新课预习讲义选修椭圆椭圆的性质教师doc

1、新课预习讲义选修21：第二章椭圆（二）§2.2.2椭圆的几何性质 学习目标1.掌握椭圆的简单几何性质2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.学习重点：1.椭圆的简单几何性质(重点)2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点3.椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题.学习难点1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题2.命题形式比较灵活，

2、各种题型均有可能出现.，命题的形式多样化.一、自学导航知识回顾：复习1：椭圆的定义是_，复习2：椭圆的标准方程是：焦点在x轴上时，_，焦点在y轴上时_；、间的关系是_复习3：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 复习4：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 预习教材：第43页第51页的内容。自主梳理：1、椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率；2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程（教材第51页）预习检测：1椭圆x24y21的离心率为()A.B.C. D.解析：将椭圆方程x24y21化为标准方程x21，则a21，b2，即a1，b，所

3、以c，故离心率e.故选A.2椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.1或1 B.1C.1 D.1解析：由已知a4，b2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是1.故选C.3已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内 D点(2，3)在椭圆上解析：1，则点(2,3)、点(2，3)、点(2，3)在椭圆上故选D.4已知点(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标为(x0，y0)，利用“点差

4、法”得，即·，k，直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y805过椭圆1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求弦AB的长解析：由椭圆方程得a25，b24，c21，左焦点为(1,0)直线AB的方程为y2(x1)代入1得6x210x0.x10或x2|AB|问题与困惑：二、互动探究问题探究：（一）椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程 范围， ，顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0)，(0，±b)轴长短轴长，长轴长焦点焦距|F1F2|对称性对称

5、轴：坐标轴，对称中心：坐标原点.离心率.（二）椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等1、椭圆的第二定义：若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹是一个椭圆.2、椭圆的准线方程：若焦点在轴上，则左准线是；右准线是；若焦点在轴上，则下准线是；上准线是；3、椭圆上任意一点的焦半径（其中，为左焦点，为右焦点）：，（若焦点在轴上，其中，为下焦点，为上焦点，则，典例导析：题型一、椭圆的简单几何性质例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：(1)4x29y236；(2)m2x24m2y21(m0)思路点拨解题过程(1)将椭圆方程变形为1，a3，b2，c.椭圆的长轴长和焦距

6、分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率e.(2)椭圆的方程m2x24m2y21(m0)可化为1.m24m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，.e.题后感悟已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标变式训练：1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率(1)25x2y225；(2)

7、4x29y21.解析：(1)将椭圆方程变形为x21，a5，b1，c2.椭圆的长轴长2a10，短轴长2b2.焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2)，顶点坐标A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0)离心率e.(2)椭圆的长轴长和焦距分别为2a1,2c，离心率e，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1，B2题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(2，4)思路点拨解题过程(1)由已知2a12，e，得a6，c4，从而b2a2c220，又长轴在x轴

8、上，故所求椭圆的标准方程为1.(2)2a2×2b，a2b，当焦点在x轴上时，设方程为1，点(2，4)在椭圆上，1，b217.椭圆的标准方程为1，当焦点在y轴上时，设方程为：1，点(2，4)在椭圆上，1，b28，椭圆的标准方程为：1.综上，椭圆的标准方程为1或1.题后感悟(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用变式训练：2.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相

9、垂直，且焦距为6；(2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)解析：(1)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.(2)方法一：若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)由题意，得解得故所求的标准方程为y21；若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1.方法二：设椭圆方程为1(m0，n>0，mn)，由题意，得或解得或故所求椭圆的标准方程为y21

10、或1.题型三、求椭圆的离心率例3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率思路点拨 求椭圆的离心率就是要设法建立a、c的关系式，可借助PF1F2AOB来建立a、c的关系式规范作答设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y±，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，.e2，即e，所以椭圆的离心率为.题后感悟(1)求离心率e时，除用关系式a2b2c2外，还要注意的代换

11、，通过解方程求离心率(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识 变式训练：3.已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1AF2，AF2F160°，求该椭圆的离心率解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示由AF1AF2知，AF1F2为直角三角形，且AF2F160°.由椭圆定义，知|AF1|AF2|2a，|F1F2|2c.则在RtAF1F2中，由AF2F160°得|AF2|c，|AF1|c，所以|AF1|AF2|2a(1)c，所以离心率e1.题型四、直线与椭圆的位置关系例4、若直线ykx

12、1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围思路点拨 解题过程方法一：由消去y，得(m5k2)x210kx5(1m)0，100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1)直线与椭圆总有公共点，0对任意kR都成立m0，5k21m恒成立，1m0，即m1.又椭圆的焦点在x轴上，0m5，1m5.方法二：直线ykx1过定点M(0,1)，要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1m5.题后感悟判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为，则(1)直线与椭圆相交>0；(2)直线与椭圆相

13、切0；(3)直线与椭圆相离<0.变式训练：4.对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的公共点个数解析：直线与椭圆的公共点的坐标就是下面方程组的解：将代入得(xm)21，整理得5x28mx4m240此方程的实数根的个数由根的判别式决定，(8m)24×5(4m24)16(5m2)当m时，0，方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点当m或m时，0，方程有两个相等的实数根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点当m或m时，0，方程没有实数根，直线与椭圆没有公共点题型五、中点弦问题例5、已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得

14、的线段的中点，求直线l的方程规范作答方法一：若直线l斜率不存在，则直线l垂直x轴，故弦中点应为(4,0)，与已知矛盾，所以直线l的斜率存在所以可设直线l方程为y2k(x4)，即ykx4k2.由消y并化简，得(14k2)x216k(2k1)x64k264k200.设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由已知4.8，解得k，直线l的方程为x2y80.方法二：（点差法）设直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，l的斜率为k，则得，0，即0.x1x2，·0.点P(4,2)是弦AB中点，x1x22×48，y1y22×2

15、4，直线l的斜率k满足k0.k，直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.题后感悟在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法”，即：若椭圆方程为1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则，得a2(yy)b2(xx)0，··.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决变式训练：5.已知椭圆y21，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程解析：方法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为yk，即ykxk，由得(24k2)x24k(1k)x(1k)240.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y

16、2)两点，则x1x21，解之得k.直线方程为2x4y30.方法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，则x1x21，y1y21.由得yy(xx)，·，即k，直线方程为y，即2x4y30.题型六、椭圆的弦长问题例6、已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长思路点拨 解题过程a24，b21，c，右焦点F(，0)，直线l方程yx.由消去y并整理得5x28x80.设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|，即弦AB的长为.题后感悟 （1）求弦长的公式：设直

17、线方程ykxm，椭圆方程1(a>b>0)直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.当k0时，直线平行于x轴，|AB|x1x2|.（2）弦长公式：适用于所有圆锥曲线.变式训练：3.椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程解析：方法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故24&#

18、183;4，将ba代入得a，b，所求椭圆的方程是x2y23.方法二：由，得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|·.|AB|2，1.设C(x，y)，则x，y1x，OC的斜率为，.代入，得a，b.椭圆方程为y21.题型七、椭圆第二定义、焦半径及其应用例7、已知、是椭圆的两个焦点，能否在椭圆上求一点（在轴的左侧），使到左准线的距离是与的等比中项，若能，求出该点的坐标，若不能，请说明理由.思路点拨 因为题目中涉及焦半径及到左准线的距离，所有考虑用椭圆的第二定义.解析：假设存在点（，）（满足,椭圆方程，；又,由得解此方程得或但，故不存在适合题意的点题后感悟

19、当题目种涉及焦半径、焦点弦问题时，用椭圆的第二定义常常使解题更简便.变式训练：7、已知点A（2，），设为椭圆的右焦点，为椭圆上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标.解析：过A作右准线的垂线，垂足为，与椭圆交于.离心率，由得,的最小值即为线段的长，2810的最小值为10，此时（2，）题型八、椭圆的综合问题例8、如图，点A是椭圆C：1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，=9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围思路点拨 解答第(1)问的关键是由已知条件准确分

20、析出|与| |的关系，再由向量的数量积，得|，从而用待定系数法求出椭圆C的方程，解答第(2)问的关键是利用a2>b2>0，构造t的不等式解出t的范围规范作答直线AB的斜率为1，BAP45°，即BAP是等腰直角三角形，|.·A9，|cos 45°|2cos 45°9，|A|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)，B在椭圆上，1，得a212，(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得a2.a2>b2>0，&

21、gt;(3t)2>0.>1，即1>0，所求t的取值范围是0<t<.变式训练：8、已知椭圆的长轴,焦距,过左焦点作倾角为的直线交椭圆于、两点，问在什么范围内取值时，弦的长不小于椭圆短轴的长？解析：由题意，椭圆方程为方法一：设直线的方程为由设（，），（，）有，由弦长公式得由此求出的范围进而再求的范围（此解法较繁）方法二：连结、，设，,则，在中，由余弦定理有：同理，在中，有分别解得：，由题意或，为倾角，故当时满足题意方法三：设、到左准线的距离分别是和则，同理由知，（以下解略）三、巩固拓展必做：教材第49页，习题2.2 A组 第8、9、10题，B组第1、2、3、4题补充作

22、业：一、选择题(每小题5分，共20分)1椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4C9,1D5,1解析：因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.答案：C2已知F1、F2为椭圆1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知4a16，即a4，又e，c2，b2a2c216124，椭圆的标准方程为1.答案：B3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2C2 D4解析：设椭圆方

23、程为1(a>b>0)由得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，由题意得(8b2)24(a23b2)(16b2a2b2)0且a2b24，可得a27，2a2.答案：C4过椭圆1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为()A5 B6C. D7解析：椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k1，直线AB的方程为yx4，由得9x225(x4)2225，由弦长公式易求|AB|.二、填空题(每小题5分，共10分)5若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得2a2c4b，ac2b，又b，所以a

24、c2，整理得5e22e30，e或e1(舍去)答案：6若倾斜角为的直线交椭圆y21于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是_解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为yxb，代入椭圆方程得5x28bx4(b21)0，则得x4y0.由>0得<b<，故<x<.答案：x4y0三、解答题(每小题10分，共20分)7(10分)设P(x，y)是椭圆1上的点且P的纵坐标y0，点A(5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解析：因为点P的纵坐标y0，所以x±5.设P(x，y)所以kPA，kPB.所以kPA·kPB·.因为点P在椭圆1上，