微积分习题答案

1、一、填空题1设是的多项式，且，则 2 3 4设，则有 ， 4，25设，则 26 7函数的间断点是 8为使函数在点处连续，应补充定义 19设函数在处连续，则参数 10函数在点处连续，则 2二、单项选择题1设，且存在，则 2极限 不存在 3 ； ； ； 4的连续区间是_ 5函数的不连续点有 2个 3个 4个 4个以上6下列函数中，.当时，与无穷小量相比是高阶无穷小量的是_；是等价无穷小量的是_ ， 7当时，与相比是 高阶无穷小量 低阶无穷小量 同阶但不等价的无穷小量 等价无穷小量8当时，与相比是 高阶无穷小量 同阶但不等价的无穷小量低阶无穷小量 等价无穷小量9设 为连续函数，则k =_ 1 3 0

2、 310函数在点处有定义是当时极限存在的 充分但非必要条件 必要但非充分条件充分必要条件 既非充分又非必要条件11当时，下列函数中比高阶的无穷小量是 12当时，下列函数中为无穷小量的是 13当时，下列函数中为无穷小量的是 14设在某个极限过程中函数与均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量 15设，则函数在点处连续的充分必要条件是 16是的 连续点 跳跃间断点 可去间断点 无穷间断点三、求下列极限1 2 345（）6 解 记 因为 即 ，由于，所以由夹逼定理，得7设，求 解 原式左端 （）由于极限存在，故。 ，四、分析题1讨论极限解 因为，故原极限不存在。2求的间断点，并判别间断点的类型

3、。解 因为，而，因此有间断点：为可去间断点，为无穷间断点。.3求函数的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。解 函数的连续区间为，点为函数的第二类无穷间断点。4讨论函数的连续性。解 在点处没有定义，是间断点，故的连续区间为，点为的第二类无穷间断点。5讨论函数在点处的连续性。解 ， 在点处连续性。6设函数 （）（1）当取何值时，点是函数的间断点？是何种间断点？（2）当取何值时，函数在上连续？为什么？解（1）在点处， 当且时，由于，所以点是的跳跃间断点。 （2）当时，由于，则在点处连续。又因为在或上，为初等函数，所以连续。故当时，函数在上连续。7设函数 （1）求函数的定义域； （2）讨论函数在

4、点处的极限是否存在？为什么？ （3）为何值时，函数在点处连续？并求函数的连续区间；（4）画出函数的图形。解（1） （2）因为，所以不存在 （3）在点处， 所以，当时，即函数在点处连续。此时，的连续区间为： （4）略五、证明题1证明方程在区间内至少有一个实根。证 设，在上连续，又，由零点定理知，在内至少存在一点，使得，即，故方程在区间内至少有一个实根。2证明：方程（）至少有一个正根。证 设因为，故由零点定理知，使得，所以方程至少有一正根。3证明方程（）至少有一个正根，并且不超过。证 设，下面分两种情形来讨论：情形1 若 ，则因为，故是方程（）的正根，并且不超过。情形2 若，则因，故，又因在上连续，故由零点定理知，使得，因此是方程（）的正根，并且不超过。4设为正整数，函数在上连续，且，证明存在数，使得。证 若，即，取，结论成立。 若，作辅助函数，易知在上连续，因为 则个实数全部为零或同时有正数与负数， （1