等差数列的前n项和1

1、1(1)naand()nmaanm d等差数列的定义等差数列的定义：)2()(*1*1nNndaaNndaannnn且或mnpqmnpqaaaa(1) 等差数列等差数列8，5，2，的第，的第20项是项是 ；(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是 ；(3) 已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a1=3，d= ，an=21， 则则n = ；(4) 已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10= ，d= ，则则 a3= .2532-4913613 23（5）在）在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .-35复习巩固复习巩固an = -5+(n-

2、1).(-4)填空题：填空题：an=-4n-1问题问题1 1:怎样才能快速地计算出怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？一堆钢管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数先算出每层的根数-每层都是每层都是14根根!再计算层数再计算层数-共共5层层!所以共所以共(14 5)/2=35根根.问题问题2 2： 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架的最形架的最下面一层放一支铅笔，往下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放多放一支，最上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？

3、问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？” S=1 + 2+ 3+ +98+99+100 S=100+99+98+ + 3+ 2+ 1 2S=(1+100) 100=10100S=5050. 高斯 Gauss.C.F （17771855）德国著名数学家问题问题3:3:求和求和:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1)1(2 nnS上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意

4、的第等差数列中任意的第k项与倒数第项与倒数第k项的和都项的和都等于首项与末项的和。等于首项与末项的和。2)1( nnS问题问题4 4：设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，如，如何求等差数列的前何求等差数列的前n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (

5、an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)变式：能否用变式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 2)(1naaSnn2) 1(1dnnnaSn 两个公式的共同已知量是两个公式的共同已知量是a1和和n, ,不同的已知量是不同的已知量是: :公式（公式（1 1）已知）已知an, ,公式（公式（2 2）已知）已知d 。 已知三个量就可以求出已知三个量就可以求出Sn ，我们要根据具体我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。题目，灵活采用这两个公式。 等差数列等差数列an的首项为的首项为a1，公差为公差

6、为d，项项数为数为n，第，第n项为项为an，前，前n项和为项和为Sn，请填请填写下表：写下表： a1dnan sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5 ;s,101a, 3a1a150501n求求）以以知知（中中，：在在等等差差数数列列例例 .s,21d, 3a2101求求）以知）以知（ 解：解：项项和和公公式式，得得）根根据据等等差差数数列列前前（n15021013Sn 2600 项项和和公公式式，得得）根根据据等等差差数数列列前前（n2212910310Sn 2105 求和求和 (1) 1+3+5+ +(2n-1) 例例2

7、2 ：例例题题解解析析2) 12(1nn（1）原式）原式=n2解：解：（2）10,6,2, 2, , （4n-14)1062 + 2 + +（4n-14)2)14410(nnnn1222（2）原式）原式=注意在运用公式时，注意在运用公式时，要看清等差数列的项数。要看清等差数列的项数。 例例题题解解析析例例3：等差数列等差数列1010，6 6，2 2，2 2， 前前9 9项的和多少？项的和多少？解：设题中的等差数列为解：设题中的等差数列为 an 则则 a1=10，5442899)10(9 S能用能用公式（公式（1）计算吗？）计算吗？ 应用公式时，要根据题目的具体条件，灵应用公式时，要根据题目的具

8、体条件，灵活选取这两个公式活选取这两个公式 。d=4,n=9例例题题解解析析 变式：变式：等差数列等差数列10，6，2，2，前多少项和是前多少项和是54 ？ 解解: 设题中的等差数列为设题中的等差数列为an, dnnnaSn2) 11 （ 得得 n2-6n-27=0 故故 n1=9, n2=-3(舍去）。舍去）。544 2)1(10 nnn 在等差数列的求和公式中，含有四个量，在等差数列的求和公式中，含有四个量，运用方程的思想，运用方程的思想，知三可求一知三可求一. . d= -4 设设 Sn= 54,则则 a1= -10, 因此，等差数列因此，等差数列 10，6，2，2 前前9项和是项和是5

9、4。例例2 2 ：例例题题解解析析解：解： .,215,23,21,1naSadannn及求已知中在等差数列.2321) 1(,25223,11nana得由题意由,得, 2211na代入后化简得03072 nn3),(3101an从而舍去或所以 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法三三.小结小结2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想例例3 3 例例题题解解析析解解在等差数列中,已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910,求第21项到第30项的和. ,由题意得公差为设此等差数列为dan,910

10、310102010SSS910310219202031029101011dada. 6, 4,1da解得于是所以,124620421a15106291012410302221aaa即第21项到第30项的和为1510例例6.在等差数列在等差数列an中，中， (1)已知已知d=3,an=20,Sn=65, 求求a1和和n以及此数列的后以及此数列的后6项和；项和； (2) 已知已知an=11-3n,求求Sn. (3)已知已知a11=-1，求，求S21.备用备用:例例7. 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，求其前，求其前n项和的公式项和的