的定义。我们选后面要定义的腰围作为特征量。现在假设鱼的重量主要来自鱼的主体。鱼的头和尾占总重量的比重相对小些，以后如果证明我们的模型应该改进的话，可以把常数项加进去。其次假定主体的横截面是可变的。于是鱼的体积就可以通过平均横截面的面积乘以其有效长度来求得：。怎样测量有效长度和平均横截面的面积呢？垂钓者和以前一样，测量鱼的长度并假设比例性。为

29、估计平均截面面积，垂钓者要带一个布制量尺并测量鱼的最宽处的周长，称这个测量值为腰围。假设平均横截面的面积和腰围的平方成正比。把这两个比例性假设结合起来就给出：。最后，和以前一样假设密度不变，使得对某个正常数有。做出了若干假设之后，可以对我们的模型做一个初步的检验。再次考虑以下数据。长度l（英寸）：14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625 腰围g（英寸）：9.75 8.375 11.0 9.75 8.5 12.5 9.0 8.5重量w（盎司）： 27 17 41 26 17 49 23 16因为模型提出了和之间的比例性，考虑对的散点图，如图1

30、0所示。散点 图10检验和之间的比例性数据近似位于一条过原点的直线上，所以比例性的假设是合理的。现在对应于鱼的重量为41盎司的点正好位于图10所示的直线上，所以可以估算斜率为（用数据拟合的方法可以求得使模型和给定数据点之间的平方的偏差之和极小的系数为），于是得出模型 。 （2）垂钓者或许会对新法则（2）感兴趣，因为要长增加一倍导致鱼的重量增加到原来的四倍。例4 汽车燃油里程（1）情景 在石油短缺与能源禁运造成的能源危机期间，人们总是想要了解油料开支是怎样因车速而变化的。我们觉得一低速和低排挡行驶时，汽车转换能量的效率不高，而高速行驶时作用在汽车上的阻力会迅速增加。于是以下的期望看来是合理的，即

31、存在一个或多个速度，汽车以这些速度行驶会产生最优的燃油里程（每加仑燃油行驶的最大公里数）。如果确实如此，那么低于或超过该速度，燃油里程数就会减少，了解这种减少是怎样产生的会很有益处。有报道称：时速超过50英里/小时后，每增加5英里/小时就要损失行驶1英里的耗油。在某货运公司，那些坚持以55英里/每小时行驶的司机减少了12%的耗油，每年节省631000加仑的燃油。一般认为驾驶最佳油小的范围在35-45/小时。（2）识别问题 什么是汽车的速度与燃油之间的关系？通过对这个问题的回答，我们可以评估这条法则的精确性。（3）假设 让我们来考虑影响燃油里程的因素。首先是推动汽车前行的动力。这些力取决于燃料燃

32、烧提供的功率、发动机转换潜在功率的效率、齿轮比、空气的湿度以及包括车速在内的许多其他因素。其次是阻碍汽车前进的阻力，包括依赖于汽车重量的摩擦效应、车胎的类型和状况以及路面的状况。空气的阻力是另一种阻力，它依赖于车速、车辆的表面积和形状、风速以及空气的密度。此外还有司机的驾驶习惯，以常速驾驶还是不断地加速？路面平坦还是崎岖？等等。因此燃油里程（推进力，阻力，驾驶习惯，等等）。很显然，如果要考虑车型、司机习惯以及路面状况的所有可能的组合，对原问题的回答将会很烦琐。因为做这样的研究实在是心有余而力不足，所以要限制待处理的问题。（4）限制的问题识别 对于一位特定的司机来说，某天驾驶着汽车在平坦的高速公

33、路上，为了节省燃油而在最优速度附近以不变的速度行驶。在这样的限制问题下，可以认为诸如空气的湿度、空气的密度和路面状况那样的环境都是不变的。因为我们已经规定了司机正在驾驶的车，确定了车的状况、车的形状和表面以及燃油的种类。通过限制驾驶的速度在最优速度附近，得到了发动机效率不变以及在车速变化小时齿轮比不变的简化假设。限制原来提出的问题是获得容易处理的模型的强有力的方法。图示报刊上给出的经验法则。如果你画出每加仑损失的英里数对速度减少50的图形，那将是图9所示的一条过原点的直线。我们来看看这个线性图形是否定性正确。因为汽车是以常速度行驶的，所以加速度为零。于是，牛顿第二定律给出的合力必为零，或者推进

34、力与阻力必相等，即，其中分别表示推进力和阻力。首先考虑推进力。每加仑汽油包含一定的能量（记为）。如果表示单位时间的耗油，那么就表示该车可利用的功率。假定功率的转化率是不变的，由此得出转换后的功率与成正比。因为对常力而言，功率等于力和速度的乘积，于是得如下的比例性关系，通过进一步假设燃油转换成能量的比率不变，上面的比例性关系简化为 。 （3）现在来考虑阻力。因为我们把问题限制为高速公路上的速度，与空气阻力相比较，假设摩擦力很小是合理的。在高速公路的速度下，这些阻力的一个有意义的子模型为，其中是垂直于汽车运动方向的汽车的横截面面积。因为在我们的限定问题中是常数，故得 ，于是 。 （4）比例性（4）

35、给出了然油消耗率应该以速度的立方的定性信息。但是，燃油消耗率并不能很好地反映燃油的效率：尽管比例性（4）说明汽车高速行驶时在单位时间里用掉更多的燃油，但汽车也开得更快了。所以，我们定义燃油里程如下： 燃油里程数。 （5）因此，汽车里程和速度的平方成反比。4、习题1、车辆的停止的距离 考虑经常在司机培训班上给出的下列规则：正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离要求是每10英里的速率可以允许一辆车距的跟随距离，但在不利的天气和道路条件下跟随距离可以更长。做到这点的一种方法就是利用2秒法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你前面的汽车刚刚驶过的一个高速公路上涂有柏油的地方或立交桥的影子那样的固定点，然后默数“一千