必修四32 简单的三角恒等变换教案

1、3.2 简单的三角恒等变换教案 A教学目标 一、知识与技能 1理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用二、过程与方法 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力 三、情感、态度与价值观 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的

2、推理能力教学重点、难点教学重点：1半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练2三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力教学关键：三角变换思路的引导教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体，尺规.学生准备：练习本，尺规.教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习

3、的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换二、主题探究，合作交流提出问题：与有什么关系？如何建立cos与sin2之间的关系？ 师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2，将公式中的用代替，解出sin2即可教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角在倍角公式cos2=1-2sin2中，以代替2，以代替，即得cos=1-2sin2，所以sin2= 在倍角公式cos2=2cos2-1中，以代替2，

4、以代替，即得cos=2cos2-1，所以cos2= 将两个等式的左右两边分别相除，即得tan2= 教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)三、拓展创新，应用提高例1 试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为思考：代数式变换与三角变换有什么不同？活动：教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三

5、角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换例2求证：（）；（）证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得； 设，那么把的值代入式中得点评：例证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例 求函数的周期，最大值和最小值解：这种形式我们在前面见过，所以，所求的周期，最大值为，最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体

6、现了三角变换在化简三角函数式中的作用例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积活动：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与之间的函数关系，再求函数的最值找S与之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cossin)sin=sincos-sin2求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x+)型的三角函数求最值教师引导学生思考：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分

7、两步进行：(1)找出S与之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S的最大值解：在RtOBC中，BC=cos，BC=sin，在RtOAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sin所以AB=OB-OA=cossin设矩形ABCD的面积为S，则S=AB·BC=(cossin)sin=sincossin2=sin2+cos2-=(sin2+cos2)-=sin(2+)-由于0<<，所以当2+=，即=时，S最大=-=因此，当=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+

8、)的函数，从而使问题得到简化这个过程中蕴涵了化归思想此题可引申即可以去掉“记COP=”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x，S=x()，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点四、小结1先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明2教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段课堂作业1的值是（ ）Atan10

9、76;+tan20° B Ctan5° D2-2若-=，则sinsin的最大值是（ ）A B C D13已知sin+sin+sin=0，cos+cos+cos=0，则cos(-)的值是（ ）A1 B-1 C D4若cossinx=，则函数y=sincosx的值域是（ ）A， B， C， D-1，15log2(1+tan19°)+log2(1+tan26°)=_6已知函数f(x)=cos2xcos(-2x)，求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值参考答案：1D 2B 3D 4B 516f(x)=cos+cos(4x-)=cos(4x-)+，由2k4x

10、-2k+(kZ)，得原函数的单调递减区间是+，+(kZ)，T=，最大值是教案 B教学目标 一、知识与技能1熟练掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形2加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二、过程与方法通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识三、情感、态度与价值观体会变换中形变而质不变的哲理教学重点、难点1 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力2教学难点：认识三角变

11、换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力学法讲授式教学教学设想一、情境设置学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台下面我们以习题课的形式讲解本节内容二、探究新知例1 化简: 解:原式=tan. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练例2化简:sin50°(1+tan10°).解：原式=sin50°=2sin50°·=2cos40°·=1.例3

12、 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=，即1-2sinxcosx=.sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.例4 求证:.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证法一：左边=右边.原式成立.证法二：右边=1-=左边.原式成立.三、课堂训练1 如果(，)，且sin，那么sin()cos(

13、) ()A B- C D-2在ABC中，sin2Acos2B1，则cosAcosBcosC的最大值为()A B C1 D3函数y2cos2x的一个单调递增区间是 ()A(-，) B(0，) C(，) D(，)4化简等于 ()A1 B-1 Ccos D-sin5(1tan21°)(1tan20°)(1tan25°)(1tan24°)的值是()A2 B4 C8 D166已知函数f(x)2sinxcosxcos2x(1)求f()的值；(2)设(0，)，f()，求sin的值7求证：tan2x参考答案：1D 2D 3D 4A5B6. 解：(1)f(x)sin2xc

14、os2x，f()sincos1(2)f()sincossin()，cos()±sinsin(-)×-(±)×(0，)，sin0故sin. 证明：左边右边tan2x四、作业教材第143144页习题32五、小结要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用第三章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则（ ）A B C D 2若均为锐角，（ ）A B C D 3（ ）A B C D 4（ ）A B C D 5（ ）A B C 1 D 6已知x为第三

15、象限角，化简（ ）A B C D7 已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）A B C D8 若，则（ ）A B C D 9 已知，则（ ）A B C D10 已知，则的值为（ ）A B C D111 求（ ）A B C 1 D 012 函数的图像的一条对称轴方程是 （ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分13已知为锐角， 14在中，已知tanA ，tanB是方程的两个实根，则 15若，则角的终边在 象限16代数式 三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17（10分）ABC中，已知，求sinC的值18（10

16、分）已，19（12分）已知为第二象限角，且 sin=求的值 20（12分）已知，且，求的值及角21（ 12分）已知函数，xR（1）求证的最小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间参考答案一、选择题1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9A 10B 11A 12C二、填空题13 14 15第四 161，4317若又由656313553131254sincoscossin)sin(sin1312cos,180BA,120,1312cos6023sin,1312sin1cos,135sin5sin,5cos,:.2=´+´=+=+=>+>-=>>±=-±=DBABABACBBBAABBBAAABC故不合题意舍去这时可得中在解Q.°°°三、解答题6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()()sin(2sin54)cos(,135)sin(23,40432:.18-=´-+´-=-+-+=-+=-=+=