数学建模c题 输油管道布置的优化模型

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管道布置的优化模型摘要本模型遵从“保证工程质量，节约建设费用”的原则，针对共线与非共线两种不同的管道铺设方案，建立了优化模型并求得最优解，给出最优管道铺设方案及最

3、小费用。在此基础上，充分考虑城区和郊区有无附加费用的情况，建立了优化模型解决问题二。再进一步深化模型，考虑了因两厂生产能力不同单位距离铺设费用不同，再进一步深化模型，得出更符合实际的最佳布置方案及最少费用。 针对问题一：运用非线性规划将问题分为有共用管线和无共用管线两方面考虑，建立直角坐标系，对于有共用管线的情况，建立二元函数模型，模型一： ，求解模型一，得到最优解，为的变量，讨论与的关系，并求出最优值和最优值点：。对于无共用管线，运用三角形性质求出最优值和最优点，分别为，。又考虑到共用管线和非共用管线的建设费用不同，建立费用模型：。将其代入中得到共用管线费用最小值最优值点（0，a）。非共用管

4、线费用最小值为。经过比较，最优方案为共用管线时的最优解并推广模型，使得两厂的非共用管线在费用不同的情况下，也能求得最优解。针对问题二，在第一问的基础上，充分考虑到城区的附加费用，并通过对代表三家工程咨询公司实力的四项指标量化求出权向量，得出赋予了权值的附加费用的期望值为21.3341万元。建立非线性规划模型 使用LINGO得出最优方案的两点位置P(15,7.37),Q(5.4,1.86) 及相关费用为283.34万元,作出管道最优的铺设图。针对问题三，在前两问的基础上，继续深化模型的构建，考虑到两家炼油厂的生产能力和管道铺设费用的不同，进一步建立优化模型，确立非线性规划表达式求出最优解的两个动

5、点的最佳位置Q(6.73,0.14),P(15,7.28)及最省的总费用万，作出管道最优的铺设图。最后我们考虑到三个炼油厂，再次构建模型，设定数值，求得三个炼油厂的最优方案和最省费用。使得模型更有实用性和普遍性。关键词：管道铺设费用 二元函数极值 非线性规划 优化方案一、 问题重述建立数学模型，科学的设计铺设管线方案，在以下问题的前提下使得建设费用最省：1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两家炼油厂间距离的各种不同情形，提出的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情况。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的体位置由附图所示，其中

6、A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油

7、管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、模型假设1.铺设费用包括材料费、运输费、劳务费用等；2.管道拐角处的铺设不增加额外费用；3.铁路线近似为一条直线；4.两家炼油厂的生产能力在最近一段较长时期内近似不变；5.该地区市场稳定，在最近一段较长时期内铺设费用近似不变；三、符号定义a-A厂到铁路的最短距离；b-B厂到铁路的最短距离；-A、B两厂到铁路的两条垂线之间的距离；-非共用管线的铺设费用；-共用管线的费用与非共用管线费用的比值；Q-在直角坐标系

8、中的动点；-不同铺设管线方案的费用；-附加费用的期望值；P-直线x=15上的动点，为该点的纵坐标；-城区段的铺设总费用、-甲级和乙级公司每项指标的实力、-甲级公司和乙级公司的综合实力，-甲级和乙级的评估能力的权值；-矩阵A的权向量。-建设管线的总费用-A、B两厂非共用管线的费用；四、问题分析 综合考虑三个问题，不难发现，这是一个由简单到复杂，由理论推导到实际应用的思维过程，建模过程。 针对问题一，首先为了求出三种不同情形的最短铺设方案，即最经济方案，我们首先运用一般的几何知识，建立静态优化模型。然后根据共用管线的最优解的不确定性，建立了优化模型。最后，对同种条件下的共用管线和非共用管线进行客观

9、考虑，具体情况具体分析。 针对问题二，在第一问的基础上，我们结合前者的思想方法，并充分考虑到城区加权量化后的附加费用，确定未知量，建立优化模型。最终使用MATLAB得出最省方案，及相关费用。针对问题三，在前两问的基础上，我们继续深化模型的构建，根据两家炼油厂的生产能力和管道铺设费用的不同，得到最优解和最省费用。进一步推广，考虑得到有三个炼油厂，在第三问的求解基础上，设定具体数值及条件，建立了更贴近实际的优化模型，求解出最优方案和相关费用。五、模型的建立与求解5.1问题一对于共用管线与非共用管线的求解，我们根据a、b、之间的关系考虑到五种情形，运用简单的几何知识建立静态优化模型和动态的优化模型。

10、 情况一（=0时）图1 如图1所示，A、B两厂共线，根据简单的几何定理可知，此时采用共用管线最为适宜，其中非公用管线长度为|a-b|，共用管线的长度为a或b。 铺设费用为： （1） 图2情况二（>0,a=b时）：如图2所示，线段AC与BD不共线，但距离相等。在非共用管线情形下，显然，AB两场到线段CD的中点的距离之和即为最优解。此时输油管线铺设费用为：在共用管线的情形下，在可行域内确定一个动点E（x,y）， 建立动态优化模型，通过线性规划： (2)求得该情形下的最优解。在具体问题中，将具体数据代入两种方案，求得最终的最优方案及相关费用。情况三：图3 如上图所示，线段AC与BD不共线，且距

11、离不相等。在非共用管线情形下，A、B两厂在铁路线同侧，过点A作垂线垂直于铁路线，使得,连接交于点E,连接AE，AE=AE,显然AB两场到铁路最短的距离即为点A与点B的连线（三角形的任意两边之和大于第三边）。又由于AB=AE+BE，则如图所示，AE+BE即为铺设的最短距离，费用也就最低。AB= AE+BE= 求得管道铺设费用 ： (3)在具体问题中，可以将相关数据分别代入共用管线和非共用管线两种方案，比较最终结果，得出最优解。 但是该模型并未真正导出a,b,l的关系式，不能在代数式里得出选择共用管线与非共用管线的确定区间所以，我们再次建立模型，解决这类问题。图4在共用管线的情形下，在可行域内确定

12、一个动点O（x,y），建立动态优化模型，通过非线性规划： (4)模型的再建立：由于所以我们建立直角坐标系，重新构建模型，题分为有共用管线和对于有共用管线的情况，建立二元函数模型。模型一：，又对模型一进行微分求偏导，得到最优解：，视为函数的未知量，讨论与的关系，并求出最优值和最优值点，为。对于无共用管线，运用三角形性质求出最优值和最优点，分别为，。又考虑到共用管线和非共用管线的建设费用不同，建立费用模型：。将其代入模型二中得到共用管线费用最小值最值点Q（0，a）。非共用管线费用最小值为。最优方案为共用管线时的最优解。模型再建立与求解：图5首先考虑A，B两炼油厂之间没有共用管线，建立直角坐标系，如

13、上图所示，建立模型。以非线性规划目标函数表达式： (5)求得最优解，使得A，B到车站E的距离之和最小，如上图所示： 进一步讨论：本模型假定A,B两地建设费用相等，AE+BE最小即取得最优解。作A关于y轴对称，连接AB交x轴于E,连接AE，BE。在x轴上任意找一点F，连接A E,B E，由图可知图 E点为最优解。a<b时，E在 a=b时，E在 a<b时，E在最优解为EA+EB=最后得出，站点为。再次考虑A，B两炼油厂有共用管线且它们的建设费用相等，建立直角坐标系并建立二元函数模型，如图： 图6模型一： (6)讨论并求解：先令k=1，u=1对f求偏导： (7) (8)由 (9)解得两个

14、驻点： =（) (10) = () (11)代入模型一: (12) (13)化简后，得出： (14) 由上式可知连续用MATLAB解出-=0不存在，所以,不相交。又取了任意两组数来验证a1=6,b1=8,；得出:=21.4338, =15.6033;a2=5,b2=5,2=10.得出：=19.4338 , =13.6603,a3=9;b3=7;3=13;得出：=26.7639=19.7583程序求解见于附表有验证可见：恒小于，所以，点是最值点，带入任意a,b,l都可求出和最短输油管道的铺设距离。对a，b，l进行讨论用matlab对进行化简： (15)将具体的a，b，l代入上试可求出最优值作为未

15、知量，用的取值范围求的的范围。（I）a<b时，有实际情况可得：l=0时即x=0， ，最值点（0，a）。l>0时，因为，所以因随着单调递减，=时,最值点 。证明此模型适合无共用管线模型。 （II）a=b时， ， （16）（III）a<b时，运用以上模型可得出结果。考虑到非共用管线和共用管线的建设费用不相等建立建设费用模型： （17）代入得 （18）有试可知f随l单调递减。（I）a<b时，有实际情况可得：l=0时即x=0，l>0时，因为，所以由上试可知随着单调递减，=时，无共用管线方案最优方案的费用：有共用管线方案最优方案的费用：经过比较，选择共用管线的方案。模型推广

16、：本模型只考虑共用路线和不共用费用不同的情况，但在现实中各厂的输油管到聚合点的修建费用受地形，人口等因素影响，因此各厂的非共用管线的建设费用不同，考虑这一因素进行建模，模型三：（19）有实际情况可知，设为各路段建设费用的平均值。对模型三求偏导： （20） （21）由 （22）求出驻点，并求出极值。由于上述方程组的求解过于复杂，考虑到篇幅过多的问题，正文中就不再进行讨论。如果给出相关的数据，可以通过获得具体数据后解方程组来确定在费用最小的情况下最优建设费用。5.2问题二问题的求解对于问题二，由于三家工程咨询公司的资质和决策者的偏好不同，我们采用主观赋权与客观赋权相结合得出权值。根据工程咨询公司的

17、资质等级的四项评价标准1，我们将其中的任意两项进行权衡轻重：系数重要程度13前者稍微重要46前者重要些57前者较重要89前者很重要1/91/8后者稍微重要1/71/5后者重要些1/61/4后者较重要1/31后者很重要如上表格所示，得出矩阵后求得矩阵A的权向量 =0.0591 0.5481 0.2189 0.1739令19表示某等级下的公司每项指标的实力。甲级和乙级公司每项指标的实力分别为：=8 9 8 7=7 8 6 7再通过求和公式： （23）求得 甲级公司和乙级公司的综合实力分别为： 8.3742，7.3292 。最终由 （24）求得甲乙两公司的综合实力，即评估能力权值:，。工程咨询公司公

18、司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420再由如上表格中的已知的三家公司的估测数据，由 （25）得出附加费用的期望值： =21.6394（万元/千米）城区段的铺设总费用：（万元/千米）图7然后构造直角坐标系如上图所示，建立动态优化模型。坐标系上有两个动点P、Q，点P（15，n）在直线x=15上移动，使得输油管道铺设从城区到郊区的距离尽可能的短。同时动点Q(x,y)在纵坐标与直线x=15之间，使得除城区铺设的管道外，费用最省。由此可得线性规划表达式： （26）经LINGO求得该模型中有这样的两点P(15,7.37),Q(5.4,1.86)为最优解。输油管线的铺设总费用283.34万元 结

19、果的检验图8如上图所示，我们在铺设非共线管线的前提下建立一个只有动点P(15, )的模型，确定非线性规划表达式：s.t. （27）通过lingo求解，得到=7.2 ，总费用=285.2426万元，大于已求得的最优解。所以由两动点P、Q求得的结果最优。图9上图即为铺设的线路图5.3问题三 模型一对于问题三，我们进一步考虑各段的铺设费用不同的实际情况，依然在第二问所建立的优化模型上，考虑动点位置的不确定性。通过非线性规划，在可行域内求得最优解。 根据题意，A厂输油非公用管线铺设每千米5.6万元， B厂输油管线的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，由线性规划表达式： （28）通过lin

20、go求得最优解为P(6.73,0.14),Q(15,7.28),总费用万元。该问是第二问的深化模型，由第二问的检验可知，上述求解的结果是最优方案，本处不再重复检验。图10如上图，为第三题最优解的最优铺设管线图模型二：模型的再深化 模型的建立本身就是一个理想化的应用模型，诸多因素被忽略与简化，随着模型的建立后的再重建或再深化，才能具有更好的应用价值与灵活性。模型一主要是对两个工厂的最优方案的求解，而现实中可能会有多个类似的炼油厂或其它工厂需要求解出最优解。于是，我们建立了第二个模型，进行再深化探讨，是的模型具有更大的实用价值。图11 假设：在第二问的基础上，现在有三个炼油厂，为了城市的环保，只在

21、城市中建立一个炼油厂，其余两个建在郊外，A、B两个炼油厂位置不变，如上图所示，以铁路为x轴，点A到铁路的垂线为y轴，该垂线到铁路的点为原点，点G坐标为（6,6），动点P为，输送A厂成品油的每千米5.0万元，输送B厂成品油的每千米7.0万元，共用管线费用为每千米8万元，输送G厂成品油的每千米6.0万元。拆迁等附加费用同上。经确定的线性规划表达式： （29）用lingo解得最优解为P（8.89,1.95）Q（15,7.20），总费用为263.0397万元。六、模型评价改进优点：1. 本文考虑了两家炼油厂在铁路同侧的各种情况，并同时考量共用管线与非共用管线两类方案，得出了问题的仅含有数学符号一般解，

22、具有普遍性与推广深化的可行性；2. 建立静态的优化模型，缺乏应对现实情况的灵活性，而建立动态的优化模型虽然具有灵活性，但也不很全面，所以我们针对不同情况建立了动静不同的模型，通过对两类模型的考量，得出最优解；3. 我们通过问题的深入，逐步深化模型的建立与求解，是模型更具有现实性和可操作性，充分体现数学建模的实际应有价值与巨大的潜力；4. 在第三问的基础上，我们考虑到现实中可能多个炼油厂，所以我们求得了有三个炼油厂的最优解，使得模型更具有实用性。缺点：虽然我们考虑到了诸多因素，某些因素未能考虑，需要进一步研究，由于数据不足，所以这里不再深究。模型的改进 1. 进一步考虑三个炼油厂的不同位置，建立

23、新模型，使模型更具有可行性与现实应用的普遍性。2. 考虑铁路的弯曲问题，建立新模型，使模型更具有可操作性。七、参考文献1 韩中庚 , 综合评价方法及其应用 , 海南数学建模培训 ,2006。2 韩中庚 . 数学建模方法及其应用 . 北京：高等教育出版社， 2005。3 C. L. 戴姆 , E. S. 艾维著 , 数学构模原理，海洋出版社， 1985。4 姜启源，数学模型，高等教育出版社， 2003。5 萧树铁等，数学实验，高等教育出版社， 1999。6 韩明等，数学实验，同济大学出版社，2009。7 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），长沙：湖南教育出版社，19988 2010-6

24、-49 八、附录表附表：附件一（求偏导）：syms k u a b l x y z dx dy zx zy zxx zxy zyyz=k*(sqrt(x2+(y-a)2)+sqrt(x-l)2+(y-b)2)+k*u*yzx=diff(z,x),zy=diff(z,y),dz=zx*dx+zy*dy,zxx=diff(zx,x),zxy=diff(zx,y),zyy=diff(zy,y)结果：>>z=k*(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)+(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)+k*u*yzx=k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+

25、1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)zy=k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*y-2*b)+k*udz=k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)*dx+(k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*y-2*b)+k

26、*u)*dyzxx=k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)zxy=k*(-1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x*(2*y-2*a)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)*(2*y-2*b)zyy=k*(-1/4/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*(2*y-2*a)2+1/(x2+y2-2*y

27、*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*y-2*b)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)附件二:在极值点求X,Y值：clearsyms x y a b l k uf1=('k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)=0');f2=('k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)

28、*(2*y-2*b)+k*u=0');x,y=solve(f1,f2,x,y)>> W=simple(zyy) W = k*(-1/4/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*(2*y-2*a)2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*y-2*b)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2) 化简：>> E=simple(zxy) E = k*(-1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x*(2*y-2*a)-1/4/(x2-2*x*l+

29、l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)*(2*y-2*b) >> R=simple(zxx) R = k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)simple(R*W-E2)ans = k2*(b*x+a*l-a*x-l*y)2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)ans =

30、 k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2) （矩阵求权向量）A=1 1/5 1/4 1/3;8 1 2 6;4 1/2 1 2/3;3 1/6 2/3 1>>A= 1.0000 0.2000 0.2500 0.3333 8.0000 1.0000 2.0000 6.0000 4.0000 0.5000 1.0000 0.6667 3.0000 0.1667 0

31、.6667 1.0000>> b=a/sum(a)b = 0.0591 0.5481 0.2189 0.1739附件(第二问)min=7.2*(x12+(x2-5)2)(1/2)+7.2*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7.2*x2+28.5341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2<=5; x3<=8;endLocal optimal solution found. Objective value: 281.8612 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 79

32、Variable Value Reduced Cost X1 5.452634 0.000000 X2 1.851920 0.000000 X3 7.364094 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 281.8612 -1.000000 2 9.547366 0.000000 3 3.148080 0.000000 4 0.6359055 0.000000检验min=7.2*(h+5)2+225)0.5+28.5341*(25+(8-h)2)0.5;h<=8;end Local optimal solution found. Object

33、ive value: 283.6966 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 44 Variable Value Reduced Cost H 7.193886 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 283.6966 -1.000000 2 0.8061138 0.000000三题min=5.6*(x12+(x2-5)2)(1/2)+6.0*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7.2*x2+27.3341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2&l

34、t;=5; x3<=8;end Local optimal solution found. Objective value: 251.1304 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 77 Variable Value Reduced Cost X1 6.736599 0.000000 X2 0.1368665 0.000000 X3 7.275038 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 251.1304 -1.000000 2 8.263401 0.000000 3 4.863134 0.000000 4 0.7249618 0.000000再建模型min=5*(x12+(x2-5)2)(1/2)+(x1-6)2+(x2-6)2)0.5+7*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7*x2+27.3341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2<=5; x3<=8;endLocal optimal solution found. Objective value: 260.4119 Extended solver steps: 5 Total solver